Em um mau condutor, como vidro ou borracha, cada elétron está preso a um particular átomo. Num condutor metálico, de forma diferente, um ou mais

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1 Capítulo 6 Condutores 6.1 Breve Introdução Em um mau condutor, como vidro ou borracha, cada elétron está preso a um particular átomo. Num condutor metálico, de forma diferente, um ou mais elétrons por átomo não possuem restrições quanto a movimentação através do material. Eles estão livres para estar na parte do condutor que desejarem. ( Em condutores líquidos, como a água com cloreto de sódio, água com sal de cozinha, são os íons que fazem esse movimento. Um condutor perfeito poderia ser um material que possuísse a propriedade de ser uma fonte ilimitada de cargas livres. Na vida real, não existem condutores perfeitos, mas muitas substâncias estão muito próximas de ser. A partir dessa pequena definição, pode-se descobrir algumas propriedades eletrostáticas de condutores ideais. Elas serão listadas logo abaixo. 6. Propriedades dos Condutores Essas propriedades estão relacionadas com condutores em equilíbrio eletrostático, ou seja, quando não há movimento ordenado de cargas elétricas no seu interior e na sua superfície. Seus elétrons livres encontram-se em 85

2 86 CAPÍTULO 6. CONDUTORES movimento aleatório. Propriedade 1 (Propriedade Básica). Um condutor é um sólido que possui muitos elétrons livres. Os elétrons podem se deslocar no interior da matéria, mas não deixar a superfície. Propriedade. O Campo elétrico dentro do condutor em equilíbrio eletrostático é nulo. ( E = 0 dentro do condutor ) Se tivesse campo dentro do condutor os elétrons iriam se mover e não estariam na situação eletrostática. Quando colocamos um condutor na presença de um campo externo as cargas dentro do condutor tenderão a se distribuir de forma que o campo no interior do condutor cancele o campo externo. Figura 6.1 Propriedade 3. A densidade volumétrica de carga dentro do condutor é zero.( ρ = 0 dentro do condutor ) E = ρ ε 0, se E = 0 ρ = 0, no interior do condutor não há cargas. Propriedade 4. As cargas ficam localizadas na superfície do condutor. Propriedade 5. O condutor é uma equipotencial. Se E = 0 dentro do condutor, então E = V Propriedade 6. E é perpendicular à superfície. Se tivesse uma componente paralela a carga se moveria. Como, E = 0, E d l = 0 Va = V b.

3 6.3. CARGA INDUZIDA 87 Figura 6. Propriedade 7. Vimos que a descontinuidade de E era?/?0. Como Edentro = 0, então o campo imediatamente fora é proporcional à densidade de carga local. E = σ ε 0 ˆn Em termos de potencial: σ = ε 0 V n Observação 6.1. Esta equação permite calcular a densidade de carga superficial de um condutor. 6.3 Carga Induzida Um condutor é um sólido que possui muitos elétrons livres. Os elétrons podem se deslocar livremente. Quando se aproxima uma carga elétrica de um condutor carregado eletricamente, devido as fenômenos de atração e repulsão eletrostáticas, observa-se uma nova distribuição das cargas elétricas no condutor. A figura abaixo exemplifica o processo: O campo numa cavidade de um condutor Consideremos um condutor com uma cavidade vazia de forma arbitrária. Consideremos uma superfície gaussiana S. Em todo ponto de S temos que E = 0 (campo dentro do condutor = 0). Então o fluxo através de S = 0, logo a carga total dentro de S é zero.

4 88 CAPÍTULO 6. CONDUTORES Figura 6.3 Figura 6.4 Mas se a carga total é igual a zero, poderíamos dizer que há igual quantidade de cargas positivas e negativas, havendo, assim, a presença de um campo elétrico. Se tivéssemos esta situação, E d l = 0, o que não pode Γ ser. Portanto, não pode haver campo dentro da cavidade, nem cargas na superfície interna. Nenhuma distribuição estática de cargas externas pode produzir campo no interior do condutor. Agora vamos considerar uma cavidade com uma carga q dentro dela. Teremos cargas induzidas na superfície interna, afim de cancelar o campo dentro do condutor ( Edentro = 0 ), Traçando uma gaussiana S que contém a cavidade, percebe-se que o fluxo nessa gaussiana é zero, porém,

5 6.3. CARGA INDUZIDA 89 Figura 6.5 Figura 6.6 traçando-se outra gaussiana, contida na cavidade, percebe-se que o campo na cavidade não é zero. Fato Importante: Campo dentro do condutor é zero! A cavidade e seu conteúdo estão eletricamente isolados do mundo externo ao condutor. Nenhum campo externo penetra no condutor. Ele será cancelado pela carga induzida na superfície externa ( da mesma forma que a cavidade vazia ). A cavidade está isolada do mundo externo ao condutor. Exemplo 6.1. Uma esfera condutora neutra centrada na origem possui uma cavidade de formato desconhecido. Dentro da cavidade há uma carga q. Qual é o campo fora? Haverá dependência com a forma da cavidade? Resolução. A carga +q induzida, por sua vez, na superfície externa irá se

