Aula de Física II - Capacitância e Energia
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- Rubens Aranha de Oliveira
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1 Prof.: Leandro Aguiar Fernandes Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto Politécnico - IPRJ/UERJ Departamento de Engenharia Mecânica e Energia Graduação em Engenharia Mecânica/Computação 25 de novembro de 2010
2 Capacitor Plano
3 Capacitor Plano Seja um par de placas metálicas planas paralelas carregadas, conforme a gura:
4 Capacitor Plano Seja um par de placas metálicas planas paralelas carregadas, conforme a gura:
5 Capacitor Plano Seja um par de placas metálicas planas paralelas carregadas, conforme a gura: O campo elétrico devido às placas (Verique!!!) é dado por:
6 Capacitor Plano Seja um par de placas metálicas planas paralelas carregadas, conforme a gura: O campo elétrico devido às placas (Verique!!!) é dado por: E = σ ɛ 0 ; σ = Q A (1)
7 onde A é a área das placas. A diferença de potencial entre elas é dada por:
8 onde A é a área das placas. A diferença de potencial entre elas é dada por: V V + V = + E dl = E d (2)
9 onde A é a área das placas. A diferença de potencial entre elas é dada por: V V + V = + E dl = E d (2) De fato, pois E aponta no sentido da placa positiva pra negativa. Logo:
10 onde A é a área das placas. A diferença de potencial entre elas é dada por: V V + V = + E dl = E d (2) De fato, pois E aponta no sentido da placa positiva pra negativa. Logo: V = σd ɛ 0 = Qd ɛ 0 A (3)
11 onde A é a área das placas. A diferença de potencial entre elas é dada por: V V + V = + E dl = E d (2) De fato, pois E aponta no sentido da placa positiva pra negativa. Logo: V = σd ɛ 0 = Qd ɛ 0 A é proporcional à carga Q da placa. Denimos como sendo a capacitância ζ do par de condutores, que se diz constituir um capacitor, o coeciente: (3)
12 onde A é a área das placas. A diferença de potencial entre elas é dada por: V V + V = + E dl = E d (2) De fato, pois E aponta no sentido da placa positiva pra negativa. Logo: V = σd ɛ 0 = Qd ɛ 0 A é proporcional à carga Q da placa. Denimos como sendo a capacitância ζ do par de condutores, que se diz constituir um capacitor, o coeciente: (3) ζ Q V = ɛ 0A d (4)
13 A unidade de medida de capacitância é o Farad (1F 1C 1 ). Por exemplo, para um capacitor de placas planas com 1mm de distãncia, para ter uma capacitância de 1F, precisaríamos de placas de área:
14 A unidade de medida de capacitância é o Farad (1F 1C 1 ). Por exemplo, para um capacitor de placas planas com 1mm de distãncia, para ter uma capacitância de 1F, precisaríamos de placas de área: ζ = ɛ 0A d
15 A unidade de medida de capacitância é o Farad (1F 1C 1 ). Por exemplo, para um capacitor de placas planas com 1mm de distãncia, para ter uma capacitância de 1F, precisaríamos de placas de área: ζ = ɛ 0A d =
16 A unidade de medida de capacitância é o Farad (1F 1C 1 ). Por exemplo, para um capacitor de placas planas com 1mm de distãncia, para ter uma capacitância de 1F, precisaríamos de placas de área: ζ = ɛ 0A d dc = A = = 10 3 m 1F ɛ 0 8, F m = 1, m 2 (5)
17 A unidade de medida de capacitância é o Farad (1F 1C 1 ). Por exemplo, para um capacitor de placas planas com 1mm de distãncia, para ter uma capacitância de 1F, precisaríamos de placas de área: ζ = ɛ 0A d dc = A = = 10 3 m 1F ɛ 0 8, F m = 1, m 2 (5) o que corresponde a 100 km 2, o que mostra que F é uma unidade de grandes dimensões. As mais usadas são µf e pf.
