MeMEC Teste 2015 ELECTROMAGNETISMO E ÓPTICA Electrostática no Vácuo

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO - IST Seja sucint(a)o nas respostas. Calculadoras gráficas são proibidas. MeMEC Teste 015 ELECTROMAGNETISMO E ÓPTICA Electrostática no Vácuo Duração da Prova: 1 : 30 hora. 1 (of ). 1) (1.0 val.) Caracterize um condutor em equilíbrio electrostático. Explique porque razão o campo eléctrico exterior, junto a um condutor em equilíbrio electrostático, apresenta apenas componente normal à superfície. ) Considere um cilindro infinito de raio R, uniformemente electrizado em superfície com uma densidade de carga σ..a) (1.5 val.) Aplicando o teorema de Gauss, calcule o campo eléctrostático E e num ponto interior do cilindro (r < R) e num ponto exterior do cilindro (r > R). Desenhe algumas linhas de força do campo E e supondo que σ < 0..b) (1.0 val.) Calcule a diferença de potencial entre um ponto exterior (r > R) e um ponto interior (r < R). 3) (1.5 val.) Calcule o trabalho necessário para transportar a carga +q do até P 4, Figura 1. 1 Volte a página

2 Figure 1: Configuração de 4 cargas. (of ). 1) (1.5 val.) Calcule o campo eléctrico criado por um fio rectilíneo de comprimento l uniformemente electrizado em comprimento com uma densidade linear de carga λ, num ponto P à distância d do fio e equidistante dos extremos. Qual o valor de E e (P) no caso do fio ter comprimento infinito (isto é, quando l d). ) (0.5 val.) Qual é o conceito de energia segundo Maxwell? 3) Um balão de borracha de raio R está carregado com carga Q, distribuída uniformemente sobre a superfície. 3.a) (1.0 val) Determine a energia electrostática contida no campo. 3.b) (1.5 val) Calculando a variação dessa energia para uma variação infinitesimal δr do raio, δw e = W e R δr, demonstre que a força electrostática radial por unidade de área, na superfície do balão, f r é igual à densidade de energia electrostática na superfície, w e = σ R. 3.c) (0.5 val.) Para uma quantidade fixa de carga Q sobre o balão, a energia electrostática diminui ou aumenta quando enche o balão? Justifique minimamente.

3 1. SOLUÇÕES 1) O campo eléctrico no interior de um condutor em equilíbrio electrostático (meio 1) é nulo, E e int = 0, pelo que atendendo a Ee t Ee 1t = 0, tem-se no exteior Et e = 0 e, por conseguinte, Ee = Ee n. Como En e Ee 1n = ε σ 0 e E1n e = 0, Ee n = ε σ 0. Numa extremidade pronunciada do condutor σ é mais elevado e, por conseguinte, En também o é..a) aplicando o Teorema de Gauss numa superfície de Gauss (S.G.) interior ao cilindro, obtemos de imediato E e (P) = 0, pois que Φ e = ( E e n )ds = q int (1) SG e, não havendo cargas no interior da S.G., conclui-se logo que q int = 0, e, portanto, E e (P) = 0. Traçando uma S.G. no exterior com forma cilíndrica de raio r e comprimento L, já o resultado é diferente, Φ e = ( E e n )ds = σπrl. () SG ou ainda E e (r)πrl = σπrl (3) ou seja, o campo electrostático no exterior é radial e tem o módulo E e (r) = σr = q r π r.b) Calcula-se a diferença de potencial por meio da epxressão V 1 V = ˆ R V 1 V = ( E e d p )+ P 1 3.) Tem-se V 4 = 1 ˆ r R ˆ P 3 q i = 1 ( q i=1 r i j a + W 4 = q 4 V 4 = (4) P 1 ( E e d p ) (5) ( E e d p ) = ˆ r R q a + q a ) = σr dr r = σr r ) ln(. R (6) q ( + 1 ) (7) q ( + 1 ). (8) 3

4 . 1.) A contribuição infinitesimal dada pela carga elementar dq = λdx, assinalada na Figura, é quantificada pela expressão d E e (P) = 1 λdl r grad P r (9) O campo assenta no plano xoy e assim devemos considerar as duas componentes: d E e (P) = (d E e u x ) u x + (d E e u y ) u y (10) Argumentos de simetria levam-nos a ter em conta apenas a componente ao longo Ox: d E e (P) = 1 λdy r (grad P u x ) u x. (11) d E e (P) = 1 λdy r (cosα) u x. (1) Temos também as seguintes relações: cosα = d r (13) sinα = y r (14) tanα = y d dy = d cos dα. (15) α Substituindo e integrando sobre todo o fio: Ou seja E e (P) = λ E e (P) = ˆ α0 No caso do fio infinito, α 0 π/, donde E e (P) = α 0 cosαdα u x. (16) λ π d sinα 0 u x. (17) λ sin π u x = λ u x. (18) π π d ) A energia reside no campo e tem densidade de energia (em J/m 3 no sistema SI): w e = 1 E e, (19) 4

5 sendo a energia total contida no campo dada pelo integral W e = 1 ˆ ˆ ˆ E e dv. (0) 3.a) Usando o integral W e = 1 ˆ ˆ S σv ds, (1) obtém-se, considerando que toda a carga encontra-se sobre a superfície da esfera: W e = 1 σv (R)dS = 1 V (R) σds () ou seja S W e = 1 qv (R) = q 8π R. (3) 3.b) Sabe-se que para uma esfera electrizada em superfície, como é o caso do balão esférico electrizado, a energia electrostática é dada por W e = 1 qv = 1 q q R = q 8π R. (4) Quando ocorre um incremento infinitesimal do raio δr, dá-se um pequeno incremento da energia electrostática, δw e : δw e = W e R R = q 4 π R 4 δr. (5) Pode-se re-escrever a Eq. anterior na forma q δw e = (4πR ) (4πR )δr = w e SδR (6) onde S = 4πR é a superfície do balão esférico de raio R. Logo, w e representa uma densidade de energia por unidade de volume, com unidades no sistema SI em J/m 3. Por outro lado, se calculássemos o trabalho realizado no incremento do raio do balão, teríamos δw e = F r δr, (7) podemos concluir que F r /S w e que tem as unidades N/m. Introduzimos o sinal menos porque ao aumentar o raio do balão, as cargas 5 S

6 separam-se e a energia electrostática do sistema de cargas diminui. Repare que podemos escrever a expressão anterior na forma δw e = σ SδR. (8) 3.c) Quando se aumenta o raio do balão, as cargas separam-se, diminuindo o potencial a que cada uma fica, e diminuindo também assim a energia electrostática total do balão electrizado. 6