Cálculo de primitivas ou de antiderivadas

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Cálculo de primitivas ou de antiderivadas"

Transcrição

1 Aula 0 Cálculo de primitivas ou de antiderivadas Objetivos Calcular primitivas de funções usando regras elementares de primitivação. Calcular primitivas de funções pelo método da substituição. Calcular primitivas de funções usando o método da integração por partes. Esta aula será dedicada às técnicas que nos permitirão calcular primitivas que não sejam obtidas por simples inspeção. Recordemos que F () é uma primitiva ou antiderivada de uma função f() em um intervalo I se F () =f(), para todo I, sendo que o símbolo f()d designa f()d = F ()+C. Regras elementares para cálculo de primitivas Por questões de completeza estabeleceremos não apenas novas regras como também recordaremos outras que já foram citadas na aula 8. Nas regras a seguir, o símbolo C representará sempre uma constante arbitrária. Regra. 0 d = C. 5

2 6 Cálculo - aula 0 UFPA Regra. d = + C. Regra 3. ad= a + C, em que a é uma constante. Regra 4. r d = r+ + C, para qualquer número racional r r + Regra 5. af()d = a f()d, qualquer seja a constante a Regra 6. (f()+g())d = f()d + g()d. Regra 7. (f() g())d = f()d g()d. Regra 8. (g()) r g ()d = racional r. r + (g())r+ + C, para todo número Outras técnicas de integração serão vistas. Antes de passarmos a elas faremos uma seqüência de eemplos, a fim de que o leitor fie definitivamente as regras já estabelecidas. Eemplo 96. Calculemos a integral 6 d Neste caso basta aplicar diretamente a regra 4. 6 d = C Eemplo 97. Calculemos 5 d

3 UFPA Cálculo - aula 0 7 Observemos inicialmente que 5 d = 5 d. Agora, tal como no eemplo anterior, basta aplicar diretamente a regra 4, para obter 5 d = C. Eemplo 98. Calculemos a integral indefinida ( 5 +3)d. Aplicando as regras 5, 6 e 7, obtemos ( 5 +3)d = d 5 d + 3d Segue-se das regra 3 e 4 que ( 5 +3)d = C. Eemplo 99. Calculemos a seguinte integral indefinida (3s +4) ds. Observemos que (3s +4) ds = 3 (3s +4) 3ds Assim, podemos aplicar a regra 8 para obter (3s +4) ds = ( ) (3s +4)3 + C = (3s +4)3 + C. Método da substituição Para resolver uma integral que possa ser escrita na forma f(g())g ()d podemos lançar mão de um processo chamado método da substituição, que consiste em tomar u = g() e, portanto, du = g ()d, de modo que a integral anterior pode ser reescrita como f(g())g ()d = f(u)du. Assim, a variável de integração, que era, foi substituída pela nova variável u. Vejamos alguns problemas.

4 8 Cálculo - aula 0 UFPA cos Eemplo 00. Calculemos a integral d. Observemos que essa integral pode ser escrita como cos d = cos( ) d. Fazendo u =, obtemos du = d. Assim, cos d = cos udu= sen u = sen ( )+C. Eemplo 0. Calculemos a integral + d. Façamos u = +, logo du = d. Então u d = du + u ( ) = u u du Eemplo 0. Calculemos = 3 u 3 u + C = ( ) 3 u u + C 3 = ( ) C 3 = 3 +( ) + C 3 3 +d. Notemos que + = ( ). Assim, fazendo u =, du = d. Então d = ( ) d 3 = u du = u 3 du = 3 5 u C = 3 ( 3 ) 5 u + C 5 = 3 ( 3 ) 5 5

5 UFPA Cálculo - aula Integração por partes Sejam f e g funções deriváveis em um certo intervalo I. Usando a regra do produto para a derivação (f()g()) = f ()g()+f()g () obtemos Assim, f()g () =(f()g()) f ()g(). f()g ()d = (f()g()) d f ()g()d o que nos fornece f()g ()d = f()g() f ()g()d que é a chamada fórmula de integração por partes. Tal fórmula é mais usualmente apresentada da seguinte maneira. Chamemos u = f() e dv = g ()d, demodoque du = f ()d e v = g() e assim temos a outra forma para a fórmula de integração por partes udv = uv vdu. Vejamos alguns eemplos. Eemplo 03. Calculemos a integral cos d. Para aplicar a fórmula de integração por partes devemos escolher convenientemente u e dv observando que u deve ser derivada e dv deve ser integrada, de modo que a integral resultante se torne mais simples do que a integral original. No presente caso, façamos o que nos dá donde u = e dv = cos d du = d e v = sen cos d = sen sen d = sen + cos + C.

6 0 Cálculo - aula 0 UFPA Eemplo 04. Calculemos cos d. Chamemos u = e dv = cos d para obter du =d e dv = cos d, e assim v = sen. Logo, cos d = sen (sen )d e observemos que devemos integrar por partes o termo sen d. Façamos o que fornece Daí, sen = cos + u = e dv = sen d du = d e v = cos. cos d = cos + sen + C. Voltando à integral cos d, teremos cos d = sen + cos sen + C, em que C é a constante C. Para nos certificarmos de que os cálculos efetuados estão corretos, podemos derivar a função sen + cos sen + C cujo resultado deve ser cos. De fato, ( sen +cos sen + C ) = sen + cos + cos sen cos = cos, o que mostra que os cálculos efetuados estão corretos. Evidentemente, após o estudante adquirir prática no processo de integração por partes, esta verificação final pode ser dispensada. Deiaremos certas integrais por partes, envolvendo eponencial, logaritmos, etc., para aulas futuras.