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20 Neste caso, sendo l o comprimento do capacitor, então:
21 Neste caso, sendo l o comprimento do capacitor, então: E(a) = σ+ ɛ 0 = B = Q a 2πɛ 0 al E(b) = σ ɛ 0 = B = Q b 2πɛ 0 bl } B = Q 2πɛ 0 l (6)
22 A diferença de potencial entre os cilindros é:
23 A diferença de potencial entre os cilindros é: V V + V = + E(ρ)dρ = BV b a dρ ρ = B ln ( b a ) (7)
24 A diferença de potencial entre os cilindros é: V V + V = + E(ρ)dρ = BV b a dρ ρ = B ln ( b a ) (7) o que por (6) dá:
25 A diferença de potencial entre os cilindros é: V V + V = + E(ρ)dρ = BV b a dρ ρ = B ln ( b a ) (7) o que por (6) dá: ζ = 2πɛ 0l ( b ) (8) ln a
26 A diferença de potencial entre os cilindros é: V V + V = + E(ρ)dρ = BV b a dρ ρ = B ln ( b a ) (7) o que por (6) dá: ζ = 2πɛ 0l ( b ) (8) ln a Se b = a + d, com d << a, então:
27 A diferença de potencial entre os cilindros é: V V + V = + E(ρ)dρ = BV b a dρ ρ = B ln ( b a ) (7) o que por (6) dá: ζ = 2πɛ 0l ( b ) (8) ln a Se b = a + d, com d << a, então: ) ( ) ln ( b a = ln 1 + d d a a
28 A diferença de potencial entre os cilindros é: V V + V = + E(ρ)dρ = BV b a dρ ρ = B ln ( b a ) (7) o que por (6) dá: ζ = 2πɛ 0l ( b ) (8) ln a Se b = a + d, com d << a, então: ( ) ( ) b ln = ln d = a a 1 + d a
29 A diferença de potencial entre os cilindros é: V V + V = + E(ρ)dρ = BV b a dρ ρ = B ln ( b a ) (7) o que por (6) dá: ζ = 2πɛ 0l ( b ) (8) ln a Se b = a + d, com d << a, então: ( ) ( ) b ln = ln d = ζ = 2πɛ 0al a a 1 + d a d = ɛ 0A d (9)
30 A diferença de potencial entre os cilindros é: V V + V = + E(ρ)dρ = BV b a dρ ρ = B ln ( b a ) (7) o que por (6) dá: ζ = 2πɛ 0l ( b ) (8) ln a Se b = a + d, com d << a, então: ( ) ( ) b ln = ln d = ζ = 2πɛ 0al a a 1 + d a d = ɛ 0A d (9) onde A = 2πal é a área da superfície lateral do cilindro, ou seja, o capacitor cilíndrico funciona como um "capacitor plano enrolado".
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33 E = Q 4πɛ 0 r 2 ˆr; V = Q 4πɛ 0 ( 1 R 1 1 R 2 ) (10)
34 Logo, a capacitância será:
35 Logo, a capacitância será: ( ) R1 R 2 ζ = 4πɛ 0 R 2 R 1 (11)
36 Logo, a capacitância será: ( ) R1 R 2 ζ = 4πɛ 0 R 2 R 1 (11) Caso R 2 R 1 = d << R 1, obtemos (9) novamente. Em particular, se R 2, obtemos a capacitância de uma esfera de raio R (ζ = 4πɛ 0 R). As linhas de força vão da superfície da esfera ao innito. Um exemplo é a Terra, cujo raio é R 6, m, o que dá:
37 Logo, a capacitância será: ( ) R1 R 2 ζ = 4πɛ 0 R 2 R 1 (11) Caso R 2 R 1 = d << R 1, obtemos (9) novamente. Em particular, se R 2, obtemos a capacitância de uma esfera de raio R (ζ = 4πɛ 0 R). As linhas de força vão da superfície da esfera ao innito. Um exemplo é a Terra, cujo raio é R 6, m, o que dá: ζ 4π 6, m 8, F m 710µF (12)
38 Logo, a capacitância será: ( ) R1 R 2 ζ = 4πɛ 0 R 2 R 1 (11) Caso R 2 R 1 = d << R 1, obtemos (9) novamente. Em particular, se R 2, obtemos a capacitância de uma esfera de raio R (ζ = 4πɛ 0 R). As linhas de força vão da superfície da esfera ao innito. Um exemplo é a Terra, cujo raio é R 6, m, o que dá: ζ 4π 6, m 8, F m 710µF (12) o que é considerável para que se possa escoar bastante carga para a Terra sem alterar apreciavelmente seu potencial ("ligação terra").
