Lei de Gauss. Objetivos: Calcular o Campo Elétrico para diferentes distribuições de cargas explorando sua simetria com a Lei de Gauss.

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Lorenzo Braga Álvaro
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1 Lei de Gauss Objetivos: Calcular o Campo Elétrico para diferentes distribuições de cargas explorando sua simetria com a Lei de Gauss.

2 Sobre a Apresentação Todas as gravuras, senão a maioria, são dos livros: Sears & Zemansky, University Physics with Modern Physics ed. Pearson, 13 a edition Wolfgang Bauer and Gary D. Westfall, University Physics with Modern Physics ed. Mc Graw Hill, Michigan State University, 1 a edition Halliday & Resnick, Fundamentals of Physics, 9 a edition.

3 Introdução A Lei de Gauss pode ser aplicada a qualquer problema, rico ou pobre de simetrias. No entanto é em problemas com alta simetria que ela se mostra eficiente. Simetria não explorada. Simetria esférica bem explorada.

Superfícies Gaussianas Superfície Gaussiana é superfície

superfícies Gaussianas como ilustra a figura ao lado: S 1 :

4 Superfícies Gaussianas Superfície Gaussiana é superfície qualquer imaginária, fechada, em torno de uma região do espaço. Suponha que duas cargas +q e -q são envoltas por 4 superfícies Gaussianas como ilustra a figura ao lado: S 1 : envolvendo apenas a carga +q; S 2 : envolvendo apenas a carga -q; S 3 : envolvendo nenhuma carga; S 4 : envolvendo ambas as cargas;

5 Exemplo As cargas q 1 = q 4 = 3,1nC; q 2 = q 5 = -5,9nC e q 3 = -3,1nC são dispostas em uma superfície. Qual o fluxo de Campo Elétrico através da superfície S, que envolve as cargas q 1, q 2, q 3 e a moeda? Solução: Pela Lei de Gauss: Calculando a carga envolvida dentro da superfície S: O Fluxo pela superfície S, pela Lei de Gauss será:

6 Carga um em Condutor Imagine um condutor de forma aleatória, com uma carga líquida Q. Se uma carga q for colocada em um condutor isolado, toda esta carga migra imediatamente para a superfície do condutor Esta migração ocorre em uma fração de segundos, enquanto os cargas são adicionadas ao condutor; Quando a migração de cargas cessa, o campo elétrico no interior do condutor será nulo; As cargas migraram para a superfície do metal a fim de ficarem o mais afastadas umas das outras; Se uma tinta isolante fosse colocada a fim de fixar as carga na superfície do metal, todo o metal poderia ser removido e o campo se manteria inalterado.

Passando uma superfície Gaussiana no interior da casca condutora, S 1 Uma vez que o campo total dentro do metal é nulo, a integral à esquerda será

7 Condutor Oco Uma esfera condutora neutra e oca, de raio interno R, tem, em seu interior, uma carga elétrica -q, colocada a uma distância R/2 do centro da cavidade. Qual o campo elétrico produzido por esta carga fora da casca condutora? Passando uma superfície Gaussiana no interior da casca condutora, S 1 Uma vez que o campo total dentro do metal é nulo, a integral à esquerda será nula. O que significa que a carga dentro da superfície S 1 é nula. Ou seja, uma carga elétrica positiva e igual a q será induzida no interior da cavidade condutora para anular a carga dentro da superfície S 1.

8 Superfície do Condutor O campo elétrico dentro de um metal, provido por uma distribuição de cargas estáticas, será sempre nulo! Bem próximo à superfície do metal, onde a distribuição superficial de carga pode ser considerada constante, σ, o campo elétrico pode ser encontrado pela Lei de Gauss, utilizando uma superfície Gaussiana, cilíndrica:

9 Condutor Oco Algumas conclusões importantes: As cargas no interior da casca condutora vão se distribuir mais próximas onde o campo da carga interna -q é mais intenso e mais afastadas onde o campo é menos intenso; As linhas de campo na superfície do metal se curvarão de forma a entrarem sempre perpendicular à superfície do metal; A distribuição de cargas no interior da casca condutora não interfere na distribuição de cargas na parte externa, pois não existe campo dentro do metal, impossibilitando a interação entre as cargas dentro e fora do metal; O Campo Elétrico gerado fora da casca condutora será o mesmo de uma carga puntiforme -q.

10 Condutor Oco Algumas conclusões importantes: As cargas no interior da casca condutora vão se distribuir mais próximas onde o campo da carga interna -q é mais intenso e mais afastadas onde o campo é menos intenso; As linhas de campo na superfície do metal se curvarão de forma a entrarem sempre perpendicular à superfície do metal; A distribuição de cargas no interior da casca condutora não interfere na distribuição de cargas na parte externa, pois não existe campo dentro do metal, impossibilitando a interação entre as cargas dentro e fora do metal; O Campo Elétrico gerado fora da casca condutora será o mesmo de uma carga puntiforme -q.

Condutor Oco Como uma carga elétrica +q é induzida na parte interna da cavidade, uma carga igual -q deve ser induzida na parte externa do condutor a fim de conservar a carga total no condutor, que

11 Condutor Oco Como uma carga elétrica +q é induzida na parte interna da cavidade, uma carga igual -q deve ser induzida na parte externa do condutor a fim de conservar a carga total no condutor, que era nula. A carga elétrica induzida na parede interna da casca condutora interfere na distribuição de carga na parte externa da casca condutora? Para calcular o campo fora da esfera, imagine uma superfície Gaussiana com raio r > R. Aplicando a Lei de Gauss nesta superfície: S 2

12 Esfera Metálica Apenas para observação, o Sears resolve um problema semelhante, onde uma carga q é adicionada a uma esfera condutora de raio R. A figura a seguir mostra o campo resultante em alguns pontos do espaço:

13 Fio Infinito Determine o campo elétrico gerado por um fio infinito de densidade de carga linear λ, a uma distância r do fio. Escolha como superfície Gaussiana um cilindro concêntrico ao fio, de comprimento l e raio r. A carga envolvida dentro do cilindro será: Aplicando a lei de Gauss:

Placa Isolante Infinita Determine o campo elétrico gerado por uma placa isolante infinito de densidade de carga superficial σ, a uma distância r do plano.

14 Placa Isolante Infinita Determine o campo elétrico gerado por uma placa isolante infinito de densidade de carga superficial σ, a uma distância r do plano. Escolha com superfície Gaussiana um cilindro de área de basa A e altura 2r, atravessando o plano de cargas. A carga envolvida dentro do cilindro: Aplicando a lei de Gauss:

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