Universidade de São Paulo Eletromagnetismo ( ) Prova 1

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1 Instituto de Física de São Carlos Universidade de São Paulo Eletromagnetismo ) 3 de abril de 018 Prof. D. Boito Mon.:. Carvalho 1 sem. 018: Bacharelados em Física Nome e sobrenome: n. USP: Prova 1 Instruções: A prova tem três questões. O início da prova será às 16:00 e o fim às 18:30. O uso de equipamentos eletrônicos não é permitido. Respostas finais a caneta. Escreva seu nome e número USP nesta página e as suas iniciais em todas as folhas utiliadas. Questão 1 3,5 pontos) Uma casca esférica oca de raio R tem densidade de carga superficial positiva + σ para > 0 vide figura) e densidade de carga superficial negativa σ para < 0, onde σ é uma constante com unidades adequadas. Use o sistema de coordenadas sugerido na figura abaixo. Figura 1: Arranjo da questão 1. a) 1 ponto) Escreva a expressão geral do potencial elétrico V r) gerado por esta esfera para um ponto qualquer r. Não é necessário resolver a integral.) b) 1,5 ponto) Calcule agora o potencial elétrico V r) somente para pontos ao longo do eixo, e com > R. Com esta expressão do potencial você poderia encontrar o campo elétrico neste ponto? Explique brevemente. c) 1,0 ponto) Suponha que R. Encontre o termo dominante do potencial para um ponto ao longo do eixo com > R) a partir da sua expressão do item b). Explique o resultado obtido. Página 1

2 a) A densidade de carga da casca esférica pode ser escrita como: + σ, se 0 θ < π/, σθ) = σ, se π/ θ π. Tomando um ponto arbitrário na distribuição de cargas r = R sinθ ) cosφ )î + R sinθ ) sinφ )ĵ + R cosθ )k, e tomando o ponto arbitrário r = x, y, ), a distância entre esses dois pontos é r r = x R sinθ ) cosφ )) + y R sinθ ) sinφ )) + R cosθ )). Na expressão do potencial temos 1 σθ ) V x, y, ) = casca r r R sinθ )dθ dφ π π/ = σ R dφ sinθ )dθ π π 0 0 r r dφ sinθ )dθ 0 π/ r r, com r r dado a cima. b) Tomando agora r = 0, 0, ), e utiliando a expressão anterior o potencial fica π/ V ) = σ R sinθ )dθ π ɛ 0 R + R cosθ ) sinθ )dθ R + R cosθ ) = σ R = σ R 0 [ θ=π/ [ θ=π R + R cosθ ) R + R cosθ ) θ=0 θ=π/ R + ). Com esta expressão do potencial é possível calcular o campo elétrico. Isso acontece neste caso porque, por simetria, o campo aponta na direção e portanto não tem componentes nas direções x e y. No caso geral isso não é verdade!) c) Usando a expressão do item anterior e expandindo para R/ 1 V ) = σ R ) R 1 + σ R [ π/ ) ) R = σ R3, que é um potencial dipolar. Isso poderia ser intuído do fato de que a carga é nula e do sistema ter um acúmulo de cargas positivas na metade com > 0 e negativas na metade com < 0, o que gera um momento de dipolo. Página

3 Questão 3,5 pontos) Um fio unidimensional está disposto ao longo do eixo. O fio tem comprimento e o centro do fio coincide com a origem do sistema de coordenadas adotado nesta questão vide Fig. painel da esquerda). O fio está carregado com a seguinte densidade de carga linear + λ, para < < /, λ) = λ, para / < < /, + λ, para / < <. a) 1,5 ponto) Calcule a carga total e o vetor momento de dipolo associado a este sistema. b),0 ponto) Use a expansão multipolar para encontrar o termo dominante do potencial elétrico gerado. Explique o resultado. a) A carga total pode ser calculada diretamente Q = λ λ + λ = 0. O vetor momento de dipolo é calculado pela seguinte integral fórmula na prova) / / p = k λ)d = k λ d λ d + λ d / / = k λ [ / [ / / + [ / = 0. b) Partindo da expansão do potencial com carga simétrica ao longo do eixo-: V r) = 1 P l cos θ) d ) l λ ), observa-se que os dois primeiros termos são nulos, devido ao resultado do item anterior. O terceiro termo nessa série l = ) vale 1 P cos θ) V r) = r 3 d ) λ ) 1 λ cos θ) 1) = r 3. O termo dominante é o termo de quadrupolo e isso é esperado uma ve que Q e p são nulos e a distribuição de carga se assemelha ao quadrupolo linear visto no ex. 7 da lista 3. Página 3

4 Questão 3 3 pontos) Em todo o plano xy encontra-se um plano de material condutor ideal aterrado portanto com potencial V = 0). A cima deste plano condutor encontra-se um fio linear ideal em direção paralela ao eixo y a uma distância d do plano. O fio está carregado com densidade de carga linear negativa λ. Fig. painel da direita.) a) 1,5 ponto) Calcule o campo elétrico desta configuração no ponto 0, 0, d). Explique brevemente sua solução. b) 1,5 ponto) Encontre o potencial elétrico V r) para pontos a cima do plano > 0). a) Pelo método das imagens, a solução pode ser encontrada na metade com > 0 considerando-se o problema de dois fios infinitos. O primeiro é aquele do enunciado, o segundo também paralelo ao eixo-y, corta o eixo- no ponto 0, 0, d), e possui densidade de carga λ). Isso garante que o potencial se anula onde, no problema em que estamos interessados, existe o plano aterrado. O cálculo do campo elétrico é então feito usando a lei de Gauss para o fio infinito como em Física III). A distância do fio ao ponto 0, 0, d) é d, e a distância da imagem até esse mesmo ponto é 3d. Daí o campo elétrico nesse ponto vale: E = k λ πɛ 0 d) + λ πɛ 0 3d) = λ 3πɛ 0 d k. b) Dado o campo elétrico, o potencial de um fio infinito pode ser facilmente obtido por integração e é logaritico na distância ao fio. Então, o problema é meramente geométrico, ou seja, escrever o potencial total, que é o da soma dos dos fios, num ponto qualquer do espaço. Um ponto de coordenadas x, y, ) está a uma distância d 1 = d) + x do fio do problema e a uma distância d = + d) + x do fio imagem. Dessa forma o potencial elétrico nesse ponto vale: V x, y, ) = λ ln πɛ 0 r0 d 1 ) + λ πɛ 0 ln r0 d ) ) = λ d) ln + x. πɛ 0 + d) + x + y x + - Figura : Arranjos da questão esquerda) e da questão 3 direita). Página 4

5 Fórmulas que podem ser úteis: 1 1+δ) n = 1 nδ + 1 nn + 1)δ + ln1 δ) = δ δ + e δ = 1 + δ + δ / + E sup E inf = σ ɛ 0 n V r) = 1 dq 1 r r Er) = 1 dq r r r r 3 Expansão multipolar, longe da origem, até segunda ordem forma geral) V r) = 1 [ QT r + 1 r r p + O1/r3 ) ; p = d 3 r r ρ r ). Caso da distribuição de carga unidimensional ao longo dos V r) = 1 P l cos θ) d ) l λ ). Neste caso o vetor momento de dipolo pode ser calculado da seguinte forma p = d k)λ ). Caso com simetria aimutal V r) = 1 P l cos θ) d 3 r r ) l P l cos θ )ρr, θ ). P 0 x) = 1, P 1 x) = x, P x) = 1 3x 1), P 3 x) = 1 5x3 3x). P l 1) = 1 e P l x) = 1) l P l x). sin x dx A B cos x = 1 A B cos x + C. B Página 5