Cap. 23. Lei de Gauss. Copyright 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

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1 Cap. 23 Lei de Gauss Copyright

2 23-1 Fluxo Elétrico A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfície gaussiana (fechada) à carga total envolvida pela superfície. Superfície Gaussiana Linha de campo Vetores campo elétrico e linhas de campo transpassam uma superfície Gaussiana esférica imaginária que engloba uma partícula com carga +Q. Agora a partícula envolvida possui carga +2Q. Você pode dizer qual a carga envolvida agora? Resp.: -0.5Q

3 23-1 Fluxo Elétrico O vetor área da para um elemento de área em uma superfície é um vetor que é perpendicular ao elemento e tem módulo igual à área da do elemento. O fluxo elétrico dϕ através de um elemento de área com vetor área da é dado pelo produto interno: (a) Um vetor campo elétrico atravessa um pequeno quadrado numa superfície plana. (b) Apenas a componente x atravessa o quadrado; a componente y é paralela ao quadrado. (c) O vetor área do quadrado é perpendicular ao quadrado e tem um módulo igual à área do quadrado.

4 23-1 Fluxo Elétrico Agora podemos encontrar o fluxo total integrando o produto interno em toda a superfície. O fluxo através da superfície é dado por O fluxo total através de uma superfície fechada (a qual é utilizada na Lei de Gauss) é dada por onde a integral é calculada sobre toda a superfície. Se o sentido do campo elétrico é para fora da superfície, o fluxo é positivo; se o sentido do campo elétrico é para dentro da superfície, o fluxo é negativo; se o campo elétrico é paralelo à superfície, o fluxo é zero.

5 23-1 Fluxo Elétrico Fluxo através de um cilindro fechado em campo uniforme

6 23-2 Lei de Gauss A Lei de Gauss relaciona o fluxo total ϕ de um campo elétrico através de uma superfície fechada (uma superfície Gaussiana) com a carga total q env que é envolvida pela superfície. Mostra que podemos escrever a lei de Gauss também como Duas cargas, iguais em módulo mas com sinais opostos, e as linhas de campo que representam o campo elétrico total. Quatro superfícies Gaussianas são mostradas em seção transversal.

7 23-2 Lei de Gauss Superfície S1.O campo elétrico aponta para fora para todos os pontos sobre a superfície. Então, o fluxo do campo elétrico através da superfície é positivo, e também é a carga total dentro desta superfície, como requer a Lei de Gauss Superfície S2.O campo elétrico aponta para dentro para todos os pontos sobre a superfície. Então, o fluxo do campo elétrico através da superfície é negativo e também a carga encerrada, como requer a Lei de Gauss. Duas cargas, iguais em módulo mas com sinais opostos, e as linhas de campo que representam o campo elétrico total. Quatro superfícies Gaussianas são mostradas em seção transversal.

8 23-2 Lei de Gauss Superfície S3.Esta superfície não engloba carga, e então q env = 0. A Lei de Gauss requer que o fluxo total de campo elétrico através da superfície seja zero. Isto é razoável porque todas as linhas de campo passam inteiramente pela superfície, entrando no topo e saindo no fundo. Superfície S4.Esta superfície não engloba carga líquida, porque as cargas positiva e negativa envolvidas têm o mesmo módulo. A Lei de Gauss requer que o fluxo total do campo elétrico através da superfície seja zero. Isto é razoável porque existem tantas linhas entrando quanto saindo de S4. Duas cargas, iguais em módulo mas com sinais opostos, e as linhas de campo que representam o campo elétrico total. Quatro superfícies Gaussianas são mostradas em seção transversal.

