Ondas planas sinusoidais monocromáticas

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1 Ondas planas sinusoidais monocromáticas Para além de obedecerem às equações de onda (417) e (418), os campos eléctrico e magnético novazioestãotambém sujeitos às equações de Maxwell, o que se traduz em características específicas das ondas electromagnéticas. No sentido de estudarmos estas características, consideremos que o campo eléctrico é descrito no vazio por uma onda plana sinusoidal monocromática, a propagar-se na direcção positiva do eixo dos xx, tendo a seguinte forma: E(x,t)=E 0 e j(kx ωt+φ 0) =(E 0x ê x +E 0y ê y +E 0z ê z )e j(kx ωt+φ 0) (40) O campo magnético associado a esta onda está indissociavelmente ligado ao campo eléctrico através da lei de Ampère-Maxwell e da lei de Faraday. A variação temporal do campo eléctrico gera o campo magnético e vice-versa. Esperamos pois que o campo magnético associado à mesma onda plana seja também descrito por uma onda plana propagando-se na mesma direcção com a mesma frequência. Sendo também a mesma velocidade de propagação, o comprimento de onda será idêntico: B(x,t)=B 0 e j(kx ωt+φ 1) =(B 0x ê x +B 0y ê y +B 0z ê z )e j(kx ωt+φ 1) (41) Estamos para já a admitir que o campo magnético possa não estar em fase com o campo eléctrico, mas rapidamente verificaremos que, no vazio (não é o caso geral), o campo magnético se propaga em fase com o campo eléctrico. Novazio,adensidadedecargaénula,ρ=0,peloquealeideGaussimplica E=0. Isto implica, para a onda plana em questão: E=0 jke 0x e j(kx ωt+φ 0) =0 E 0x =0 (4) A componente do campo eléctrico paralela à direcção de propagação é assim nula, sendo o o campo eléctrico perpendicular à direcção de propagação. O mesmo decorre para o campo magnético, da equação B = 0. A onda electromagnética associada é poisumaondatransversa,quernoquedizrespeitoaocampoeléctrico,quernoquediz respeito ao campo magnético. Recorrendo à lei de Faraday, podemos calcular o campo magnético associado a esta onda: E= B ( E 0zjkê y +E 0y jkê y )e j(kx ωt+φ0) = B (43)

2 0.30. ONDASELECTROMAGNÉTICASNOVAZIO 131 DaquiresultamequaçõesparaB y eb z : B y =E 0z jke j(kx ωt+φ 0) (44) B z = E 0y jke j(kx ωt+φ 0) (45) Estas equações têm como solução(desprezando as constantes de integração, por corresponderem a soluções triviais, não ondulatórias, da equação de onda): B y = k ω E 0ze j(kx ωt+φ 0) = 1 c E 0ze j(kx ωt+φ 0) (46) B z = k ω E 0ye j(kx ωt+φ 0) = 1 c E 0ye j(kx ωt+φ 0) (47) emqueseatendeuaω/k=c,novazio. Ocampomagnéticoassimobtidoestápoisem fase com o campo eléctrico. Além disso, é-lhe perpendicular, conforme se pode verificar rapidamente calculando o produto vectorial E B: E B=E y B y +E z B z =0 (48) Para uma onda electromagnética no vazio, o campo eléctrico, o campo magnético e a direcçãodepropagação(nestecasoê x )formamassimumconjuntodevectoresortogonais, que podemos relacionar através do produto vectorial: B= 1 c (ê x E) (49) Em resumo, podemos sintetizar as propriedades das ondas electromagnéticas que se propagam no vazio: sãoondastransversas,emqueocampoeléctricoeocampomagnéticosãoperpendicularesàdirecçãodepropagaçãoˆk; o campo eléctrico e o campo magnético são mutuamente perpendiculares e formam, comadirecçãodepropagaçãoˆk,umconjuntoordenadodeacordocomaregrada modireita,naordeme B ˆk;

