Capítulo 23: Lei de Gauss

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1 Capítulo 23: Lei de Gauss A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontosde uma superfície gaussiana à carga total envolvida pela superfície. Superfície Gaussiana: superfície imaginária que envolve uma distribuição de cargas. Fluxo: observe as figuras abaixo: A: área expostaao vento v: velocidade do vento Φ: vazão (velocidade área) (a) velocidadedoventoéperpendicularao plano, ouseja, v A Φ=vA seavelocidadedoventoéparalela ao plano, ouseja, v A Φ=0 (b) avelocidadefazumângulo θcomoplano Φdependedacomponentenormalaoplano: Φ=(v.cos θ)a Φ= v A 1 Fluxo de um Campo Elétrico Considere uma superfície gaussiana arbitrária(assimétrica) imersa em um campo elétrico não-uniforme A: elementos de área A: vetores ortogonais à superfície e apontam para fora da superfície gaussiana 1

2 Os quadrados são arbitrariamente pequenos, portanto, E pode ser considerado constante no interior de cada quadrado. Definimos (provisoriamente) fluxo elétrico como: Φ= E. A Fazendo da 0, osvetoresárea setornamvetores d A Φ= E d A fluxo elétrico Exemplo (23-1): Observe a superfície em forma de cilindro imersa em um campo elétrico uniforme. Qual o fluxo elétrico através da superfície fechada? Exemplo (23-2): Considere um campo elétrico não-uniforme que atravessa o cubo gaussiano da figura abaixo. E = 3.0xî+4.0 ĵ Calcule Φ na face direita, esquerda e superior do cubo. 2 Lei de Gauss Relação entreofluxototal Φeacarga total q env queéenvolvidaporessasuperfície. Φ=q env LeideGauss Usando a definição de fluxo: E.d A=q env LeideGauss q env somaalgébrica detodasas cargas envlvidas pelasuperfíciegaussiana 2

3 q env > 0 fluxo parafora q env < 0 fluxo paradentro S 1 : E apontaparaforaemtodosospontosde S1 Φ>0eq env > 0 S 2 : E apontaparadentrode S2 Φ<0eq env < 0 S 3 : q env = 0 Φ=0 S 4 : q total =+q q=0 Φ=0 O que acontece se colocássemos uma carga Q gigante próximo a S4? Exemplo (23-3): Sejam 5 pedaços de plástico carregados e uma moeda neutra. Qual é o fluxo elétrico que atravessa S? q 1 = q 4 =+3.1 nc q 2 = q 5 = 5.9 nc q 3 = 3.1 nc Φdependede q env Exemplo(23-4): Qual a carga total envolvida pelo cubo gaussiano? 3 Leide GausseLei decoulomb Vamosdemonstrara leidecoulomb apartir daleidegauss. 3

4 S: esfera concêntrica d A: perpendicular à superfície em qualquer ponto de Seapontaparafora E: perpendicular à superfície e aponta para fora Portanto, θ entre E e d A é zero E d A=q env EdA=qenv q env = q, E varia com r, mas éconstanteemtodasuperfíciegaussiana. da=4πr 2 área dasuperfíciedaesfera E da=q 4 Um Condutor Carregado Observe a figura abaixo: E(4πr 2 )=4 E = 1 4π q r 2 Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor, a carga se concentra na superfície do condutor. O interior do condutor continua a ser neutro. E tem que ser nulo no interior do condutor, existiriam correntes elétricas ali dentro. Nafigura b: E = 0, fluxonulo superfícienãopodeenvolver cargas. não existe excesso de carga na superfície da cavidade. 4

5 5 Campo Elétrico Externo Suponha uma distribuição de cargas σ ao longo da superfície de um condutor não-esférico. Φ=0atravś dabase E = 0 Φ=0naslaterais E superfícielateral Nabaseadireita: Φ=EA q env = σapelalei degauss EA=σ E = σ superfíciecondutora 6 Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica Considere uma barra de plástico de simetria cilíndrica (comprimento infinito). Vamosobterumaexpansãopara E situadaàumadistância r doeixodabarra Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica por causa da simetria do problema E deve ter o mesmo módulo na parte lateral do cilindro A área da superfície lateral: 2πrh Ofluxo de E através dasuperfícielateralé: Φ = EAcosθ=E(2πrh)cos 0 Φ = E(2πrh) O fluxo através das bases do cilindro é zero: E A q env=λh, então Φ=q env E(2πrh)=λh E = σ 2π linha decargas 5

6 7 Lei de Gauss: Simetria Planar Placa não-condutora, fina e infinita com densidade superficial de cargas σ. Naslaterais docilindro: Φ=0 UsandoaleideGauss: E.d A=q env (EA+EA) }{{} fluxo nas bases = σ E = σ 2 placa decargas 8 Duas Placas Condutoras Considere duas olacas condutoras muito finas extensas As placas estão muito longe umadaoutra Sabemos E = σ 1 (superfíciecondutora). 6

7 Agora, colocaremos as placas lado a lado Cadasuperfícieteráuma quantidadedecarga σ=2σ 1. Assim, 2σ 1 = σ Não existeexcessodecargas dolado externodasplacas, E = 0. 9 Lei de Gauss: Simetria Esférica Seja uma casca esférica carregada de carga total q e raio R e duas superfícies gaussianas concêntricas S 1 e S 2 Aplicando a lei de Gauss à superfície S 2, qualquer r R: E = 1 4π q r 2 caso esférico: campo em r qr Esteéomesmocampo queseriacriado porumacarga pontual q. Estaéaprovadoteoremadecascas. Para S 1,ouseja, r R,obtemos E = 0, pois q env = 0 Observe as figuras abaixo: (a) (b) 7

8 Figura(a): Todasas cargas estãonointerior de S. (r> R) As cargas produzem um campo na superfície S como se houvesse apenas uma carga pontual no centro. Figura(b): Superfície gaussiana para r < R Dois conjuntos de cascas carregadas: (1) interior a S (2) exterior a S Oconjuntodecargasexterno a S não criacampo elétricodolado dedentro de S Ascargas internas: E = 1 q (r> R) 4π r2 Se toda distribuição de cargas de raio R é uniforme: ou (carga envolvida pela esfera de raio r) carga total = (volume envolvido pelaesferaderaio r) volume total q 4 3 πr3 = q q 4 3 πr3 substituindo na equação do campo, ( ) q E = 4π R 3 r = q r3 R 3, campo em r R 8