7 UFPA Cálculo - aula 0 Eemplo 05. Calculemos sen (k)d. em que k é uma constante não-nula. Façamos u = e dv = sen (k)d, donde o que implica du = d e v = cos(k) k sen (k)d = cos(k) k = cos(k) k + k cos(k)d + sen (k)+c. k Observa-se que, ao calcularmos integrais indefinidas, sempre surge a chamada constante de integração. Em alguns casos pode-se determinar tal constante de integração. Vejamos um eemplo no qual isso ocorre. Eemplo 06. Determinemos a curva que passa pelo ponto (, 3) e cuja declividade da reta tangente a ela, em cada um de seus pontos (, y), é dada por y. Seja y = f() a equação dessa curva. Assim, y = y, pois a derivada y mede a declividade da reta tangente em cada um de seus pontos. Daí, yy = e observando que, usando a regra da cadeia, teremos yy =. Logo d d [y ]=yy, d d [y ]= o que nos diz que y é primitiva de. Pela definição de primitiva, tem-se y = d = + C, em que C é a constante de integração. Assim, + y = C

8 Cálculo - aula 0 UFPA é a epressão algébrica de todas as curvas cuja declividade da reta tangente em cada um de seus pontos é. Desta última epressão tem-se que y y 0. Além disso, como + y > 0, quaisquer que sejam (, y),y 0, façamos C = R,R>0,edaí y = R ou y = R. Observando-se que no enunciado eige-se que o ponto (3, 4) pertença à curva, façamos =3ey = 4 para obter 3 +4 = R =5 o que nos fornece R = 5, de modo que a curva procurada é y = R que é o semicírculo de centro (0, 0) e raio 5. 4 Funções trigonométricas inversas Introduziremos agora a noção de função trigonométrica inversa. Comecemos com a inversa da função sen. Como é bem conhecido, a função sen não é injetiva e em vista disso não eistirá sua inversa. No entanto, se restringirmos seu domínio, por eemplo, ao intervalo [ π, π ], teremos que a função sen, restrita a este intervalo, sen : [ π, π ] [, ] é injetiva e sobrejetiva, de modo que eiste a sua inversa, designada por arcsen, arcsen : [, ] [ π, π ]. Dessa maneira é equivalente a dizer que y = arcsen = sen y. Derivando ambos os membros de = sen y, observando que y é função de e usando a regra da cadeia, obtém-se =y cos y. Restringindo os valores de y ao intervalo ( π, π ), a fim de que cos y 0, o que restringirá os valores de ao intervalo aberto (, ), obtém-se y = cos y.

9 UFPA Cálculo - aula 0 3 Como = sen y implica cos y =, teremos y =, o que nos fornece as seguintes regras para derivação e integração da função arcsen d d (arcsen ) = = arcsen + C (0.) Tudo o que fizemos a fim de determinar uma função inversa para a função sen e calcular a derivada e a primitiva dessa inversa pode ser reproduzido para a função cos em que, nesse caso, restringimos ao intervalo (, ), o que restringe y a(0,π). Assim, d d (arccos ) = arccos d = arccos + C. Vejamos o que acontece no caso da função tangente. Observemos que essa função, restrita ao intervalo ( π, π), ( tg : π, π ) (, + ), é injetiva e sobrejetiva (além de contínua, derivável, etc.), de modo que podemos definir sua inversa ( tg : (, + ) π, π ) de modo que y = arctg se, e somente se, =tgy. Derivando ambos os membros desta última igualdade, lembrando que y é uma função de, e usando a regra da cadeia, obtemos =y sec y. Como sec y = + arctg y =+, teremos de onde resulta d (arctg ) = d + d = (arctg )+C. + Vejamos alguns eemplos de integrais nas quais aparecem termos da forma k ou k +

10 4 Cálculo - aula 0 UFPA Eemplo 07. Calculemos a integral k d, em que k é uma constante positiva. Observemos que a epressão k, a menos da constante k, é essencialmente aquela que aparece em (0.). A fim de que elas se tornem eatamente iguais, façamos = ku, demodo que d = kdu edaí k d = = k k u kdu u du = arcsen u ( + C ) = arcsen + C. k Eemplo 08. Calculemos a integral indefinida k + d. Procedendo como no eemplo anterior, façamos = ku, de onde d = kdu, e assim k + d = k k + k u du = +u du = k arctg u + C = ( ) k arctg + C. k Eemplo 09. Calculemos arcsen d. Façamos u = arcsen e dv = d de onde du = d, v =. Portanto, arcsen d = arcsen d

11 UFPA Cálculo - aula 0 5 em que esta última integral é resolvida por substituição. Mais precisamente, fazendo = sen θ, o que implica d = cos θdθ, obtém-se d = sen θdθ = θ θ sen +C = 4 arcsen +C. Portanto, arcsen d = arcsen 4 arcsen C. 5 Eercícios resolvidos. Calcule d. 6 Solução. Basta observar que d = 6 d 6 e aplicar a regra 4. Assim, d = C.. Calcule a integral 3 d. Solução. Observemos que 3 d = 3 d Assim, segue da regra 4 que 3 d =3 3 + C. 3. Calcule a integral indefinida ( ) d. Solução. Inicialmente observemos que ( ) d = ( ) d = ( 3 )d Usando agora a regra 7 e depois a regra 4, obtém-se ( ) d = d 3 d = C 5 = C = 3 ( 3 5 )+C.

