Cálculo de primitivas ou de antiderivadas

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1 Aula 0 Cálculo de primitivas ou de antiderivadas Objetivos Calcular primitivas de funções usando regras elementares de primitivação. Calcular primitivas de funções pelo método da substituição. Calcular primitivas de funções usando o método da integração por partes. Esta aula será dedicada às técnicas que nos permitirão calcular primitivas que não sejam obtidas por simples inspeção. Recordemos que F () é uma primitiva ou antiderivada de uma função f() em um intervalo I se F () =f(), para todo I, sendo que o símbolo f()d designa f()d = F ()+C. Regras elementares para cálculo de primitivas Por questões de completeza estabeleceremos não apenas novas regras como também recordaremos outras que já foram citadas na aula 8. Nas regras a seguir, o símbolo C representará sempre uma constante arbitrária. Regra. 0 d = C. 5

2 6 Cálculo - aula 0 UFPA Regra. d = + C. Regra 3. ad= a + C, em que a é uma constante. Regra 4. r d = r+ + C, para qualquer número racional r r + Regra 5. af()d = a f()d, qualquer seja a constante a Regra 6. (f()+g())d = f()d + g()d. Regra 7. (f() g())d = f()d g()d. Regra 8. (g()) r g ()d = racional r. r + (g())r+ + C, para todo número Outras técnicas de integração serão vistas. Antes de passarmos a elas faremos uma seqüência de eemplos, a fim de que o leitor fie definitivamente as regras já estabelecidas. Eemplo 96. Calculemos a integral 6 d Neste caso basta aplicar diretamente a regra 4. 6 d = C Eemplo 97. Calculemos 5 d

3 UFPA Cálculo - aula 0 7 Observemos inicialmente que 5 d = 5 d. Agora, tal como no eemplo anterior, basta aplicar diretamente a regra 4, para obter 5 d = C. Eemplo 98. Calculemos a integral indefinida ( 5 +3)d. Aplicando as regras 5, 6 e 7, obtemos ( 5 +3)d = d 5 d + 3d Segue-se das regra 3 e 4 que ( 5 +3)d = C. Eemplo 99. Calculemos a seguinte integral indefinida (3s +4) ds. Observemos que (3s +4) ds = 3 (3s +4) 3ds Assim, podemos aplicar a regra 8 para obter (3s +4) ds = ( ) (3s +4)3 + C = (3s +4)3 + C. Método da substituição Para resolver uma integral que possa ser escrita na forma f(g())g ()d podemos lançar mão de um processo chamado método da substituição, que consiste em tomar u = g() e, portanto, du = g ()d, de modo que a integral anterior pode ser reescrita como f(g())g ()d = f(u)du. Assim, a variável de integração, que era, foi substituída pela nova variável u. Vejamos alguns problemas.

4 8 Cálculo - aula 0 UFPA cos Eemplo 00. Calculemos a integral d. Observemos que essa integral pode ser escrita como cos d = cos( ) d. Fazendo u =, obtemos du = d. Assim, cos d = cos udu= sen u = sen ( )+C. Eemplo 0. Calculemos a integral + d. Façamos u = +, logo du = d. Então u d = du + u ( ) = u u du Eemplo 0. Calculemos = 3 u 3 u + C = ( ) 3 u u + C 3 = ( ) C 3 = 3 +( ) + C 3 3 +d. Notemos que + = ( ). Assim, fazendo u =, du = d. Então d = ( ) d 3 = u du = u 3 du = 3 5 u C = 3 ( 3 ) 5 u + C 5 = 3 ( 3 ) 5 5

5 UFPA Cálculo - aula Integração por partes Sejam f e g funções deriváveis em um certo intervalo I. Usando a regra do produto para a derivação (f()g()) = f ()g()+f()g () obtemos Assim, f()g () =(f()g()) f ()g(). f()g ()d = (f()g()) d f ()g()d o que nos fornece f()g ()d = f()g() f ()g()d que é a chamada fórmula de integração por partes. Tal fórmula é mais usualmente apresentada da seguinte maneira. Chamemos u = f() e dv = g ()d, demodoque du = f ()d e v = g() e assim temos a outra forma para a fórmula de integração por partes udv = uv vdu. Vejamos alguns eemplos. Eemplo 03. Calculemos a integral cos d. Para aplicar a fórmula de integração por partes devemos escolher convenientemente u e dv observando que u deve ser derivada e dv deve ser integrada, de modo que a integral resultante se torne mais simples do que a integral original. No presente caso, façamos o que nos dá donde u = e dv = cos d du = d e v = sen cos d = sen sen d = sen + cos + C.

