2.4 O campo electrostático: um campo conservativo

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1 2.4 O campo electrostático: um campo conservativo Trabalho realizado pelo campo electrostático; potencial electrostático Consideremos um sistemade duascargasqeq 1 ecalculemosotrabalhorealizadopela forçadecoulombqueactuanacargaqquandoestaédeslocadadaposição =ˆrpara aposiçãor b =r bˆr. OtrabalhorealizadoporumaforçaFé,pordefinição: W a b = Atendendo à expressão da força de Coulomb(eq. 2.1): F dl (2.24) F=k q 1Q ˆr (2.25) r2 e à expressão do deslocamento elementar dl em coordenadas esféricas: ds=drê r +rsinθdφê φ +rdθê θ (2.26) rapidamente se conclui que o trabalho realizado pela força de Coulomb que actua na cargaqé(assumimos,porsimplicidadeesemperdadegeneralidadequeacargaq 1 está na origem do sistema de coordenadas): W a b =k q 1Q k q 1Q r b (2.27) Há vários aspectos deste resultado que devem ser salientados: apesar de a definição de trabalho de uma força num dado deslocamento exigi especificação do caminho percorrido, tal não foi necessário para a força de Coulomb; issoresultadofactodeestaforçaserradial,oqueimplicaqueapenasodeslocamento que afaste a carga Q da carga q 1 contribua para o trabalho; o trabalho realizado pela força de Coulomb é assimindependente do caminho, e a força de Coulomb é uma força conservativa; 21

2 o trabalho realizado pela força de Coulomb no deslocamento em causa depende assim apenasdadiferençaentrequantidadesdaformakqq 1 /r queapenasdependemda posiçãoinicial edaposiçãofinalr b. Oresultado(2.27)sugereassimadefinição de uma quantidade auxiliar: E p (r)=k q 1Q r (2.28) Estaquantidadecostumadesignar-seenergiapotencial dosistemadecargasq 1 eq. Note-se que a energia potencial não tem significado físico em si mesma: a diferença de energias potenciais é que corresponde a uma quantidade com significado físico - o trabalho realizado pela força. No entanto, quando afastamos indefinidamente um par de cargas inicialmente à distância r (colocando-as a uma distância final suficientemente grande, r b ), o trabalho realizado pela força de Coulomb é numericamente igual a kq 1 Q/r. A energia potencial de um par de cargas pode assim ser interpretada como o trabalho realizado pela força de Coulomb quando se afastam as cargas indefinidamente ou, dito de outro modo, como o trabalho que é preciso realizar contra a força de Coulomb para aproximas duas cargas desde uma posição inicial infinitamente afastada até à sua configuração final. Costuma assim designar-se a energia potencial (2.28) como a energia potencial armazenada nopardecargas. Em função da energia potencial, o trabalho(2.27) pode ser reescrito como: [ ] W a b = E p (r b ) E p ( ) (2.29) a independência do caminho tem por consequência imediata o facto de o trabalho realizadopelaforçadecoulombaolongodeumcaminhofechadosernulo: W a a = F dl=0 (2.30) a força de Coulomb não permite assim projectar ciclos de trabalho semelhantes aos ciclosdeexpansãodegases,emqueosistemarealizaumtrabalhonãonulosobreo exterioraofimdeumciclo;seoelectromagnetismoseresumisseàforçadecoulomb, não existiria engenharia electrotécnica. 22

3 NocasodeodeslocamentodacargaQserrealizadonapresençadeváriascargas,o trabalho realizado pela força de Coulomb resultante decorre imediatamente do princípio da sobreposição: W a b = i k q iq r (i) a j k q jq r (j) b = Q ( i k q i r (i) b j k q j r (j) a ) [ ] = Q V(r b ) V( ) (2.31) onder (i) a er (i) b sãoasdistânciasdacargaqàcargaiquandoseencontranaposição er b,respectivamente. A expressão 2.31 informa-nos ainda que o trabalho realizado pela força de Coulomb nodeslocamentodacargaqpodeserescritonaforma: [ ] W a b = Q V(r)= Q V(r b ) V( ) (2.32) ondesedefineopotencialeléctricov(r)devidoàdistribuiçãodecargasnaposiçãor: V(r)= i k q i r (i) (2.33) Relação entre campo eléctrico e potencial eléctrico A conjunção da definição de trabalho(2.24) com o resultado resulta em: Q V(r)= F dl=q E dl (2.34) ondeseusouadefiniçãodecampoeléctricof=qe. Obtemosassimumaimportante relação entre o potencial eléctrico e o campo eléctrico: V(r)= E dl (2.35) Da definição de gradiente(eq. 1.10) segue imediatamente que: E= V(r) (2.36) 23