12 6 Cálculo - aula 0 UFPA 4. Calcule 3 d. Solução. Essa integral pode ser reescrita como segue 3 d = ( ) 3 ( )d Agora basta aplicar a regra 8. 3 d = ( 4 ( ) )+C = 8 ( ) C Calcule sin cos d. Solução. A resolução dessa integral é conseqüência imediata da regra 8. sin cos d = (sin ) cos d = 3 (sin )3 + C. 6 Eercícios propostos. Calcule as primitivas (antiderivadas) a seguir: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) ( + ) d + ( +) d cos 3d sen z cos z dz + cos d ( ) 3 d d ( ) 3 d d +3 3 d ( +3) 3 d

13 UFPA Cálculo - aula 0 7 (k) (l) 5 3 d ( ) d (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s) (t) (u) (v) (w) sen d ( ) 5 d (5sen + 3 cos )d ( ) d 3 +d + d cos d sen d 3 d d 4 d. Encontre a equação da curva que passa pelo ponto (, ) e cuja inclinação em cada ponto (, y),>0, é dada por Uma partícula se move em linha reta com velocidade v(t) =t +. Determine a distância percorrida pela partícula, de t = a t = 3.

14 8 Cálculo - aula 0 UFPA 7 Respostas dos eercícios propostos (. (a) ) C 5 (b) C (c) sin (3 )+C 3 (d) cos z + C (e) + cos + C (f) 5 ( ) 5 + C (g) ( ) + C (h) +3+C (i) 9 (3 ) 3 + C 3 ( (j) +3 ) C 6 (k) C (l) ( ) 3 ( 7 3 )+C (m) cos + C (n) ( ) 6 (o) 5 cos + 3sen + C (p) + + C (q) 5 ( +)3 ( +3)+C (r) + C (s) sen + + C 4 (t) sen + C 4 (u) C 4 (v) 3 arcsen ( )+C (w) arcsen ( )

15 UFPA Cálculo - aula 0 9. y = unidades de comprimento Nesta aula você aprendeu: a calcular primitivas de funções usando regras elementares de primitivação. a calcular primitivas de funções pelo método da substituição. a calcular primitivas de funções usando o método da integração por partes.

Da figura, sendo a reta contendo e B tangente à curva no ponto tem-se: é a distância orientada PQ do ponto P ao ponto Q; enquanto que pois o triângulo

Da figura, sendo a reta contendo e B tangente à curva no ponto tem-se: é a distância orientada PQ do ponto P ao ponto Q; enquanto que pois o triângulo CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL AULA 09: INTEGRAL INDEFINIDA E APLICAÇÕES TÓPICO 01: INTEGRAL INDEFINIDA E FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO Como foi visto no tópico 2 da aula 4 a derivada de uma função f representa

Leia mais

1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 1 1 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 11 Funções trigonométricas inversas 111 As funções arco-seno e arco-cosseno Como as funções seno e cosseno não são injectivas em IR, só poderemos definir as suas funções

Leia mais

CAPITULO I PRIMITIVAS. 1. Generalidades. Primitivação imediata e quase imediata

CAPITULO I PRIMITIVAS. 1. Generalidades. Primitivação imediata e quase imediata CAPITULO I PRIMITIVAS. Generalidades. Primitivação imediata e quase imediata Sendo f () uma função real de variável real definida no intervalo não degenerado I, chama-se primitiva de f () em I a qualquer

Leia mais

DERIVADA. A Reta Tangente

DERIVADA. A Reta Tangente DERIVADA A Reta Tangente Seja f uma função definida numa vizinança de a. Para definir a reta tangente de uma curva = f() num ponto P(a, f(a)), consideramos um ponto vizino Q(,), em que a e traçamos a S,

Leia mais

TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO13

TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO13 TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO3 Gil da Costa Marques 3. Introdução 3. Derivada da soma ou da diferença de funções 3.3 Derivada do produto de funções 3.4 Derivada de uma função composta: a Regra da Cadeia 3.5

Leia mais

por Partes Objetivo Dividir para conquistar! Aprender a técnica de integração por partes.

por Partes Objetivo Dividir para conquistar! Aprender a técnica de integração por partes. MÓDULO 2 - AULA 9 Aula 9 Técnicas de Integração Integração por Partes Objetivo Aprender a técnica de integração por partes. Dividir para conquistar! Júlio César Nas duas últimas aulas, você aprendeu a

Leia mais

A Derivada. Derivadas Aula 16. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

A Derivada. Derivadas Aula 16. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil Derivadas Aula 16 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 04 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014104 - Engenharia Mecânica A Derivada Seja x = f(t)

Leia mais

13 Fórmula de Taylor

13 Fórmula de Taylor 13 Quando estudamos a diferencial vimos que poderíamos calcular o valor aproimado de uma função usando a sua reta tangente. Isto pode ser feito encontrandose a equação da reta tangente a uma função y =

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Derivada de Funções Elementares

CÁLCULO I. 1 Derivada de Funções Elementares CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida Aula n o : Derivada das Funções Elementares. Regras de Derivação. Objetivos da Aula Apresentar a derivada das funções elementares; Apresentar

Leia mais

Calcular a derivada e a integral da função exponencial.

Calcular a derivada e a integral da função exponencial. Aula 2 A função exponencial e a função logarítmica Objetivos Estudar a função exponencial. Calcular a derivada e a integral da função exponencial. Como vimos na aula, a função logarítmica ln : 0, ) R é

Leia mais

1. Integração por partes. d dx. 1. Integração por partes

1. Integração por partes. d dx. 1. Integração por partes UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integração por Partes

Leia mais

A integral indefinida

A integral indefinida A integral indefinida Introdução Prof. Méricles Thadeu Moretti MTM/CFM/UFSC. A integração é uma operação fundamental na resolução de problemas de matemática, física e outras disciplinas, além de fazer

Leia mais

1 Definição de Derivada

1 Definição de Derivada Departamento de Computação é Matemática Cálculo I USP- FFCLRP Prof. Rafael A. Rosales 5 de março de 2014 Lista 5 Derivada 1 Definição de Derivada Eercício 1. O que é f (a)? Eplique com suas palavras o

Leia mais

Aula 12 Regras de Substituição. Integração por partes.