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41 As placas superiores de uma conexão em paralelo formam um condutor único, de carga:
42 As placas superiores de uma conexão em paralelo formam um condutor único, de carga: Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 = ζ 1 V + ζ 2 V + ζ 3 V = (ζ 1 + ζ 2 + ζ 3 )V = ζ eq V (13)
43 Agora, numa asociação em série de capacitores:
44 Agora, numa asociação em série de capacitores:
45 Agora, numa asociação em série de capacitores: A diferença de potencial entre as extremidades é:
46 Agora, numa asociação em série de capacitores: A diferença de potencial entre as extremidades é: ( ) ( V = Q + Q + Q 1 1 = Q = Q ζ 1 ζ 2 ζ 3 ζ eq ζ ζ ζ 3 ) (14)
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48 Consideremos a carga gradual do capacitor por uma bateria. Num instante em que a carga armazenada é q, a diferença de potencial instantânea entre as placas é V = q ζ, e a bateria realiza um trabalho V dq para transferir uma carga adicional dq. Logo:
49 Consideremos a carga gradual do capacitor por uma bateria. Num instante em que a carga armazenada é q, a diferença de potencial instantânea entre as placas é V = q ζ, e a bateria realiza um trabalho V dq para transferir uma carga adicional dq. Logo: du = V dq = q dq ζ
50 Consideremos a carga gradual do capacitor por uma bateria. Num instante em que a carga armazenada é q, a diferença de potencial instantânea entre as placas é V = q ζ, e a bateria realiza um trabalho V dq para transferir uma carga adicional dq. Logo: du = V dq = q dq ζ =
51 Consideremos a carga gradual do capacitor por uma bateria. Num instante em que a carga armazenada é q, a diferença de potencial instantânea entre as placas é V = q ζ, e a bateria realiza um trabalho V dq para transferir uma carga adicional dq. Logo: du = V dq = q dq ζ = U = 1 ζ q=q q=0 2ζ q dq = q2 ζ 0 (15)
52 Consideremos a carga gradual do capacitor por uma bateria. Num instante em que a carga armazenada é q, a diferença de potencial instantânea entre as placas é V = q ζ, e a bateria realiza um trabalho V dq para transferir uma carga adicional dq. Logo: o que dá: du = V dq = q dq ζ = U = 1 ζ q=q q=0 2ζ q dq = q2 ζ 0 (15)
53 Consideremos a carga gradual do capacitor por uma bateria. Num instante em que a carga armazenada é q, a diferença de potencial instantânea entre as placas é V = q ζ, e a bateria realiza um trabalho V dq para transferir uma carga adicional dq. Logo: du = V dq = q dq ζ = U = 1 ζ q=q q=0 2ζ q dq = q2 ζ 0 (15) o que dá: U = Q2 2ζ = 1 2 ζv 2 = 1 QV (16) 2
54 Consideremos a carga gradual do capacitor por uma bateria. Num instante em que a carga armazenada é q, a diferença de potencial instantânea entre as placas é V = q ζ, e a bateria realiza um trabalho V dq para transferir uma carga adicional dq. Logo: o que dá: du = V dq = q dq ζ = U = 1 ζ q=q q=0 2ζ q dq = q2 ζ 0 (15) U = Q2 2ζ = 1 2 ζv 2 = 1 QV (16) 2 para a energia total armazenada até atingir a carga nal Q.
