Eletromagnetismo - Instituto de Pesquisas Científicas AULA 06 - CAPACITÂNCIA

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1 ELETROMAGNETISMO

2 AULA 06 - CAPACITÂNCIA

3 Vamos supor que temos duas placas paralelas. Uma das placas está carregada positivamente enquanto que a outra está carregada negativamente. Essas placas estão isoladas do meio e formam o que chamamos de capacitor. Na verdade, quaisquer dois condutores de formatos arbitrários podem constituir um capacitor. A função de um capacitor é armazenar a energia potencial no campo elétrico formado entre suas placas. Definimos a capacitância como: Sua unidade de medida é o farad (F). C = Q V

4 Se tivermos uma esfera condutora de raio R, sabemos que a tensão gerada é: V = Q 4πε 0 R Logo, a capacitância nessa esfera será: C = Q V = 4πε 0R Para um capacitor de placas paralelas como mostrado anteriormente é fácil calcular sua capacitância. Sendo d a distância entre as placas e escrevendo Q = σa e V = Ed: C = Q V = σa Ed Da lei de Gauss sabemos que E = σ/ε 0, logo: C = σaε 0 σd = Aε 0 d

5 CALCULANDO CAPACITÂNCIAS Agora chegamos na parte legal da aula! Sim! A parte dos cálculos envolvendo integrais. Antes de prosseguirmos é importante ressaltar que a capacitância depende da forma do capacitor, de modo que podemos escrever C 0 = ε 0 L (L é uma função relacionada com o formato do capacitor). Para determinar a capacitância, é necessário conhecer o potencial e para determinar o potencial é necessário conhecer o campo elétrico. Como os capacitores possuem forma simétrica, é conveniente usar a lei de Gauss para encontrar o campo. Uma vez encontrado o campo, encontramos o potencial e por fim substituímos na equação da capacitância. Então, ao todo, três equações são necessárias: ε 0 E d A = q V f V i = i f E d s C = q V

6 Vamos determinar a capacitância de um capacitor cilíndrico. O cilindro externo possui raio b e o cilindro interno possui raio a. Ambos possuem um comprimento L. Para desprezar os efeitos das bordas, vamos considerar que L b. Desenhamos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento L (de modo a determinar o campo entre os cilindros). Pela lei de Gauss, e sendo a área do cilindro igual a 2πrL: q = ε 0 EA = ε 0 E2πrL O que nos fornece: q E = ε 0 2πrL

7 Agora, devemos calcular o potencial elétrico. Sabemos fazer isso, é simples, escrevemos: + V = E d s = q a dr 2πε 0 L b r Note que a integral é feita em função de r (pois é esse valor que varia). Por essa razão, tudo o que não é r foi tirado da integral. A integral de 1/r é o logaritmo natural de r, aplicando os limites de integração: V = q ln a ln b 2πε 0 L Como há o sinal de negativo: V = q [ln b ln a ] 2πε 0 L O que resulta em: V = q 2πε 0 L ln b a Como encontramos o potencial, o que nos resta fazer é substituir esse valor em C = q/v. Então, a capacitância para um formato cilíndrico é: L C = 2πε 0 ln b/a

8 Vimos, há alguns slides, a capacitância de uma esfera. Veremos agora um caso semelhante, mas com duas esferas: uma maior, externa, e outra menor, interna (lógico). A esfera externa possui raio b e a esfera interna possui raio a. Assim como fizemos com o caso cilíndrico, iremos desenhar nossa superfície gaussiana entre as esferas. Nossa superfície, portanto, será esférica e de raio r. O que nos resta agora é repetir os cálculos já feitos. Para a lei de Gauss: q = ε 0 EA = ε 0 E4πr² Já que a área da superfície da gaussiana é 4πr² (área da esfera). Logo: q E = 4πε 0 r 2

9 Agora, devemos encontrar o potencial. Usando o resultado obtido para o campo elétrico e lembrando que a integração é feita com respeito a r: V = q a dr 4πε 0 b r 2 Resolvendo essa integral: V = q 1 4πε 0 a 1 b = q b a 4πε 0 ab O que nos resta agora? Sim, isso mesmo, substituir na equação de capacitância (é isso não é?) Portanto: C = q V = 4πε 0 ab b a

10 A ENERGIA DO CAPACITOR Para carregar um capacitor é necessário que um agente externo realize trabalho. Esse trabalho ficará armazenado no capacitor em forma de energia. O trabalho para deslocar uma carga dq de uma placa do capacitor para outra é: dw = V dq = q C dq Note que escrevemos o potencial usando a definição de capacitância. O trabalho total será: E sendo q = CV: W = dw = 0 W = 1 2C q² W = 1 2 CV² q q C dq