Aula 12 Regras de Substituição. Integração por partes. Universidade Federal do ABC Aula 12 Regras de Substituição. Integração por partes. BCN0402-15 FUV Suporte ao aluno Site da disciplina: http://gradmat.ufabc.edu.br/disciplinas/fuv/ Site do prof. Annibal:

Leia mais

4.1 Funções Deriváveis

4.1 Funções Deriváveis 4. Funções Deriváveis 4.A Em cada caso, encontre a derivada da função y = f (), usando a de nição. (a) y = + (b) y = 3 (c) y = 5 (d) y = 3 (e) y = +

Leia mais

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 3: Derivadas Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Derivada

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 3: Derivadas Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Derivada Eercícios de Derivada Eercícios de Fiação Cálculo I (0/) IM UFRJ Lista : Derivadas Prof Milton Lopes e Prof Marco Cabral Versão 7040 Fi : Determine a equação da reta tangente ao gráco de f() no ponto =

Leia mais

de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas

de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas MÓDULO - AULA 1 Aula 1 Técnicas de Integração Integração de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas Objetivo Aprender a integrar potências e produtos de funções trigonométricas. Na aula anterior,

Leia mais

CÁLCULO I. Iniciaremos com o seguinte exemplo: u 2 du = cos x + u3 3 + C = cos3 x

CÁLCULO I. Iniciaremos com o seguinte exemplo: u 2 du = cos x + u3 3 + C = cos3 x CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aulas n o 9: Técnicas de Integração II - Integrais Trigonométricas e Substituição Trigonométrica Objetivos da Aula Calcular integrais de potências

Leia mais

Resolvendo Integrais pelo Método de

Resolvendo Integrais pelo Método de Capítulo Resolvendo Integrais pelo Método de Substituição. Métodos da substituição em integrais indefinidas O teorema fundamental do cálculo permite que se resolva rapidamente a integral b a f(x) dx, desde

Leia mais

Integração por partes

Integração por partes Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 1 Integração por partes Vimos nos textos anteriores que a técnica de mudança de variáveis é muito útil no cálculo de algumas primitivas. Porém,

Leia mais

Cálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo

Cálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo Cálculo I IM UFRJ Lista : Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão 7.03.05 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chamaremos de pré-cálculo.

Leia mais

Elaborado por: João Batista F. Sousa Filho (Graduando Engenharia Civil UFRJ )

Elaborado por: João Batista F. Sousa Filho (Graduando Engenharia Civil UFRJ ) www.engenhariafacil.weebly.com Elaborado por: João Batista F. Sousa Filho (Graduando Engenharia Civil UFRJ- 014.1) Bizu: (I) Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Métodos de Integração. (I) Métodos

Leia mais

A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função

A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função Suponhamos que a função y = f() possua derivada em um segmento [a, b] do eio-. Os valores da derivada f () também dependem de, ou seja, a derivada

Leia mais

INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A Atualizada em A LISTA DE EXERCÍCIOS

INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A Atualizada em A LISTA DE EXERCÍCIOS INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A Atualizada em 007. A LISTA DE EXERCÍCIOS 0. Esboce o gráfico de f, determine f ( ), f ( ) e, caso eista, f ( ) : a a+ a, >, e a) f (

Leia mais

x lim, sendo: 03. Considere as funções do exercício 01. Verifique se f é contínua em x = a. Justifique.

x lim, sendo: 03. Considere as funções do exercício 01. Verifique se f é contínua em x = a. Justifique. INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A 008. A LISTA DE EXERCÍCIOS 0. Esboce o gráfico de f, determine f ( ), f ( ) e, caso eista, f ( ) : a a a, >, e a) f ( ) =, = (a = )

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA OITAVA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos a primeira técnica de integração: mudança

Leia mais

Universidade Federal do Espírito Santo Prova de Cálculo I: Integral Prof. Lúcio Fassarella DMA/CEUNES/UFES Data: 30/07/2014

Universidade Federal do Espírito Santo Prova de Cálculo I: Integral Prof. Lúcio Fassarella DMA/CEUNES/UFES Data: 30/07/2014 Universidade Federal do Espírito Santo Prova de Cálculo I: Integral Prof. Lúcio Fassarella DMA/CEUNES/UFES Data: /7/14 Aluno: Matrícula. Nota: : :.Observações: I A prova tem duração de 1 min; não é permitido

Leia mais

Aula n o 29:Técnicas de Integração: Integrais Trigonométricas - Substituição Trigonométrica

Aula n o 29:Técnicas de Integração: Integrais Trigonométricas - Substituição Trigonométrica CÁLCULO I Aula n o 29:Técnicas de Integração: Integrais Trigonométricas - Substituição Trigonométrica Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida 1 Integrais Trigonométricas Iniciaremos com o seguinte

Leia mais

Notas sobre primitivas

Notas sobre primitivas MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas Notas sobre primitivas Seja f uma função real de variável real de nida num intervalo real I: Chama-se primitiva de f no intervalo I a uma função F cuja derivada

Leia mais

Funções Elementares. Sadao Massago. Maio de Alguns conceitos e notações usados neste texto. Soma das funções pares é uma função par.