9 23-3 Um Condutor Carregado Isolado Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor, a carga se concentra na superfície do condutor; o interior do condutor permanece neutro. (a) Vista de perspectiva (b) Vista lateral de uma pequena parte de um condutor de grande extensão com uma carga positiva na superfície. Uma superfície gaussiana cilíndrica, engastada perpendicularmente no condutor, envolve parte das cargas. Linhas de campo elétrico atravessam a base do cilindro que está do lado de fora do condutor, mas não a base que está do lado de dentro. A base que está do lado de fora tem área A e o vetor área é A. Existe fluxo apenas através da face externa final

10 23-4 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica A figura mostra uma seção de um bastão plástico cilíndrico infinitamente longo com uma carga superficial λ. A distribuição de carga e o campo tem simetria cilíndrica. Para encontrar o campo num raio r, nós envolvemos a seção do bastão com um cilindro Gaussiano concêntrico de raio r e altura h. O fluxo total através do cilindro a partir da Lei de Gauss se reduz à levando à (linha de carga) Superfície Gaussiana Existe fluxo apenas através da superfície curva Uma superfície Gaussiana na forma de um cilindro fechado envolve uma seção de um bastão plástico cilíndrico infinitamente longo e uniformemente carregado.

11 23-5 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Planar Placa Isolante As figuras (a-b) mostram uma parte de uma placa fina, infinita, não-condutora com uma densidade de carga superficial uniforme (positiva) σ. Uma folha de plástico fino, com uma das superfícies uniformemente carregada pode servir como um bom exemplo. Aqui, É simplesmente EdA e então a Lei de Gauss, Superfície Gaussiana Existe fluxo apenas através das bases torna-se onde σa é a carga envolvida pela superfície Gaussiana. Isto leva à:

12 23-5 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Planar Duas Placas Condutoras A Figura (a) mostra uma seção transversal de uma placa condutora fina e infinita com excesso de carga positiva. A Figura (b) mostra uma placa idêntica com excesso de carga negativa com o mesmo módulo de densidade de carga superficial σ 1. Suponha trazermos as placas das Figs. a e b para perto uma da outra mantendo-as paralelas entre si (c). Uma vez que as placas são condutoras, quando fazemos isto, o excesso de carga numa placa atrai o excesso de carga na outra placa e todo o Excesso de carga se move para as faces internas das placas como na Fig.(c). Com duas vezes mais carga agora em cada face interna, o campo elétrico em qualquer ponto entre as placas tem módulo

13 23-6 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Esférica Uma partícula carregada situada do lado de fora de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga é atraída ou repelida como se toda a carga estivesse situada no centro da casca. Na figura, aplicando a Lei de Gauss para a superfície S 2, para a qual r R, encontramos que Vista em seção reta de uma casca esférica fina, uniformemente carregada, com uma carga total q. Duas superfícies gaussianas, S1 e S2, também são mostradas. A superfície S2 envolve a casca, e a superfície S1 envolve apenas a cavidade vazia que existe no interior da casca. E aplicando a Lei de Gauss para a superfície S 1, para a qual r < R,

14 23-6 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Esférica Uma partícula carregada situada no interior de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga não é atraída nem repelida pela casca. No interior de uma esfera com uma densidade volumétrica uniforme de carga, o campo é radial e tem o mesmo módulo onde q é a carga total, R é o raio da esfera, e r é a distância radial desde o centro da esfera até o ponto de medida como mostrado na figura. Uma superfície Gaussiana esférica concêntrica com r > R é mostrada em (a). Uma superfície Gaussiana similar com r < R é mostrada em (b).

15 23 Sumário Lei de Gauss A lei de Gauss é Eq Placa isolante infinita Eq O fluxo líquido de campo elétrico através da superfície: Aplicações da Lei de Gauss Superfície de um conductor carregado Dentro da superfície E=0. linha de carga Eq Eq Fora de uma casca esférica carregada Dentro de uma casca esférica uniforme Dentro de uma casca esférica uniforme carregada Eq Eq Eq Eq

16 23 Exercícios Halliday 10ª. Edição (atenção a partir do capítulo passado é a 10ª. Edição) Cap. 23: Problemas 1; 3; 8; 12; 19; 23; 37; 42; 47; 51

17 23 Problema 23-1 A superfície quadrada da figura abaixo tem 3,2 mm de lado e está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E = 1800 N/C e com linhas de campo fazendo um ângulo de 35 o com a normal, como mostra a figura. Tome essa normal como apontando para fora, como se a superfície fosse a tampa de uma caixa. Calcule o fluxo elétrico através da superfície.