11 Agora, vamos olhar para um capacitor de placas paralelas separados por uma distância d. Vamos mover a placa superior para cima por uma distância x. Qual trabalho eu devo realizar para mover a placa? Note que a força que eu faço tem de ser igual (mas em sentido oposto) à força de atração entre as placas. Logo, meu trabalho é: W = F x Sabemos que F = qe, e sabemos também que existem pares de força (provenientes da placa superior e da placa inferior). Assim como fizemos com a energia potencial, podemos tomar a média das forças e escrever: F = 1 2 qe Portanto, o trabalho será (usando a densidade de cargas na placa): W = 1 2 qex = 1 2 σaex

12 Usando um pouco de álgebra, multiplicaremos o resultado anterior por ε 0 /ε 0 (note que isso não altera em nada o resultado pois isso é o mesmo que multiplicar por 1, porém o resultado ficará mais interessante). Lembre-se que σ/ε 0 = E. Logo: W = 1 2 σaex ε 0 ε 0 W = 1 2 Axε 0E² Outra coisa interessante desse resultado é que Ax nada mais é do que um volume, pois você está multiplicando a base (no caso a área da placa) pela altura. Assim, escrevemos: W Ax = 1 2 ε 0E² Chamamos esse resultado de densidade de energia u. Então: u = 1 2 ε 0E² Esse resultado é válido para qualquer capacitor, e não apenas o de placas paralelas.

13 DIELÉTRICOS Será que existe um modo de alterar a capacitância de um capacitor? Para responder a isso devemos, primeiro, aprender o que são dielétricos. Dielétricos são materiais isolantes que quando submetidos a um campo elétrico tornam-se condutores. Esse campo elétrico tem de ultrapassar o limite da rigidez dielétrica (ou resistência dielétrica) do material (a partir desse limite, os átomos do material se ionizam). Os dielétricos podem ser polares ou apolares (a água é um exemplo de dielétrico polar). Nós vimos que a capacitância depende da geometria do capacitor, de modo que escrevemos C 0 = ε 0 L. O famoso físico Faraday descobriu que quando o interior de um capacitor é preenchido totalmente com um dielétrico, a relação da capacitância se torna C = κε 0 L = κc, onde o termos κ depende do material dielétrico e é chamado de constante dielétrica. Para o vácuo, κ = 1. A seguir temos alguns valores de κ para diversos materiais.

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15 A constante dielétrica está alterando a permissividade (ε 0 ) do vácuo. Portanto, o campo elétrico no interior do dielétrico é: E = 1 q 4πκε 0 r 2 Com isso, a nossa lei de Gauss ficará: E d A = q κε 0 Podemos multiplicar ambos os lados da equação acima por κε 0. Assim,obteremos: κε 0 E d A = q Definimos o termo κε 0 E como o vetor de deslocamento elétrico D. Então, para cargas livres em movimento: D d A = q

16 ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES Um capacitor pode ser carregado se o conectarmos à uma bateria de modo a estabelecer uma diferença de potencial (ddp) V. Dessa forma, cargas positivas e negativas irão se acumular nas placas do capacitor criando, entre elas, uma diferença de potencial V. Essa nova ddp vai se opor à ddp da bateria, fazendo cessar o movimento de cargas no circuito. Podemos ligar vários capacitores em um circuito elétrico de duas maneiras: liga-los em paralelo ou liga-los em série.

17 Para capacitores paralelos as tensões (potenciais) em suas extremidades são as mesmas. Assumindo que as capacitâncias são diferentes, logo as cargas serão diferentes. Como exemplo, tomemos três capacitores em paralelo. Logo, suas cargas são: q 1 = C 1 V q 2 = C 2 V q 3 = C 3 V A carga total é dada por q = q 1 + q 2 + q 3, o que implica em: q = C 1 + C 2 + C 3 V Isso é o mesmo que substituir todos os capacitores por um único capacitor equivalente: q = C eq V

18 Se colocarmos os capacitores em série, então as tensões deixarão de ser as mesmas. Porém, a mesma carga irá fluir por todos os capacitores (visto que agora só existe um percurso para as cargas fazerem). Tomando novamente três capacitores, a carga será: q = C 1 V 1 q = C 2 V 2 q = C 3 V 3 A tensão total é dada por: V = V 1 + V 2 + V 3 Escrevendo V = q/c, teremos: V = q C 1 + q C 2 + q C 3 = q 1 C C C 3 Ou então: V = q C eq

19 Nas primeiras aulas, tratamos de cargas estáticas. Estávamos interessados em determinar a força elétrica, o campo elétrico e a energia potencial elétrica. A coisa começou a mudar quando tratamos da diferença de potencial. Vimos que uma diferença de potencial está relacionado ao trabalho, ou à mudança da posição de uma carga. A partir de agora iremos analisar a movimentação de cargas elétricas. O movimento das cargas elétricas é o que constitui uma corrente elétrica e isso abrirá caminho para a parte final do nosso curso. Sempre que dou aulas presenciais eu gosto de enfatizar que não gosto de dar spoilers da próxima aula (gosto de dar spoilers de filmes e séries), e não darei spoilers aqui. Só peço que se segurem, pois a coisa vai ficar interessante (pelo menos espero que fique)!