Funções Elementares. Sadao Massago. Maio de Alguns conceitos e notações usados neste texto. Soma das funções pares é uma função par. Funções Elementares Sadao Massago Maio de 0. Apresentação Neste teto, trataremos rapidamente sobre funções elementares. O teto não é material completo do assunto, mas é somente uma nota adicional para

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L1 NOTAS DA VIGÉSIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, consideraremos mais uma técnica de integração, que é conhecida como substituição trigonométrica. Esta técnica pode

Leia mais

III-1 Comprimento de Arco

III-1 Comprimento de Arco Nesta aula vamos iniciar com o tratamento de integral que não calcula apenas área sob uma curva. Especificamente, o processo ainda é unidimensional, mas envolve conceitos de geometria (especificamente

Leia mais

Funções Inversas e suas Derivadas

Funções Inversas e suas Derivadas Capítulo 9 Funções Inversas e suas Derivadas 9. Motivação Muitas obras de arte epostas em museus precisam ser protegidas por medidas de segurança especiais para impedir atos de vandalismo. Suponha que

Leia mais

MAT146 - Cálculo I - Derivada das Inversas Trigonométricas

MAT146 - Cálculo I - Derivada das Inversas Trigonométricas MAT46 - Cálculo I - Derivada das Inversas Trigonométricas Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Vimos anteriormente que as funções trigonométricas não são inversíveis, mas

Leia mais

Conceitos: Função. Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Funções potência, exponencial e

Conceitos: Função. Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Funções potência, exponencial e Matemática II 05/6 Curso: Gestão Departamento de Matemática ESTG-IPBragança Ficha Prática : Revisões: Funções, Derivadas. Primitivas -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos

Leia mais

PROFMAT AV2 MA

PROFMAT AV2 MA PROFMAT AV MA 11 011 Questão 1. Calcule as seguintes epressões: [ ] (1,0) (a) log n log n (1,0) (b) log a/ log, onde a > 0, > 0 e a base dos logaritmos é fiada arbitrariamente. (a) Como = n 1/n 3, temos

Leia mais

Renato Martins Assunção

Renato Martins Assunção Análise Numérica Integração Renato Martins Assunção DCC - UFMG 2012 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 1 / 1 Introdução Calcular integrais é uma tarefa rotineira em engenharia,

Leia mais

Matemática Exercícios

Matemática Exercícios 03/0 DIFERENCIAÇÃO EM R Matemática Eercícios A. Regras de Derivação Calcular a derivada de f( considerando que toma unicamente os valores para os quais a fórmula que define f( tem significado:. f ( 3 5

Leia mais

Derivada. Aula 09 Cálculo Diferencial. Professor: Éwerton Veríssimo

Derivada. Aula 09 Cálculo Diferencial. Professor: Éwerton Veríssimo Derivada Ala 09 Cálclo Dierencial Proessor: Éwerton Veríssimo Derivada: Conceito Físico Taa de Variação A dosagem de m medicamento pode variar conorme o tempo de tratamento do paciente. O desgaste das

Leia mais

0.1 Função Inversa. Notas de Aula de Cálculo I do dia 07/06/ Matemática Profa. Dra. Thaís Fernanda Mendes Monis.

0.1 Função Inversa. Notas de Aula de Cálculo I do dia 07/06/ Matemática Profa. Dra. Thaís Fernanda Mendes Monis. Notas de Aula de Cálculo I do dia 07/06/03 - Matemática Profa. Dra. Thaís Fernanda Mendes Monis. 0. Função Inversa Definição. Uma função f : A C é injetiva se f(x) f(y) para todo x y, x, y A. Seja f :

Leia mais

Aula 3 Propriedades de limites. Limites laterais.

Aula 3 Propriedades de limites. Limites laterais. Propriedades de ites. Limites laterais. MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Propriedades de ites. Limites laterais. Objetivos Estudar propriedades elementares de ites, tais como: soma, produto, quociente e confronto.

Leia mais

Capítulo 1 Funções reais de uma variável 1.2 Funções trigonométricas inversas

Capítulo 1 Funções reais de uma variável 1.2 Funções trigonométricas inversas As funções trigonométricas seno, coseno, tangente e cotangente não são funções injetivas, não sendo portanto invertíveis nos respetivos domínios. Para definir as respetivas funções inversas tem de se considerar

Leia mais

da dx = 2 x cm2 /cm A = (5 t + 2) 2 = 25 t t + 4

da dx = 2 x cm2 /cm A = (5 t + 2) 2 = 25 t t + 4 Capítulo 13 Regra da Cadeia 13.1 Motivação A área A de um quadrado cujo lado mede x cm de comprimento é dada por A = x 2. Podemos encontrar a taxa de variação da área em relação à variação do lado: = 2

Leia mais

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II. Ficha de trabalho nº 3.

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II. Ficha de trabalho nº 3. Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II Ficha de trabalho nº 3 1. Resolver, da página 80 do seu manual, 1.1. as alíneas a), c) e e) dos

Leia mais

PLANO DE ENSINO IDENTIFICAÇÃO DA DISCIPLINA

PLANO DE ENSINO IDENTIFICAÇÃO DA DISCIPLINA 1 PLANO DE ENSINO IDENTIFICAÇÃO DA DISCIPLINA Curso: Curso Superior de Tecnologia em Sistemas de Telecomunicações Nome da disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Código: TEL015 Carga horária: 83 horas

Leia mais

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADAS PARCIAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADAS PARCIAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques 7 DERIVADAS PARCIAIS TÓPICO Gil da Costa Marques Fundamentos da Matemática II 7.1 Introdução 7. Taas de Variação: Funções de uma Variável 7.3 Taas de variação: Funções de duas Variáveis 7.4 Taas de Variação:

Leia mais

1. Matrizes. 1. Dê um exemplo, em cada alínea, de uma matriz A = [a ij ] m n com:

1. Matrizes. 1. Dê um exemplo, em cada alínea, de uma matriz A = [a ij ] m n com: Matemática Licenciatura em Biologia 4 / 5. Matrizes.. Dê um eemplo, em cada alínea, de uma matriz A = [a ij ] m n com: m =, n = cuja soma das entradas principais seja. (b) m = n = 4 com a a e a 4 = a 4.