6 0 Cálculo - aula 0 UFPA Eemplo 04. Calculemos cos d. Chamemos u = e dv = cos d para obter du =d e dv = cos d, e assim v = sen. Logo, cos d = sen (sen )d e observemos que devemos integrar por partes o termo sen d. Façamos o que fornece Daí, sen = cos + u = e dv = sen d du = d e v = cos. cos d = cos + sen + C. Voltando à integral cos d, teremos cos d = sen + cos sen + C, em que C é a constante C. Para nos certificarmos de que os cálculos efetuados estão corretos, podemos derivar a função sen + cos sen + C cujo resultado deve ser cos. De fato, ( sen +cos sen + C ) = sen + cos + cos sen cos = cos, o que mostra que os cálculos efetuados estão corretos. Evidentemente, após o estudante adquirir prática no processo de integração por partes, esta verificação final pode ser dispensada. Deiaremos certas integrais por partes, envolvendo eponencial, logaritmos, etc., para aulas futuras.

7 UFPA Cálculo - aula 0 Eemplo 05. Calculemos sen (k)d. em que k é uma constante não-nula. Façamos u = e dv = sen (k)d, donde o que implica du = d e v = cos(k) k sen (k)d = cos(k) k = cos(k) k + k cos(k)d + sen (k)+c. k Observa-se que, ao calcularmos integrais indefinidas, sempre surge a chamada constante de integração. Em alguns casos pode-se determinar tal constante de integração. Vejamos um eemplo no qual isso ocorre. Eemplo 06. Determinemos a curva que passa pelo ponto (, 3) e cuja declividade da reta tangente a ela, em cada um de seus pontos (, y), é dada por y. Seja y = f() a equação dessa curva. Assim, y = y, pois a derivada y mede a declividade da reta tangente em cada um de seus pontos. Daí, yy = e observando que, usando a regra da cadeia, teremos yy =. Logo d d [y ]=yy, d d [y ]= o que nos diz que y é primitiva de. Pela definição de primitiva, tem-se y = d = + C, em que C é a constante de integração. Assim, + y = C

8 Cálculo - aula 0 UFPA é a epressão algébrica de todas as curvas cuja declividade da reta tangente em cada um de seus pontos é. Desta última epressão tem-se que y y 0. Além disso, como + y > 0, quaisquer que sejam (, y),y 0, façamos C = R,R>0,edaí y = R ou y = R. Observando-se que no enunciado eige-se que o ponto (3, 4) pertença à curva, façamos =3ey = 4 para obter 3 +4 = R =5 o que nos fornece R = 5, de modo que a curva procurada é y = R que é o semicírculo de centro (0, 0) e raio 5. 4 Funções trigonométricas inversas Introduziremos agora a noção de função trigonométrica inversa. Comecemos com a inversa da função sen. Como é bem conhecido, a função sen não é injetiva e em vista disso não eistirá sua inversa. No entanto, se restringirmos seu domínio, por eemplo, ao intervalo [ π, π ], teremos que a função sen, restrita a este intervalo, sen : [ π, π ] [, ] é injetiva e sobrejetiva, de modo que eiste a sua inversa, designada por arcsen, arcsen : [, ] [ π, π ]. Dessa maneira é equivalente a dizer que y = arcsen = sen y. Derivando ambos os membros de = sen y, observando que y é função de e usando a regra da cadeia, obtém-se =y cos y. Restringindo os valores de y ao intervalo ( π, π ), a fim de que cos y 0, o que restringirá os valores de ao intervalo aberto (, ), obtém-se y = cos y.