55 Para um capacitor plano, isto leva a:
56 Para um capacitor plano, isto leva a: U = 1 2 ɛ 0 A d V 2
57 Para um capacitor plano, isto leva a: U = 1 2 ɛ 0 A d V 2 = ɛ ( ) 2 0 V 2 Ad d
58 Para um capacitor plano, isto leva a: U = 1 2 ɛ 0 A d V 2 = ɛ ( 0 V 2 Ad d ) 2 = ɛ 0 E 2 Ad (17) 2
59 Para um capacitor plano, isto leva a: U = 1 2 ɛ 0 A d V 2 = ɛ ( 0 V 2 Ad d ) 2 = ɛ 0 E 2 Ad (17) 2 Logo, podemos pensar na energia como estando armazenada no campo, no espaço entre as placas, como uma densidade de energia:
60 Para um capacitor plano, isto leva a: U = 1 2 ɛ 0 A d V 2 = ɛ ( 0 V 2 Ad d ) 2 = ɛ 0 E 2 Ad (17) 2 Logo, podemos pensar na energia como estando armazenada no campo, no espaço entre as placas, como uma densidade de energia: u = U Ad = ɛ 0 E 2 (18) 2
61 Para um capacitor plano, isto leva a: U = 1 2 ɛ 0 A d V 2 = ɛ ( 0 V 2 Ad d ) 2 = ɛ 0 E 2 Ad (17) 2 Logo, podemos pensar na energia como estando armazenada no campo, no espaço entre as placas, como uma densidade de energia: u = U Ad = ɛ 0 E 2 (18) 2 Consideremos agora uma esfera condutora, isolada, com carga Q. Tratando-a como um capacitor, a energia potencial armazenada é:
62 Para um capacitor plano, isto leva a: U = 1 2 ɛ 0 A d V 2 = ɛ ( 0 V 2 Ad d ) 2 = ɛ 0 E 2 Ad (17) 2 Logo, podemos pensar na energia como estando armazenada no campo, no espaço entre as placas, como uma densidade de energia: u = U Ad = ɛ 0 E 2 (18) 2 Consideremos agora uma esfera condutora, isolada, com carga Q. Tratando-a como um capacitor, a energia potencial armazenada é: U = Q2 2ζ = Q 2 8πɛ 0 R (19)
63 o que também resulta de ser:
64 o que também resulta de ser: V = Q 4πɛ 0 R (20)
65 o que também resulta de ser: V = Q 4πɛ 0 R (20) o potencial na superfície, e de ser:
66 o que também resulta de ser: V = Q 4πɛ 0 R (20) o potencial na superfície, e de ser: 1 2 V σds = 1 QV (21) 2
67 o que também resulta de ser: V = Q 4πɛ 0 R (20) o potencial na superfície, e de ser: 1 2 V σds = 1 QV (21) 2 a energia potencial das cargas distribuídas na superfície com densidade σ. Supondo (18) válida, então:
68 o que também resulta de ser: V = Q 4πɛ 0 R (20) o potencial na superfície, e de ser: 1 2 V σds = 1 QV (21) 2 a energia potencial das cargas distribuídas na superfície com densidade σ. Supondo (18) válida, então: u( r) = ɛ 0 E 2 ( r) 2
69 o que também resulta de ser: V = Q 4πɛ 0 R (20) o potencial na superfície, e de ser: 1 2 V σds = 1 QV (21) 2 a energia potencial das cargas distribuídas na superfície com densidade σ. Supondo (18) válida, então: u( r) = ɛ 0 E 2 ( r) = ɛ Q 2 16π 2 ɛ 2 0 r 4 (22)
70 Logo, a energia contida numa camada esférica de raio r e espessura dr seria:
71 Logo, a energia contida numa camada esférica de raio r e espessura dr seria: du(r) = 4πr 2 dr u(r) = Q2 dr (23) 2 8πɛ 0 r