Leia mais

Lista de exercícios sobre integrais

Lista de exercícios sobre integrais Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas ICEB Departamento de Matemática DEMAT Cálculo Diferencial e Integral A Lista de exercícios sobre integrais Questão : Em nossa

Leia mais

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido Módulo 2 Geometria Analítica Números Reais Conjuntos Numéricos Números naturais O conjunto 1,2,3,... é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros O conjunto...,3,2,1,0,1, 2,3,... é denominado

Leia mais

Apostila de Cálculo I

Apostila de Cálculo I Limites Diz-se que uma variável tende a um número real a se a dierença em módulo de -a tende a zero. ( a ). Escreve-se: a ( tende a a). Eemplo : Se, N,,,4,... quando N aumenta, diminui, tendendo a zero.

Leia mais

Exercícios sobre Trigonometria

Exercícios sobre Trigonometria Universidade Federal Fluminense Campus do Valonguinho Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada - GMA Prof Saponga uff Rua Mário Santos Braga s/n 400-40 Niterói, RJ Tels:

Leia mais

y ds, onde ds é uma quantidade infinitesimal (muito pequena) da curva C. A curva C é chamada o

y ds, onde ds é uma quantidade infinitesimal (muito pequena) da curva C. A curva C é chamada o Integral de Linha As integrais de linha podem ser encontradas em inúmeras aplicações nas iências Eatas, como por eemplo, no cálculo do trabalho realizado por uma força variável sobre uma partícula, movendo-a

Leia mais

AULA 13 Aproximações Lineares e Diferenciais (página 226)

AULA 13 Aproximações Lineares e Diferenciais (página 226) Belém, de maio de 05 Caro aluno, Nesta nota de aula você aprenderá que pode calcular imagem de qualquer unção dierenciável num ponto próimo de a usando epressão mais simples que a epressão original da.

Leia mais

Substituição Trigonométrica

Substituição Trigonométrica Universidade Federal do ABC Aula 18 Substituição Trigonométrica BCN0402-15 FUV SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Substituição Trigonométrica Introdução: Um exemplo A área de um círculo ou uma elipse é dada por

Leia mais

CÁLCULO I. Figura 1: Círculo unitário x2 + y 2 = 1

CÁLCULO I. Figura 1: Círculo unitário x2 + y 2 = 1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula no 05: Funções Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas. Objetivos da Aula De nir as funções trigonométricas, trigonométricas

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Taxa de Variação. Objetivos da Aula. Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas. Denir taxa de variação;

CÁLCULO I. 1 Taxa de Variação. Objetivos da Aula. Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas. Denir taxa de variação; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas Objetivos da Aula Denir taxa de variação; Usar as regras de derivação

Leia mais

Substituição Simples.

Substituição Simples. MÓDULO - AULA 17 Aula 17 Técnicas de Integração Substituição Simples. Objetivo Mostrar como usar a técnica de integração chamada substituição simples. Motivação - O Teorema Fundamental, mais uma vez...

Leia mais

7. Diferenciação Implícita

7. Diferenciação Implícita 7. Diferenciação Implícita ` Sempre que temos uma função escrita na forma = f(), dizemos que é uma função eplícita de, pois podemos isolar a variável dependente de um lado e a epressão da função do outro.

Leia mais

MAT Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática

MAT Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática MAT- - Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática - 200 a Lista de eercícios I. Limite de funções. Calcule os seguintes ites, caso eistam: 2 3 + 9 2 + 2 + 4 2 + 6 5 ) 2 3 2 2 2) + 4 + 8

Leia mais

A Regra da Cadeia. V(h) = 3h 9 h 2, h (0,3).

A Regra da Cadeia. V(h) = 3h 9 h 2, h (0,3). Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 1 A Regra da Cadeia Suponha que, a partir de uma lona de plástico com 6 metros de comprimento e 3 de largura, desejamos construir uma barraca

Leia mais

Aula 4 Derivadas _ 1ª Parte

Aula 4 Derivadas _ 1ª Parte 1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Aula 4 Derivadas _ 1ª Parte Professor Luciano Nóbrega UNIDADE 1 DERIVADA CONHECIMENTOS PRÉVIOS 2 y y 0 INCLINAÇÃO DA RETA A inclinação de uma reta ou, em outras palavras,

Leia mais

de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas

de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas MÓDULO - AULA 0 Aula 0 Técnicas de Integração Integração de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas Objetivo Aprender a integrar potências e produtos de funções trigonométricas. Introdução Apesar

Leia mais

Se f(x) é função derivada da função F(x), então F(x) é a função primitiva de f(x), isto é, F(x) é primitiva de f(x) se: F (x) =f(x)

Se f(x) é função derivada da função F(x), então F(x) é a função primitiva de f(x), isto é, F(x) é primitiva de f(x) se: F (x) =f(x) Material Didático de Apoio INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS INTEGRAIS. INTRODUÇÃO A partir do estudo de integrais será possível obter informações como: a variação total da produção em um intervalo a partir da

Leia mais

2 Cinemática 2.1 CINEMÁTICA DA PARTÍCULA Descrição do movimento

2 Cinemática 2.1 CINEMÁTICA DA PARTÍCULA Descrição do movimento 2 Cinemática A cinemática tem como objeto de estudo o movimento de sistemas mecânicos procurando descrever e analisar movimento do ponto de vista geométrico, sendo, para tal, irrelevantes os fenómenos

Leia mais

Cálculo Integral, Sequências e Séries

Cálculo Integral, Sequências e Séries Cálculo Integral, Sequências e Séries por PAULO XAVIER PAMPLONA UFCG-UACTA 5 Conteúdo Integral 4. Definição de Integral............................... 4. Integral Indefinida................................

Leia mais

Cálculo I - Curso de Matemática - Matutino - 6MAT005

Cálculo I - Curso de Matemática - Matutino - 6MAT005 Cálculo I - Curso de Matemática - Matutino - 6MAT005 Prof. Ulysses Sodré - Londrina-PR, 17 de Abril de 008 - provas005.te TOME CUIDADO COM OS GRÁFICOS E DETALHES DA SUBSTITUIÇÃO UTILIZADA.....................................................................................................