3 13 omódulodocampomagnéticoeomódulodocampoeléctricorelacionam-sepor: B = 1 E (430) c Costuma associar-se à direcção de propagação ˆk o número de onda k, resultando o vector k = kˆk. Por outro lado, sendo as ondas electromagnéticas ondas transversas, são portanto polarizáveis. Na presença de ondas electromagnéticas polarizadas, costuma definir-se o vector de polarização ˆn, paralelo ao plano de polarização do campo eléctrico. As ondas electromagnéticas (planas, sinusoidais, monocromáticas) no vazio podem ser reescritasdeformamaisgeralemfunçãodekedeˆn: E(r,t)=E 0 e j(k r ωt+φ 0)ˆn (431) B(r,t)= E 0 c ej(k r ωt+φ 0) (ˆk ˆn) (43) 0.31 Propagação de energia pelo campo electromagnético No estudo separado dos campos eléctrico e magnético, tivémos oportunidade de encontrar duas expressões particularmente poderosas que exprimem a energia necessária para criar estes campos. Por um lado, o trabalho necessário para dispôr a distribuição de carga responsável pelo campo eléctrico E é: W E = ɛ 0 E dτ = u E dτ (433) e o trabalho necessário para estabelecer a distribuição de corrente responsável pelo campo magnético B é: W B = 1 µ 0 B dτ = u B dτ (434) Estas expressões são ainda válidas na presença simultânea(e concomitante) dos dois campos, designados então campo electromagnético, sendo a energia armazenada no campo dada pela expressão conjunta:

4 0.31. PROPAGAÇÃODEENERGIAPELOCAMPOELECTROMAGNÉTICO 133 W EB = ( ɛ0 E + 1 ) B dτ = µ 0 u EB dτ (435) No decurso da propagação do campo electromagnético, o campo pode realizar trabalho nas cargas existentes no espaço percorrido pelo campo. Obviamente, este trabalho será realizado à custa da energia do próprio campo, de acordo com a lei da conservação da energia. O trabalho realizado pelo campo electromagnético num elemento de carga dq, quesofreumdeslocamentodlporacçãodaforçadelorentzf L,é: =F L dl=dq(e+v B) v=dqe v (436) em que, como sabemos, apenas o campo eléctrico realiza trabalho na carga. Se assumirmos que este elemento de carga se encontra distribuído uniformemente no volume dτ,sendodq=ρdτ,podemosreescreverentãoestetrabalhoemfunçãodadensidadede correntejassociadaaomovimentodacargadq=ρdτ,atendendoàrelaçãoj=ρv: =E dqv=e ρdτv=e Jdτ (437) Apotênciatrasmitidapelocampoáaoelementodecargaéassim: =E Jdτ (438) E a potência transmitida a todo o volume ocupado simultaneamente pelo campo e pelas cargas é: = E Jdτ (439) τ Teorema de Poynting A expressão (439) traduz o facto de a transferência de trabalho para as cargas pelo campo electromagnético ser feita pelo campo eléctrico. No entanto, tal tem consequncias na própria distribuição de correntes e, logo, no campo magnético. A expressão(439)pode assim ser reescrita de forma mais conveniente em função de ambos os campos. Recorrendo à lei de Ampère-Maxwell, temos: J= B E ɛ 0 µ 0 (440)

5 134 pelo que = τ ( E B ɛ E E ) 0 dτ (441) µ 0 PodemosagorausararelaçãoE ( B)= (E B)+B ( E),conhecida docálculovectorial,emconjuntocomaleidefaraday E= B/,ereescrevera potência como: Atendendo ainda a que ( (E B) = + 1 B B τ µ 0 µ 0 ) +ɛ0e E dτ (44) E E =1 E (443) B B =1 B (444) efazendousodoteoremadegaussparaconverterointegraldadivergêncianovolume τ num fluxo através da superfície fechada A que delimita esse volume: obtemos: (E B)dτ = (E B) da (445) τ A = 1 µ 0 A (E B) da d τ ( 1 B + ɛ ) 0 µ 0 E dτ (446) ou, rearranjando os termos: ( d 1 B + ɛ 0 )dτ τ µ 0 E = 1µ0 (E B) da (447) A Este resultado, conhecido por teorema de Poynting, informa-nos que a taxa de variação da energia armazenada no campo electromagnético num dado volume τ diminui devido

