Eletromagnetismo II. Preparo: Diego Oliveira. Aula 3. Equação da Onda e Meios Condutores

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Vinícius Silveira
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1 Eletromagnetismo II Prof. Dr. R.M.O Galvão - 1 Semestre 015 Preparo: Diego Oliveira Aula 3 Equação da Onda e Meios Condutores Vamos considerar a equação de onda para casos em que existam correntes de condução num meio condutor mas não exista uma densidade de cargas livres. A razão para supor a não existência dessas cargas é que, caso elas sejam colocadas no condutor, vão rapidamente se deslocar para sua superfície (veja Eq do livro texto). Se σ for a condutividade do meio, a densidade de corrente que parece devido ao campo elétrico da onda é dada por j = σ E e as equações de Maxwell ficam E = 0 B = 0 B = E B = µσ E + µɛ E Tomando o rotacional da lei de Faraday e substituindo B da lei de Ampère, obtemos ( E) = ( E) E = µσ E + µɛ E portanto a equação de onda para E fica E µσ E µɛ E = 0 1

2 Também podemos encontrar para B B µσ B µɛ B = 0 O novo termo que aparece nessas equações, com a primeira derivada temporal do campo, é um termo dissipativo e dará origem ao amortecimento da onda ao se propagar pelo meio. Para entender o porquê desse efeito, suponhamos que tentemos uma solução particular dessas equações considerando um campo elétrico homogêneo, ou seja, que não dependa das coordenadas espaciais, E( r, t) = E(t). Então a equação de onda para E fica ( µσ E + µɛ E ) = 0 E(t) = E 0 e t/τ onde o tempo característico de decaimento do campo inicial E 0 é τ = ɛ/σ. Este é o tempo com o qual qualquer campo elétrico constante aplicado ao material decai aproximadamente 36% de seu valor inicial. Este decaimento ocorre porque as cargas induzidas no meio se deslocam de forma a anular o campo externo. Com o termo dissipativo, a solução da equação de onda fica um pouco mais complexa e, mesmo em uma dimensão, sua solução não é dada pela forma simples E(z, t) = f (z vt)+ g (z + vt), como visto em Eletromagnetismo I. Exercício: Mostre que A(z, t) = f (z vt), onde f é uma função arbitrária, não é solução da equação de onda A z µσ A µɛ A = 0 Vamos, no entanto, verificar se a solução de ondas monocromáticas ainda se aplica. Se isto for o caso, podemos sempre determinar uma solução geral através da composição de Fourier. Tomando a equação de onda para E E µσ E µɛ E = 0 consideremos o seguinte ansatz para a solução E( r, t) = E 0 e i ( k r ωt) = E 0 e i (k x x+k y y+k z z ωt), E 0 constante,

3 onde o vetor k é dado por k = k x ê x + k y ê y + k z ê z. Então E = E 0 ( ) ( ) e i ( k r ωt) = kx + k y + k z E ) e i ( k r ωt) ou E = k E Por outro lado, é fácil verificar que E = iω E; E = ω E Usando esses resultados, a equação de onda fica ( k iωµσ µɛω ) E 0 e i ( k r ωt) = 0 e a solução é dada pela relação de dispersão. k = µɛω 1 + i σ ou seja, a constante de propagação e o índice de refração do meio (n = c/v = ck/ω) ficam complexos! Determinando explicitamente as partes real e imaginária de k, ou seja, escrevendo k = k ˆk; k = α + iβ temos E = E 0 e i ( k r ωt) = E 0 e β ˆk r e i (α ˆk r ωt) Este resultado mostra que a parte real de k (α) vai determinar a velocidade de fase da onda, como, no caso sem amortecimento. Por outro lado, sua parte imaginária vai produzir um amortecimento espacial da onda na direção de propagação, a partir do ponto em que ela penetra no material. Vamos agora determinar as expressões explicitas para α e β. k = α + iβ k = α β + iαβ = µɛω 1 + i σ 3

4 α β = µɛω αβ = ωµσ β = ωµσ α Substituindo este resultado na primeira equação, obtemos 4α 4 4µɛω α ω µ σ = 0 α = 1 8 4µɛω ± 16µ ɛ ω ω µ σ ou α = 1 ( σ ) 1 µɛω ± 1 + Antes de prosseguir, é bom investigar as duas raízes possíveis para verificar se ambas têm sentido físico. No limite σ 0, ou seja, meio dielétrico perfeito, temos que obter o resultado já conhecido, β 0 e α k = ω /v = ω µɛ. Somente a solução com o sinal positivo satisfaz esta condição e, portanto, e, da mesma forma µɛ α = ω ( σ ) 1/ β = ω ( 1/ σ µɛ ) e a solução para o campo elétrico fica E( r, t) = E 0 e βξ e i (αξ ωt) onde ξ = ˆk r. Como a equação de onda para B é a mesma que para E, a solução de onda monocromática é da mesma forma. No entanto, no caso de meios condutores, é necessário tomar cuidado, porque a condutividade introduz uma defasagem E e B! Para determinar esta defasagem, retornemos à lei de Faraday E = B E 0 e i ( k r ωt) = B 0 e i ( k r ωt) 4