Leia mais

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS Cálculo Volume Dois - 40 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS Quando uma função racional da forma N()/D() for tal que o grau do polinômio do numerador for maior do que o do denominador, podemos obter sua integral

Leia mais

Descrevendo Regiões no Plano Cartesiano e no Espaço Euclidiano

Descrevendo Regiões no Plano Cartesiano e no Espaço Euclidiano Descrevendo Regiões no Plano Cartesiano e no Espaço Euclidiano Americo Cunha Débora Mondaini Ricardo Sá Earp Departamento de Matemática Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Regiões no Plano

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Taxa de Variação. Objetivos da Aula. Aula n o 15: Taxa de Variação. Taxas Relacionadas. Denir taxa de variação;

CÁLCULO I. 1 Taxa de Variação. Objetivos da Aula. Aula n o 15: Taxa de Variação. Taxas Relacionadas. Denir taxa de variação; CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida Aula n o 15: Taxa de Variação. Taxas Relacionadas Objetivos da Aula Denir taxa de variação; Usar as regras de derivação no cálculo de

Leia mais

INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Capítulo 6 INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 6.1 Introdução Na primeira parte do capítulo mostraremos como obter uma função conhecendo apenas a sua derivada. Este problema é chamado de integração indefinida. Definição6.1.

Leia mais

Gráficos de Funções Trigonométricas

Gráficos de Funções Trigonométricas UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Gráficos de Funções

Leia mais

Resolução 2 o Trabalho de Análise Matemática I ETI/LEI (02 de Dezembro de 2010)

Resolução 2 o Trabalho de Análise Matemática I ETI/LEI (02 de Dezembro de 2010) Resolução o Trabalho de Análise Matemática I ETI/LEI ( de Dezembro de ) Diana A. Mendes a). Z ( + e ) d Z Z µ () d + (e ) d +(e ) µ + e e +e +e b). µ Z +4 +5 d Z µ d +4 +4+ Z µ +( +) d (arctan ( +)) arctan

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I Cálculo Diferencial e Integral I Resolução do Eame / Testes de Recuperação I.. (, val.)determine os ites das seguintes sucessões convergentes (i) u n n + n n e n + n, (ii) v n n + π n Resolução: i) A sucessão

Leia mais

CAPÍTULO 9 CINEMÁTICA DO MOVIMENTO ESPACIAL DE CORPOS RÍGIDOS

CAPÍTULO 9 CINEMÁTICA DO MOVIMENTO ESPACIAL DE CORPOS RÍGIDOS 82 CPÍTULO 9 CINEMÁTIC DO MOVIMENTO ESPCIL DE CORPOS RÍGIDOS O estudo da dinâmica do corpo rígido requer o conhecimento da aceleração do centro de massa e das características cinemáticas do corpo denominadas

Leia mais

Aula 25 Técnicas de integração Aula de exercícios

Aula 25 Técnicas de integração Aula de exercícios MÓDULO - AULA 5 Aula 5 Técnicas de integração Aula de exercícios Objetivo Conhecer uma nova série de exemplos nos quais diferentes técnicas de integração são utilizadas. Nesta aula, você verá uma série

Leia mais

Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo Aula 1 Professor: Carlos Sérgio. Revisão de Funções

Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo Aula 1 Professor: Carlos Sérgio. Revisão de Funções Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo - 01. Aula 1 Professor: Carlos Sérgio Revisão de Funções Sistema cartesiano ortogonal O Sistema de Coordenadas Cartesianas,

Leia mais

A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e Máximos e Mínimos - Aula 18

A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e Máximos e Mínimos - Aula 18 A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e - Aula 18 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 10 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106

Leia mais

MAT093, MAT095 e MAT 097. Tutoria de Cálculo Diferencial e Integral

MAT093, MAT095 e MAT 097. Tutoria de Cálculo Diferencial e Integral UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Eatas e Tecnológicas - CCE Departamento de Matemática MAT093, MAT095 e MAT 097 Tutoria de Cálculo Diferencial e Integral Apostila DMA - UFV 010 Sumário

Leia mais

Limites, derivadas e máximos e mínimos

Limites, derivadas e máximos e mínimos Limites, derivadas e máimos e mínimos Psicologia eperimental Definição lim a f ( ) b Eemplo: Seja f()=5-3. Mostre que o limite de f() quando tende a 1 é igual a 2. Propriedades dos Limites Se L, M, a,

Leia mais

Substituição Trigonométrica

Substituição Trigonométrica UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Substituição Trigonométrica

Leia mais

Cálculo a Várias Variáveis I - MAT Cronograma para P2: aulas teóricas (segundas e quartas)

Cálculo a Várias Variáveis I - MAT Cronograma para P2: aulas teóricas (segundas e quartas) Cálculo a Várias Variáveis I - MAT 116 0141 Cronograma para P: aulas teóricas (segundas e quartas) Aula 10 4 de março (segunda) Aula 11 6 de março (quarta) Referências: Cálculo Vol James Stewart Seções

Leia mais

A. Funções trigonométricas directas

A. Funções trigonométricas directas A. Funções trigonométricas directas As funções seno, cosseno, tangente e cotangente são contínuas e periódicas nos respectivos domínios. Todas elas são funções não injectivas e, portanto, não possuem inversa.