6 0.31. PROPAGAÇÃODEENERGIAPELOCAMPOELECTROMAGNÉTICO 135 a dois motivos: (i) à potência / tranferida pelo campo electromagnético para as cargascontidasnovolumeτ;(ii)aofluxodeenergiaporunidadedetempoqueatravessa asuperfícieaquedemilitaovolumeτ. OteoremadePoyntingmaisnãoé,portanto,do que a lei da conservação da energia para o campo electromagnético. Podemos também identificar a energia transportada pelo campo electromagnético, por unidade de área e de tempo, com o vector S= 1 µ 0 (E B)=E H (448) Podemos ainda reescrever o teorema de Poynting na forma local. Para tal, é convenientedefinirmosumadensidadedeenergiacinéticau M associadaàdensidadedecarga, escrevendo: O teorema de Poynting fica então = u M dτ (449) τ d (u M +u EB )dτ = 1 (E B) da τ µ 0 A τ (u M +u EB ) dτ = 1 (E B)dτ µ 0 tau (450) onde fizémos mais uma vez uso do teorema de Gauss. Obtemos assim a expressão local: (u M +u EB ) = E B S= u µ 0 (451) Esta é também uma equação de continuidade(tal como a que já utilizámos abundamentemente para a conservação da carga eléctrica, J = ρ/), que traduz agora a conservação de energia, expressa através da corrente de energia S e da respectiva densidade(mecânicaeelectromagnética)emcadaponto,u=u M +u EB. Refira-se ainda, sem o demonstrar e por uma questão de completude, que o campo electromagnético, tal como transporta energia, transporta também momento linear, sendo o momento linear transportado por unidade de tempo e de superfície, P, expresso também recorrendo ao vector de Poynting: P=µ 0 ɛ 0 S (45)

7 Energia transportada por ondas electromagnéticas Consideremos uma onda electromagnética plana monocromática polarizada paralelamente aoeixodosyydescritapor: E=E 0 e j(kx ωt) ê y B= E 0 c ej(kx ωt) ê z (453) Podemos verificar facilmente que as densidades de energia associadas ao campo eléctrico e ao campo magnético são iguais: u E = ɛ 0 E = ɛ 0E0 e j(kx ωt) u B = 1 B = E 0 = ɛ 0E0 e j(kx ωt) (454) µ 0 µ 0 c ej(kx ωt) OvectordePoyntingénestecaso: S= 1 µ 0 E B= E 0 µ 0 c ej(kx ωt) ê x =cɛ 0 E 0 ej(kx ωt) ê x (455) E a sua amplitude corresponde pois ao produto da velocidade de propagação pela densidade de energia do campo. Relembre-se que, na representação complexa que estamos a utilizar, apenas a parte real das quantidades representadas é que tem significado físico. Isto é, as densidades de energia, o vector de Poynting reais são: u=u E +u B =ɛ 0 E 0 cos(kx ωt) (456) S=cɛ 0 E 0 cos(kx ωt)ê x (457) A densidade de momento linear transportada pela onda é: P=µ 0 ɛ 0 S= ɛ 0E 0 c cos(kx ωt)ê x (458)

8 0.31. PROPAGAÇÃODEENERGIAPELOCAMPOELECTROMAGNÉTICO 137 No caso de ondas electromagnéticas de comprimento de onda suficientemente reduzido (logo frequência elevada) em relação às dimensões do sistema em causa, é frequente tomarseapenasovalormédioquadráticodasfunçõestrigonométricas 3,istoé,fazerasubstituição: cos(kx ωt) cos(kx ωt) = 1 (459) resultando u = u E + u B = ɛ 0E 0 (460) S = cɛ 0E 0 =c u (461) P =µ 0 ɛ 0 S = S c = u c =ɛ 0E0 c (46) 3 Ovalormédioénulo...