18 23 Problema 23-3 O cubo da figura abaixo tem 1,40 m de aresta e está orientado da forma mostrada na figura em uma região onde existe um campo elétrico uniforme. Determine o fluxo elétrico através da face direita do cubo se o campo elétrico, em newtons por coulomb, é dado por (a) 6,00î, (b) 2,00ĵ e (c) 3,00î + 4,00k. (d) Qual é o fluxo total através do cubo nos três casos?

19 23 Problema 23-8 Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado, os respingos de água no piso do boxe podem encher o ar de íons negativos e produzir um campo elétrico no ar de até 1000 N/C. Considere um banheiro de dimensões 2,5 m 3,0 m 2,0 m. Suponha que no teto, no piso e nas quatro paredes o campo elétrico no ar seja perpendicular à superfície e possua um módulo uniforme de 600 N/C. Suponha também que o teto, o piso e as paredes formem uma superfície gaussiana que envolva o ar do banheiro. Determine (a) a densidade volumétrica de carga ρ e (b) o número de cargas elementares e em excesso por metro cúbico de ar.

20 23 Problema A figura abaixo mostra duas cascas esféricas isolantes mantidas fixas no lugar. A casca 1 possui uma densidade superficial de carga uniforme de +6,0 μc/m 2 na superfície externa e um raio de 3,0 cm; a casca 2 possui uma densidade superficial de carga uniforme de +4,0 μc/m 2 na superfície externa e um raio de 2,0 cm; os centros das cascas estão separados por uma distância L = 10 cm. Qual é o campo elétrico no ponto x = 2,0 cm, na notação dos vetores unitários?

21 23 Problema Os veículos espaciais que atravessam os cinturões de radiação da Terra podem interceptar um número significativo de elétrons. O acúmulo de carga resultante pode danificar componentes eletrônicos e prejudicar o funcionamento de alguns circuitos. Suponha que um satélite esférico feito de metal, com 1,3 m de diâmetro, acumule 2,4 μc de carga. (a) Determine a densidade superficial de carga do satélite. (b) Calcule o módulo do campo elétrico nas vizinhanças do satélite devido à carga superficial.

22 23 Problema (a) O cilindro condutor de uma máquina tem um comprimento de 42 cm e um diâmetro de 12 cm. O campo elétrico nas proximidades da superfície do cilindro é 2, N/C. Qual é a carga total do cilindro? (b) O fabricante deseja produzir uma versão compacta da máquina. Para isso, é necessário reduzir o comprimento do cilindro para 28 cm e o diâmetro para 8,0 cm. O campo elétrico na superfície do tambor deve permanecer o mesmo. Qual deve ser a carga do novo cilindro?

23 23 Problema Uma placa metálica quadrada, de 8,0 cm de lado e espessura insignificante, possui uma carga total de 6, C. (a) Estime o valor do módulo E do campo elétrico perto do centro da placa (a 0,50 mm do centro, por exemplo) supondo que a carga está distribuída uniformemente pelas duas faces da placa. (b) Estime o valor de E a 30 m de distância (uma distância grande, em comparação com as dimensões da placa) supondo que a placa é uma carga pontual.

24 23 Problema Duas grandes placas de metal com 1,0 m 2 de área são mantidas paralelas a 5,0 cm de distância e possuem cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos nas superfícies internas. Se o módulo E do campo elétrico entre as placas é 55 N/C, qual é o valor absoluto da carga em cada placa? Despreze o efeito de borda.

25 23 Problema Uma esfera condutora com 10 cm de raio tem uma carga desconhecida. Se o módulo do campo elétrico a 15 cm do centro da esfera é 3, N/C e o campo aponta para o centro da esfera, qual é a carga da esfera?

26 23 Problema Na figura abaixo, uma casca esférica, isolante, com um raio interno a = 2,00 cm e um raio externo b = 2,40 cm, possui uma densidade volumétrica uniforme de carga positiva ρ = A/r, em que A é uma constante e r é a distância em relação ao centro da casca. Além disso, uma pequena esfera de carga q = 45,0 fc está situada no centro da casca. Qual deve ser o valor de A para que o campo elétrico no interior da casca (a r b) seja uniforme?