72 Logo, a energia contida numa camada esférica de raio r e espessura dr seria: du(r) = 4πr 2 dr u(r) = Q2 dr (23) 2 e a energia total contida no campo seria: 8πɛ 0 r
73 Logo, a energia contida numa camada esférica de raio r e espessura dr seria: du(r) = 4πr 2 dr u(r) = Q2 dr (23) 2 e a energia total contida no campo seria: 8πɛ 0 r U = Q2 8πɛ 0 R dr r 2 }{{} = 1 R = Q2 8πɛ 0 R (24)
74 Logo, a energia contida numa camada esférica de raio r e espessura dr seria: du(r) = 4πr 2 dr u(r) = Q2 dr (23) 2 e a energia total contida no campo seria: 8πɛ 0 r U = Q2 8πɛ 0 R dr r 2 }{{} = 1 R = Q2 8πɛ 0 R (24) que concorda com (19). De modo geral, podemos armar que:
75 Logo, a energia contida numa camada esférica de raio r e espessura dr seria: du(r) = 4πr 2 dr u(r) = Q2 dr (23) 2 e a energia total contida no campo seria: 8πɛ 0 r U = Q2 8πɛ 0 R dr r 2 }{{} = 1 R = Q2 8πɛ 0 R (24) que concorda com (19). De modo geral, podemos armar que: U = ɛ 0 2 E 2 ( r)dv = 1 2 ρ( r)v ( r)dv (25)
76 De fato, se tomarmos a Equação de Poisson:
77 De fato, se tomarmos a Equação de Poisson: E = ρ ɛ 0
78 De fato, se tomarmos a Equação de Poisson: E = ρ ɛ 0 =
79 De fato, se tomarmos a Equação de Poisson: E = ρ ɛ 0 = ρ = ɛ 0 E (26)
80 De fato, se tomarmos a Equação de Poisson: E = ρ ɛ 0 = ρ = ɛ 0 E (26) Então:
81 De fato, se tomarmos a Equação de Poisson: E = ρ ɛ 0 = ρ = ɛ 0 E (26) Então: U = ɛ 0 2 ( r) E dv (27)
82 De fato, se tomarmos a Equação de Poisson: E = ρ ɛ 0 = ρ = ɛ 0 E (26) Então: Aplicando a identidade: U = ɛ 0 2 ( r) E dv (27)
83 De fato, se tomarmos a Equação de Poisson: E = ρ ɛ 0 = ρ = ɛ 0 E (26) Então: Aplicando a identidade: U = ɛ 0 2 ( r) E dv (27) (V E) = V E + E V = V E E 2 (28) Temos:
84 De fato, se tomarmos a Equação de Poisson: E = ρ ɛ 0 = ρ = ɛ 0 E (26) Então: Aplicando a identidade: U = ɛ 0 2 ( r) E dv (27) (V E) = V E + E V = V E E 2 (28) Temos: U V = ɛ 0 2 V E 2 dv + ɛ 0 2 V (V E)dV (29)
85 Pelo Teorema da Divergência:
86 Pelo Teorema da Divergência: (V E)dV = V r E( r) ˆn ds (30) V S
87 Pelo Teorema da Divergência: V (V E)dV = S V r E( r) ˆn ds (30) Se afastarmos a superfície S indenidamente, V ( r) sobre S cai como 1 R, E( r) cai como 1 R 2 como 1 R e ds cresce como R 2. Logo, a e tende a zero para R. Portanto: S cai
88 Pelo Teorema da Divergência: V (V E)dV = S V r E( r) ˆn ds (30) Se afastarmos a superfície S indenidamente, V ( r) sobre S cai como 1 R, E( r) cai como 1 R 2 como 1 R e ds cresce como R 2. Logo, a e tende a zero para R. Portanto: U = ɛ 0 2 S cai E 2 dv (31)
89 Pelo Teorema da Divergência: V (V E)dV = S V r E( r) ˆn ds (30) Se afastarmos a superfície S indenidamente, V ( r) sobre S cai como 1 R, E( r) cai como 1 R 2 como 1 R e ds cresce como R 2. Logo, a e tende a zero para R. Portanto: U = ɛ 0 2 S cai E 2 dv (31) onde integramos sobre todo o espaço, o que demonstra a (25).
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