4 e,atendendoaqueorotacionaldogradientedeumcampoescalarénulo(eq. 1.30), podemos escrever imediatamente: E= V(r)=0 (2.37) Repare-sequeaintegraçãode EnumasuperfícieSconduz,utilizandooteorema destokes,a: ( E) ds=0 S E dl=0 (2.38) i.e., somos conduzidos de volta à eq. (2.30). Note-seaindaque, atendendoaquef=qeequev =qe p,resultaumaexpressão equivalente à expressão(2.36), relacionando a força que actua numa carga q com a energia potencial dessa carga na presença das restantes: F= E p (r) (2.39) Linhas equipotenciais Talcomoaconteceparaocampoeléctrico,paraoqualsedefinemlinhasdecampoquetêm por fim facilita visualização, também para o potencial eléctrico é conveniente definir linhas equipotenciais, que unem os pontos situados ao mesmo potencial. Estas linhas são assim definidas pela equação: dv =0 E dl=0 (2.40) em que se fez uso da equação(2.35). Da definição(2.40) resulta imediatamente que ocampoeléctricoéperpendicularàslinhasequipotenciais(e dl=0 E dl);aslinhas de campo, paralelas ao campo em cada ponto, são pois perpendiculares às linhas equipotenciais em cada ponto. 24

5 2.4.3 Equações diferenciais para o potencial electrostático: equação de Laplace e equação de Poisson Podemos combina lei de Gauss na forma diferencial (2.20) com a eq. (2.36) e obter dessaformaumaequaçãodiferencialde 2 a ordem paraopotencialna presençade uma distribuição de carga ρ: E= ρ ɛ 0 V = ρ ɛ 0 2 V = ρ ɛ 0 (2.41) Esta equação designa-se equação de Poisson. Na caso ρ = 0, a equação de Poisson reduz-se à equação de Laplace: 2 V =0 (2.42) Note-se que a equação de Poisson contém em si que informação contida na lei de Gauss ( E = ρ/ɛ 0 ), que informação que o campo é conservativo (E = V, que é equivalente a rote=0). Recorde-se o importante teorema da análise de campos vectoriais que garante que um campo vectorial pode ser completamente definido a partir da especificação da sua divergência, do seu rotacional e das condições de fronteira adequadas. A equação de Poisson, munida das condições de fronteira adequadas, permite pois definir completamente o campo, e assume assim importância primordial no cálculo (sobretudo computacional) dos campos e potenciais electrostáticos na presença das distribuições de carga mais intrincadas. 25

6 2.4.4 Continuidade das componentes do campo eléctrico paralelas a uma distribuição superficial de carga E 1 n h d E 2 Figura 2.3: Aplicação da independência do caminho às proximidades de um ponto de uma superfície carregada com a densidade superficial σ. O campo eléctrico nas proximidades dopontoée 1 ee 2 emcadaladodasuperfície. Conforme vimos, nas proximidades de um ponto de uma superfície carregada com densidade superficial σ, a aplicação da lei de Gauss conduziu à identificação de uma descontinuidade nas componentes do campo eléctrico perpendiculares à superfície. Analisemos quais as consequências da independência do caminho nesta situação. Na fig. 2.3 consideramos agora um percurso fechado λ delimitando uma superfície S. As orientações do percurso e da superfície(especificada pelo versor ˆn perpendicular à superfície) definidas na figura estão relacionadas, convencionalmente, através da regra da mão direita. Este percurso fechado obedece a condições semelhantes às definidas anteriormente para a superfície de Gauss: o percurso deve ser suficientemente próximo da superfície carregada para que esta se possa considerar como sendo aproximadamente plana, permitindo que seja adequado tomar um percurso rectangular de altura h e largura d, conforme ilustra a figura 2.3; a largura d do percurso deverá ser suficientemente reduzida para que o campo eléctrico nos pontos atravessados pela largura do percurso possa ser considerado aproximadamente o mesmo em cada ponto; 26

7 aalturahdopercursodeverásersuficientementepequenaparaqueacirculaçãodo campo eléctrico através dos segmentos correspondentes à altura possa ser desprezada em relação à circulação do campo eléctrico através dos segmentos correspondentes àlargura; A circulação do campo eléctrico através do percurso λ definido na fig. 2.3 resulta assim: E dl=e 1 dl 1 +E 2 dl 2 =(E 1 E 2 )d (2.43) onde dl 1 = dl 2 = dˆdl 1, e E 1 e E 2 são as componentes do campo paralelas à superfície carregada. O facto de o campo electrostático ser conservativo, ou independente do caminho, implica (eq. 2.38) que a circulação de E num percurso fechado seja nula, i.e.: (E 1 E 2 )d=0 E 1 =E 2 (2.44) Concluímos assim que as componentes do campo electrostático paralelas a uma superfície carregada são contínuas. Há quem prefira escrever o resultado(2.44) de uma forma que sublinha o paralelismo com a eq. (2.37). Define-se então o rotacional superficial: rot S E=n (E 2 E 1 ) (2.45) onde n é o versor perpendicular à superfície delimitada pelo circuito fechado λ (ver fig. 2.3). Resultaassim: 4 rot S E=0 (2.46) 4 Convenhamosqueestaéumaformaparticularmentecrípticadedizerqueascomponentesdocampo eléctrico paralelas a uma superfície são contínuas... 27