6 90 CAPÍTULO 6. CONDUTORES Figura 6.7 distribuir uniformemente na superfície da esfera. (a influência assimétrica da carga +q interna foi cancelada pela carga -q induzida na superfície interna). O campo externo será igual ao produzido pela superfície esférica carregada com carga +q. E = q 4πε 0 r ˆr O condutor, dessa forma, cria uma barreira, não deixando passar nenhuma informação sobre como é a cavidade, revelando somente a carga total que a mesma possui. 6.4 Método das Imagens Suponha uma carga q a uma distância d de um plano condutor aterrado. Pergunta: Não é só q 4πε 0 r Qual é o potencial na região acima do plano?, pois haverá carga induzida no plano condutor e não sabemos quanta carga é induzida e como ela está distribuída. Outra situaç~ao: : Carga e uma esfera condutora.

7 6.4. MÉTODO DAS IMAGENS 91 Figura 6.8 Figura 6.9 Antes de atacarmos este problema vamos recordar um problema muito mais simples que já estudamos: duas cargas +q e -q; e A e B superfícies equipotenciais. Figura 6.10 Considere a superfície equipotencial A. Suponha que pegamos uma folha fina de metal da forma desta superfície. Se a colocarmos exatamente no lugar da superfície equipotencial e ajustamos o seu potencial a um valor

8 9 CAPÍTULO 6. CONDUTORES apropriado de forma que nada mudasse, nós não daríamos conta de que a superfície metálica estaria ali. Teríamos a solução do novo problema: Figura 6.11 O campo no exterior ao condutor é exatamente o mesmo campo de duas cargas pontuais! Dentro E = 0 e E é perpendicular à superfície. Então, para calcularmos os campos das situações discutidas, basta calcular o campo devido à uma carga q e uma carga -q imaginária localizada em um ponto apropriado. Caso mais simples: Carga e o Plano Condutor Aterrado Figura 6.1 V (x, y, z) = 1 q 4πε o x + (y d) + z 1 q x + (y + d) + z 1

9 6.4. MÉTODO DAS IMAGENS 93 Figura 6.13, para y 0. Condição de contorno V (x, 0, z) = 0 V 0para r 6.4. Densidade De Carga Induzida Na Superfície Do Plano σ (x, y, z) = ε oq 4πε o y σ = ε o V n = ε o V y 1 x + (y d) + z 1 y=0 1 x + (y + d) + z 1 y=0 σ (x, y, z) = q 4π (y d) 1 x + (y d) + z 3 (y + d) 1 x + (y + d) + z 3 y=0 σ (x, y, z) = q d π (x + d + z ) 3

10 94 CAPÍTULO 6. CONDUTORES σ é negativa como esperado. A carga total induzida Q induzida = σds = ε 0 kqd ds (x + y + z ) 3 x + z = d ds = rdθdr Q induzida = ε 0 kqd Q induzida = ε 0 kqdπ d du (u) 3 π 0 r + d = u 0 rdθdr (r + d ) 3 = ε 0kqd π 4πε 0 = q d du = rdr A carga q é atraída pelo plano, pois há carga negativa induzida. Força de atração F = q ĵ 4πε o(d) Nós assumimos tudo igual ao sistema de duas cargas, mas cuidado, nem tudo é igual. A energia: U = 1 E dv U duascargas = 1 4πε o q d

11 6.5. PODER DAS PONTAS 95 U cargaeplanocondutor = 1 q 8πε o que é a metade. Por que? d Somente a região de y 0 possui E = 0 A integral U = 1 0 E dv = 1 1 Tudo isso foi possível, pois: E dv Dado uma configuração de condições de contorno, a solução da equação de Laplace é única, de modo que, se alguém obtiver uma solução V (x, y, z) por qualquer meio e se este V satisfizer todas as condições de contorno, ter-se-á encontrado então uma solução completa do problema. 6.5 Poder das Pontas Figura 6.14 Figura 6.15 V A α Q A R A V B α Q B R B

12 96 CAPÍTULO 6. CONDUTORES V A = V B Q A R A = Q B R B Q A R A = 4πR A σ A R A = 4πR B σ B R B R A σ A = R B σ B σa σb = R B R A σ A = R B R A σ B 6.6 Carga Na Superfície e Força Em Um Condutor Já vimos que E = σ ε o ˆn (Campo externo ) e vimos que σ = ε o V n. Na presença de um campo elétrico, uma superfície carregada irá sentir uma força. Força por unidade de área f = σ E. Mas temos um problema: o campo é descontínuo na superfície. Qual devo usar: Eacima, E abaixo Resposta: Você deve usar a média dos dois: f = σ E media = 1 σ Eacima + E abaixo