Lei de Gauss. Objetivos: Calcular o Campo Elétrico para placas infinitas isolante e conjunto de placas infinitas.

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1 Lei de Gauss Objetivos: Calcular o Campo Elétrico para placas infinitas isolante e conjunto de placas infinitas.

2 Sobre a Apresentação Todas as gravuras, senão a maioria, são dos livros: Sears & Zemansky, University Physics with Modern Physics ed. Pearson, 13 a edition Wolfgang Bauer and Gary D. Westfall, University Physics with Modern Physics ed. Mc Graw Hill, Michigan State University, 1 a edition Halliday & Resnick, Fundamentals of Physics, 9 a edition.

3 Placa Isolante Infinita Determinar o campo gerado por uma placa infinita fina, feita de material isolante, com distribuição de carga uniformemente, de densidade superficial σ. A superfície Gaussiana empregada é semelhante a usada no cálculo do campo produzido pela placa condutora, exceto pelo fato da superfície atravessar a placa isolante, como ilustra a figura ao lado. Aplicando a lei de Gauss: E d A= q t onde a carga total será: q t =σ A portanto: Sd E da cos 0 Sc E da cos 90 Se E da cos 0 = σ A

4 Placa Isolante Infinita E A0E A= σ A 2 E A= σ A E= σ 2 A diferença do campo de uma placa condutora infinita fica por conta do 2 que aparece multiplicando a permissividade do vácuo, para a placa isolante. Embora tenha sido desprezado, o campo dentro do material isolante não é nulo, como no metal. Mais adiante será resolvido um problema do cálculo do campo em material isolante, onde isto será abordado novamente.

5 Placas Infinitas Conjunto de placas são muito empregadas, principalmente em em circuitos elétricos. Neste próximo problema vou determinar o campo gerado por duas placas condutoras com densidade superficial ±σ. Isoladamente, as cargas irão se distribuir igualmente na superfície direita e esquerda das placas. Na figura ao lado estão dispostas as duas placas condutoras com densidades σ e σ, respectivamente. Por se tratar de placas condutoras infinitas, as cargas se distribuem homogeneamente nas faces direita e esquerda das placas. Observe que representação ao lado é de placas isoladas, ou seja supondo que as cargas da placa positiva não interagem com as cargas da placa negativa. σ σ σ σ

6 Placas Infinitas Em seguida considere os campos gerados por cada placa à sua direita e à sua esquerda, isoladamente: O Campo E é o campo gerado pela placa positiva à esquerda e à direita desta, enquanto que o campo E é o campo gerado pela placa negativa à esquerda e à direita desta. Pelas resoluções anteriores, seus valores possuem módulos iguais a: E = σ E E σ σ σ σ E E E I II III E E = σ Os campos são iguais em módulo, visto que as densidades são iguais. Em seguida basta calcular o campo em cada região (I, II e III) usando a superposição dos campos nas respectivas regiões.

7 Placas Infinitas Campo nas regiões I, II e III: E I = E E = σ σ =0 E II =E E = σ σ = 2σ E III =E E = σ σ =0 E E σ σ σ σ E E E I II III E Estes campos resultantes sugerem uma nova redistribuição de cargas nas placas, o que era esperado, uma vez que as cargas da placa positiva vão interagir com as cargas da placa negativa. Para encontrar a nova distribuição de cargas, recorra à aplicação da Lei de Gauss nas superfícies das placas novamente.

8 Placas Infinitas Para uma discussão mais completa separei as superfícies cilíndricas 1, 2, 3, 4, 5 e 6, ilustradas nas figuras ao lado. Os campos nas regiões I, II e III são os calculados anteriormente: E I =E III =0 E II = 2σ σ 1e σ 1d σ 2e σ 2d E I = 0 E III = 0 1 E II Aplicando a Lei de Gauss na superfície 1: S 1 E d A= q t 0= q t q t =0 σ 1 e =0 I II III Como o campo na região I é nulo e o campo no metal também é nulo, a integral à esquerda será nula:

9 Placas Infinitas O mesmo ocorre na superfície 4, onde o campo na região III é nulo. S 4 E d A= q t σ 1e σ 1d σ 2e σ 2d E I = 0 E III = 0 1 E II 2 3 0= q t q t =0 σ 2 d =0 5 4 Na superfície 2, temos: S 2 S 2i E d A= q t E i d A S 2c 00 S 2e E II d A S 2e E II da cos 0 = σ 1d A q t =σ 1d A E II d A= σ 1 d A 6 I II III