Leia mais

A Prática. Perfeição. Cálculo. William D. Clark, Ph.D e Sandra Luna McCune, Ph.D

A Prática. Perfeição. Cálculo. William D. Clark, Ph.D e Sandra Luna McCune, Ph.D A Prática Leva à Perfeição Cálculo William D. Clark, P.D e Sandra Luna McCune, P.D Rio de Janeiro, 01 Para Sirley e Donice. Vocês estão sempre em nossos corações. Sumário Prefácio i I Limites 1 1 O conceito

Leia mais

O limite trigonométrico fundamental

O limite trigonométrico fundamental O ite trigonométrico fundamental Meta da aula Continuar a apresentação de ites de funções. Objetivo Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: Calcular ites usando o ite trigonométrico fundamental.

Leia mais

6 AULA. Equações Paramétricas LIVRO. META Estudar funções que a cada ponto do domínio associa um par ordenado

6 AULA. Equações Paramétricas LIVRO. META Estudar funções que a cada ponto do domínio associa um par ordenado 1 LIVRO Equações Paramétricas 6 AULA META Estudar funções que a cada ponto do domínio associa um par ordenado de R 2 OBJETIVOS Estudar movimentos de partículas no plano. PRÉ-REQUISITOS Ter compreendido

Leia mais

II-2. Integração de Funções Trigonométricas Integração de Funções Trigonométricas

II-2. Integração de Funções Trigonométricas Integração de Funções Trigonométricas II-2. Integração de Funções Trigonométricas Integração de Funções Trigonométricas Nesta aula são apresentadas as integrais de funções trigonométricas que se resolve através das relações trigonométricas

Leia mais

Estudar mudança no valor de funções na vizinhança de pontos.

Estudar mudança no valor de funções na vizinhança de pontos. Universidade Federal de Alagoas Faculdade de Arquitetura e Urbanismo Curso de Arquitetura e Urbanismo Disciplina: Fundamentos para a Análise Estrutural Código: AURB006 Turma: A Período Letivo: 007- Professor:

Leia mais

Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral I, Amélia Bastos, António Bravo, Paulo Lopes 2011

Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral I, Amélia Bastos, António Bravo, Paulo Lopes 2011 Eercícios de Cálculo Diferencial e Integral I, Amélia Bastos, António Bravo, Paulo Lopes Introdução Neste teto apresentam-se os enunciados de conjuntos de eercícios para as aulas de problemas do curso

Leia mais

Derivando fun»c~oes trigonom etricas

Derivando fun»c~oes trigonom etricas Aula 1 Derivando fun»c~oes trigonom etricas Nesta aula estaremos deduzindo derivadas de fun»c~oes trigonom etricas. Estaremos tamb em aresentando as fun»c~oes trigonom etricas inversas e deduzindo suas

Leia mais

MÓDULO 45 TRIGONOMETRIA II. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. 1. Considere a equação. (3 2 cos 2 x) 1 + tg 2. 6 tg = 0.

MÓDULO 45 TRIGONOMETRIA II. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. 1. Considere a equação. (3 2 cos 2 x) 1 + tg 2. 6 tg = 0. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Considere a equação TRIGONOMETRIA II ( cos ) + tg MÓDULO 5 tg = 0. a) Determine todas as soluções no intervalo [0, [. b) Para as soluções

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral C. Me. Aline Brum Seibel

Cálculo Diferencial e Integral C. Me. Aline Brum Seibel Cálculo Diferencial e Integral C Me. Aline Brum Seibel Em ciências, engenharia, economia e até mesmo em psicologia, frequentemente desejamos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou fenômeno

Leia mais

Se a função de consumo é dada por y = f(x), onde y é o consumo nacional total e x é a renda nacional total, então a tendência marginal ao consumo é ig

Se a função de consumo é dada por y = f(x), onde y é o consumo nacional total e x é a renda nacional total, então a tendência marginal ao consumo é ig ELEMENTOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA 01: INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS TÓPICO 02: REVENDO TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO VERSÃO TEXTUAL Este tópico objetiva reapresentar as principais técnicas de integração.

Leia mais

MAT146 - Cálculo I - Taxas de Variação. Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira

MAT146 - Cálculo I - Taxas de Variação. Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Obserque que até o momento, tem sido visto apenas como uma notação dx para a derivada da equação y = f (x). O que faremos agora é interpretar

Leia mais

Capítulo 3 Derivada e Diferencial

Capítulo 3 Derivada e Diferencial Capítulo 3 Derivada e Diferencial Objetivos Determinar a equação de retas tangentes a uma curva em um determinado ponto Resolver problemas que envolvam retas paralelas e normais à reta tangente de uma

Leia mais

Integração por Partes

Integração por Partes UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integração por Partes

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS PROGRAMA DE ENSINO DE DISCIPLINA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS PROGRAMA DE ENSINO DE DISCIPLINA Curso: Biotecnologia (13) Ano: 2014 Semestre: 1 Período: 1 Disciplina / Unid. Curricular / Módulo: Cálculo Diferencial e Integral I Código: DCE32 (Differential and Integral Calculus I) Carga Horária Total:

Leia mais

26.1 Integração por partes

26.1 Integração por partes Capítulo 6 Técnicas de Integração Você já deve ter percebido que resolver integrais ou achar primitivas de uma função qualquer não é muito simples, por isso é necessário desenvolver algumas técnicas ou

Leia mais

Capítulo Derivadas parciais

Capítulo Derivadas parciais Cálculo 2 - Capítulo 24 - Derivadas parciais 1 Capítulo 24 - Derivadas parciais 241 - Introdução 243 - Significado geométrico das derivadas parciais 242 - Derivadas parciais Veremos agora como aplicar

Leia mais

1. Com o auxílio de régua graduada e transferidor, calcular sen 42, cos 42 e tg 42. Resolução Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo:

1. Com o auxílio de régua graduada e transferidor, calcular sen 42, cos 42 e tg 42. Resolução Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo: Atividades Complementares 1. Com o auxílio de régua graduada e transferidor, calcular sen 4, cos 4 e tg 4. Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo: Medimos, com auxílio da régua, os lados

Leia mais