9 UFPA Cálculo - aula 0 3 Como = sen y implica cos y =, teremos y =, o que nos fornece as seguintes regras para derivação e integração da função arcsen d d (arcsen ) = = arcsen + C (0.) Tudo o que fizemos a fim de determinar uma função inversa para a função sen e calcular a derivada e a primitiva dessa inversa pode ser reproduzido para a função cos em que, nesse caso, restringimos ao intervalo (, ), o que restringe y a(0,π). Assim, d d (arccos ) = arccos d = arccos + C. Vejamos o que acontece no caso da função tangente. Observemos que essa função, restrita ao intervalo ( π, π), ( tg : π, π ) (, + ), é injetiva e sobrejetiva (além de contínua, derivável, etc.), de modo que podemos definir sua inversa ( tg : (, + ) π, π ) de modo que y = arctg se, e somente se, =tgy. Derivando ambos os membros desta última igualdade, lembrando que y é uma função de, e usando a regra da cadeia, obtemos =y sec y. Como sec y = + arctg y =+, teremos de onde resulta d (arctg ) = d + d = (arctg )+C. + Vejamos alguns eemplos de integrais nas quais aparecem termos da forma k ou k +

10 4 Cálculo - aula 0 UFPA Eemplo 07. Calculemos a integral k d, em que k é uma constante positiva. Observemos que a epressão k, a menos da constante k, é essencialmente aquela que aparece em (0.). A fim de que elas se tornem eatamente iguais, façamos = ku, demodo que d = kdu edaí k d = = k k u kdu u du = arcsen u ( + C ) = arcsen + C. k Eemplo 08. Calculemos a integral indefinida k + d. Procedendo como no eemplo anterior, façamos = ku, de onde d = kdu, e assim k + d = k k + k u du = +u du = k arctg u + C = ( ) k arctg + C. k Eemplo 09. Calculemos arcsen d. Façamos u = arcsen e dv = d de onde du = d, v =. Portanto, arcsen d = arcsen d

11 UFPA Cálculo - aula 0 5 em que esta última integral é resolvida por substituição. Mais precisamente, fazendo = sen θ, o que implica d = cos θdθ, obtém-se d = sen θdθ = θ θ sen +C = 4 arcsen +C. Portanto, arcsen d = arcsen 4 arcsen C. 5 Eercícios resolvidos. Calcule d. 6 Solução. Basta observar que d = 6 d 6 e aplicar a regra 4. Assim, d = C.. Calcule a integral 3 d. Solução. Observemos que 3 d = 3 d Assim, segue da regra 4 que 3 d =3 3 + C. 3. Calcule a integral indefinida ( ) d. Solução. Inicialmente observemos que ( ) d = ( ) d = ( 3 )d Usando agora a regra 7 e depois a regra 4, obtém-se ( ) d = d 3 d = C 5 = C = 3 ( 3 5 )+C.

12 6 Cálculo - aula 0 UFPA 4. Calcule 3 d. Solução. Essa integral pode ser reescrita como segue 3 d = ( ) 3 ( )d Agora basta aplicar a regra 8. 3 d = ( 4 ( ) )+C = 8 ( ) C Calcule sin cos d. Solução. A resolução dessa integral é conseqüência imediata da regra 8. sin cos d = (sin ) cos d = 3 (sin )3 + C. 6 Eercícios propostos. Calcule as primitivas (antiderivadas) a seguir: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) ( + ) d + ( +) d cos 3d sen z cos z dz + cos d ( ) 3 d d ( ) 3 d d +3 3 d ( +3) 3 d

13 UFPA Cálculo - aula 0 7 (k) (l) 5 3 d ( ) d (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s) (t) (u) (v) (w) sen d ( ) 5 d (5sen + 3 cos )d ( ) d 3 +d + d cos d sen d 3 d d 4 d. Encontre a equação da curva que passa pelo ponto (, ) e cuja inclinação em cada ponto (, y),>0, é dada por Uma partícula se move em linha reta com velocidade v(t) =t +. Determine a distância percorrida pela partícula, de t = a t = 3.

14 8 Cálculo - aula 0 UFPA 7 Respostas dos eercícios propostos (. (a) ) C 5 (b) C (c) sin (3 )+C 3 (d) cos z + C (e) + cos + C (f) 5 ( ) 5 + C (g) ( ) + C (h) +3+C (i) 9 (3 ) 3 + C 3 ( (j) +3 ) C 6 (k) C (l) ( ) 3 ( 7 3 )+C (m) cos + C (n) ( ) 6 (o) 5 cos + 3sen + C (p) + + C (q) 5 ( +)3 ( +3)+C (r) + C (s) sen + + C 4 (t) sen + C 4 (u) C 4 (v) 3 arcsen ( )+C (w) arcsen ( )

15 UFPA Cálculo - aula 0 9. y = unidades de comprimento Nesta aula você aprendeu: a calcular primitivas de funções usando regras elementares de primitivação. a calcular primitivas de funções pelo método da substituição. a calcular primitivas de funções usando o método da integração por partes.