10 Placas Infinitas Como antes, a primeira integral é nula pois o campo no condutor é nulo, a segunda é nula pois o campo E II é ortogonal ao elemento de área do corpo do cilindro, restando apenas a última integral que resulta em: E II A= σ 1d A E II = σ 1 d Comparando com o campo E II, encontrado anteriormente encontramos a densidade de carga na face interna da placa 1: 2σ ϵ0 = σ 1 d σ 1 d =2 σ O mesmo raciocínio cabe à superfície 3, com uma única diferença, na face interna o campo e o elemento de área são antiparalelos. 00 S 2d 2σ ϵ0 = σ 2 e E II da cos180 = σ 2e A σ 2e = 2σ E II = σ 2e

11 Placas Infinitas Portanto as cargas se deslocarão para o interior das placas, deixando a parte esterna sem cargas. Para a superfície 5 as integrais de fluxo serão nulas pois as faces da superfície Gaussiana estão dentro do condutor, onde o campo é nulo, e na lateral da superfície o campo E II é ortogonal aos elementos de área da superfície. S 5 E d A= q t q t =0 2σ 2σ E II 5 6 I II III E I = 0 E III = 0 Portanto a carga total dentro da superfície é nula. Isto é esperado pois as densidades de carga nas superfícies internas são iguais em módulos, mas de sinais opostos, totalizando uma carga total nula. A superfície 6 dá a mesma previsão, visto que os campos nas regiões I e III são nulos.

12 Três Placas Infinitas Apenas para estender a aplicação, considere três placas infinitas condutoras de densidades 5μC/m², 10μC/m² e 3μC/m². Determine o campo em todo o espaço e a distribuição de cargas nas superfícies das placas. σ 1 =5μC /m 2 σ 2 =10μC /m 2 σ 3 =3μ C /m 2 σ 1 σ 1 σ 2 σ 2 Observe que vou utilizar as densidades de carga fornecidas como módulos. O mesmo para o campo gerado por cada densidade de carga: I II III E 1 = σ 1 = 5μ E 2 = σ 2 = 10μ E 3 = σ 3 = 3μ σ 3 σ 3 IV

13 Três Placas Infinitas Como antes, coloque o campo gerado por cada placa nas regiões I a IV, como se estas estivessem sozinhas no espaço: Em seguida faça a superposição do campo nas regiões: E I = E 1 E 2 E 3 = 8μ E II =E 1 E 2 E 3 = 18μ E III =E 1 E 2 E 3 = 2μ E IV =E 1 E 2 E 3 = 8μ σ 1 σ 1 σ 2 σ 2 Observe que os campos nas regiões III e IV apontam para esquerda, os demais todos estão orientados para direita. I II III σ 3 σ 3 E 1 E 1 E 1 E 1 E 2 E 2 E 2 E 2 E 3 E 3 E 3 E 3 IV

14 Três Placas Infinitas Representando os campo nas regiões I a IV, as densidades de carga nas superfícies podem ser facilmente encontradas comparando a expressão do campo de uma placa condutora como os campo encontrados nas regiões: σ 1e σ 1d σ 2e σ 2d σ 3e σ 3d E I E II E III E IV E= σ Para a densidade na superfície esquerda da placa 1, veja que o campo elétrico gerado, E I, está entrando na placa e portanto a densidade de carga deve ser negativa: σ 1 e = 8μ C/m 2 I II III Para a densidade na superfície direita da placa 1, veja que o campo elétrico gerado E II está saindo da placa e portanto a densidade de carga deve ser positiva: σ 1d =18μC /m 2 IV

15 Três Placas Infinitas a densidade na superfície esquerda da placa 2 é a mesma da superfície direita da placa 1, pois gera o mesmo campo, no entanto com sinal oposto, pois o campo E II está entrando na placa: σ 2 e = 18μC /m 2 a densidade na superfície esquerda da placa 3 é a mesma da superfície direita da placa 2, pois gera o mesmo campo, no entanto com sinal oposto, pois o campo E III está saindo da placa: σ 3 e =2μ C /m 2 Para a densidade na superfície direita da placa 2, veja que o campo elétrico gerado E III está entrando na placa e portanto a densidade de carga deve ser negativa: σ 2 d = 2μ C /m 2 Para a densidade na superfície direita da placa 3, veja que o campo elétrico gerado E IV está entrando da placa e portanto a densidade de carga deve ser negativa: σ 3 d = 8μ C/m 2

16 Três Placas Infinitas Em resumo: E I = 8μ σ 1 e = 8μ C/m 2 E II = 18μ { σ 1d=18μ C /m 2 σ 2 e = 18μ C /m 2 E III = 2μ { σ 2 d= 2μ C /m 2 σ 3e =2μ C/m 2 E IV = 8μ σ 3 d = 8μ C /m 2 Observe que a densidade total de cargas nas placas se conserva: σ 1 e σ 1d =10μC /m 2 =2σ 1 σ 2 e σ 2 d = 20μ C/m 2 =2σ 2 σ 3e σ 3 d = 6μ C/m 2 =2σ 3