5 Mas E 0 e i ( k r ωt) = e i ( k r ωt) E }{{} 0 E 0 e i ( k r ωt) =0 = = i E 0 ke i ( k r ωt) = i k E Por outro lado, B 0 e i ( k r ωt) = iω B Assim a lei de Faraday fica i k E = iω B B = 1 k E = k ˆk E ω ω este resultado é formalmente igual ao equivalente para meios não-condutores. No entanto, o parâmetro k é agora complexo! Isto introduz uma defasagem entre B e E pela fase de k: k = k e iφ = α + β e iφ = ω ( σ ) 1/4 µɛ 1 + e iφ φ = ar ct g β α t g φ = β α = 1 + ( σ ) ( σ ) + 1 B = ( σ ) 1/4 µɛ 1 + e iφ Portanto o diagrama de uma onda plana num meio condutor é como mostrado na figura. Os máximos e zeros de E e B não ocorrem simultaneamente. Há sempre uma atraso de B em relação a E. O fator importante na propagação de ondas em meios condutores é a razão σ/. Este fator corresponde à razão entre a corrente de condução ( j = σ E) e o de deslo- B E 5

6 camento ( j = ɛ E/). Um meio é considerado bom condutor se σ/ 1 e mau condutor se σ/ 1. Portanto, a qualidade de condução de um meio não depende somente de suas características físicas intrínsecas (σ e ɛ), mas também da frequência da onda que nele se propaga. Em altas frequências, ω σ/ɛ, os meios se comportam como bons condutores. No entanto, para frequências acima do visível, efeitos ressonantes se tornam importantes e a teoria macroscópica simples não é adequada. Casos limites 1) Mau condutor: σ 1 ( ) σ ( σ ) α ω µɛ ( σ ω µω 4 ) µɛ µ β σ ɛ Neste limite, portanto, podemos tomar a constante de propagação como a que se obtém num meio dielétrico (k α = ω µɛ), com uma constante de amortecimento simplesmente proporcional à condutividade do meio e independente da frequência. )Bom condutor: σ 1 Tomamos então /σ como o parâmetro pequeno de desenvolvimento. Para isto escrevemos α e β como µɛ α = ω 1 + σ ( ) 1/ µɛ 1 + ; β = ω 1 σ ( ) 1/ 1 + σ σ ( ) 1 ( σ σ ) µɛ α = ω 1 + σ + 1 1/ σ +... µσω σ 6

Da mesma forma, se obtém β = µσω 1 1 σ Portanto, em mais baixa ordem em /σ, temos α = β = δ 1, onde a distância δ = µσω é denominada profundidade de penetração ou profundidade pelicular.

7 Da mesma forma, se obtém β = µσω 1 1 σ Portanto, em mais baixa ordem em /σ, temos α = β = δ 1, onde a distância δ = µσω é denominada profundidade de penetração ou profundidade pelicular. Ela fornece a distância no qual a amplitude da onda decai a 36% de seu valor inicial (e 1 ) e, para bons condutores, este decaimento ocorre aproximadamente num distância da ordem de um sexto do comprimento de onda dentro do material, por que λ mat = π k real = π α πδ Reexão em uma superfície condutora Consideremos uma situação em que uma onda propagando-se em um meio dielétrico isolante (σ = 0) incide normalmente no superfície de outro meio () com condutividade σ não nula. Suponhamos que a interface esteja no plano xy, com a onda se propagando na direção z. Então, no meio 1 podemos escrever os campos das ondas incidentes e refletida como E 1 (z, t) = E 01 e i (k 1z ωt)ê x ; B 1 (z, t) = E 01 v 1 e i (k 1z ωt)ê y ; E 1 (z, t) = E 01 e i (k 1z+ωt)ê x ; B 1 (z, t) = E 01 v 1 e i (k 1z ωt)ê 1 y ; v 1 = µ1 ɛ 1 Já a onda transmitida pode ser escrita como E (z, t) = E 0 e i (k z ωt)ê x ; B (z, t) = k ω E 0e i (k 1z ωt)ê y ; 7

8 No entanto, temos que lembrar que agora k é um número complexo, ou seja, k = α +iβ. A continuidade da componente tangencial de E na interface, fornece E 01 + E 01 = E 0 Já, considerando que na interface não há densidade superficial de corrente, a continuidade da componente tangencial de H fornece 1 µ 1 ɛ 1 (E 01 E 01 ) = k µ ω Resolvendo este sistema de equações para E 01, temos onde ( µ ) ( ) ω µ1 ω + 1 E E 01 k µ 1 v 1 k µ 1 v = 0 1 r = E 01 E 01 = 1 β 1 + β β = µ 1v 1 µ ω k Da mesma forma, resolvendo para β, obtemos t = E 0 E 01 = 1 + β Estas expressões são formalmente iguais às que obtivemos para a reflexão na interface entre dois meios dielétricos. Mas temos que considerar que a grandeza β é agora complexa! Se considerarmos k = α + iβ temos então t = 1 + µ 1v 1 µ ω α + i µ 1v 1 µ ω β = 1 + µ 1v 1 µ ω α i µ 1v 1 µ ω β ) ( µ1 v + 1 µ ω β ( 1 + µ 1v 1 µ ω α ) ou seja, o coeficiente de transmissão introduz um defasagem entre o campo transmitido e 8

9 o incidente. Para um condutor muito bom σ/ 1, vimos que µσω α β 1 Então, neste caso t µ 1v 1 ( µ1 v 1 µ ω µ ω (1 i ) µσω ) (α + β ) t (1 i ) µ 1v 1 µ ω δ Mas (1 i ) = e iπ/4 t µ1 v 1 µ ω δe iπ/4 ou seja, a condutividade ocasiona uma defasagem de 45 entre a onda transmitida e a incidente. Problema: Determinar a expressão aproximada para r neste mesmo limite, σ/ 1, e a defasagem entre a onda refletida e a incidente. 9

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