Campo Elétrico 2 Objetivos:

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Campo Elétrico 2 Objetivos:"

Luiza Martins Avelar
7 Há anos
Visualizações:

1 Campo Elétrico 2 Objetivos: Apresentar a discretização do espaço para a resolução de problemas em coordenadas: Cartesianas; Polar; Aplicar a discretização do espaço para resolução de problemas de campo elétrico.

2 Sobre a Apresentação Todas as gravuras, senão a maioria, são dos livros: Sears & Zemansky, University Physics with Modern Physics ed. Pearson, 13 a edition Wolfgang Bauer and Gary D. Westfall, University Physics with Modern Physics ed. Mc Graw Hill, Michigan State University, 1 a edition Halliday & Resnick, Fundamentals of Physics, 9 a edition.

3 Discretização do Espaço Discretização do Espaço: em linhas gerais é uma técnica matemática a qual consiste em quebrar o espaço em pequenos porções, onde a resolução do problema se torna mais simples. Após isto utiliza-se técnicas de integração para aplicar a solução em todo o espaço. Linear: Suponha uma linha metálica de comprimento L com massa M. Para esta linha podemos dizer que sua densidade de massa linear é dada pela expressão:, com unidades no SI:

4 Discretização Linear Linear: Suponha uma haste metálica de comprimento L com carga total Q. Para esta haste se pode dizer que sua densidade de massa linear de carga é dada pela expressão:, constante para uma distribuição homogênea ou, no caso de uma distribuição variável. De uma forma ou outra sua unidade será: Portanto, para um comprimento dx, o elemento de carga será:

5 Discretização Linear Polar: Suponha que a haste agora é encurvada em uma circunferência de raio R. Neste caso as coordenadas lineares não são mais convenientes para somar a sua carga, e para isto se utiliza coordenadas polares: Neste caso, o comprimento do arco de circunferência de abertura θ, é dado por: dθ E com R constante, um ds será: Em uma abertura dθ, o elemento de carga será:

6 Discretização Superficial Polar: Agora imagine que a carga é distribuída ao longo da superfície de um disco de raio R. Se uma carga for homogeneamente distribuída sobre este disco:, constante ou dr, no caso variável. Sua unidade no SI será: O elemento de área, quadrado infinitesimal de área da, em azul escuro na figura ao lado: A quantidade de carga neste quadrado será o seu elemento de área vezes a densidade de carga superficial, σ:

7 Discretização Superficial Se a densidade de carga depender apenas do raio, ou seja, for constante para qualquer ângulo θ, podemos considerar como elemento de área um anel de espessura dr: dr Neste caso o elemento de área será um anel, A quantidade de carga neste anel será:

8 Campo de um Fio Considere um fio de comprimento L com carga Q distribuída homogeneamente ao longo de seu comprimento. Para este fio, determine o campo elétrico para um ponto a uma distância D do início do fio, como ilustra abaixo. de Tome como x a posição de uma carga dq, que está a uma distância (D-x) do início do fio. O campo gerado em P por dq será: com, e

9 Campo de um Fio O módulo Campo Elétrico total será: Fazendo u = (D-x), é fácil mostrar que a integral acima resulta em Usando ainda o valor para λ = Q/L ou vetorialmente:

10 Campo de um Fio Um teste simples para este campo é imaginar o caso limite em que o comprimento do fio tende a zero: ou quando nos afastamos muito do fio: Em ambos os casos o campo tende para o campo de uma carga pontual.

11 Campo de um Fio Calcule o Campo Elétrico a uma distância D de um fio infinito com densidade de carga constante, λ. z Campo gerado pelo seguimento de fio dz em P: dz z -z 0 dq D r θ de y de y P θ de de x de Componentes do Campo Elétrico: dz

12 Campo de um Fio Observe que no lado oposto do fio, uma segunda carga dq, simétrica, na posição -z cria um campo de -, em P, de mesmo módulo. Os campos de e de possuem os mesmos módulos de projeções nos eixos x e y. No entanto as projeções em y são opostas e por isto se anulam, enquanto que as componentes em x se somam. Portanto, o campo em P formado pelas duas carga em ±z será: Expressando o cosseno pelos lados do triângulo Drz, vemos que:

13 Campo de um Fio Substituindo o valor de de e r: Observe que tan(θ) = z/d. Substituindo na expressão anterior: sendo z = D tan(θ), mudando a variável de integração para θ:

14 Campo de um Fio Calculando o campo resultante: Ou, retornando às variáveis originais: Portanto, ou vetorialmente:

15 Campo de um Semiarco Um fio carregado com densidade de carga λ, é encurvado na forma de um semiarco de abertura 2ϕ e raio R. Determine o Campo Elétrico gerado no centro de circunferência. y dq Cada seguimento do anel de comprimento ds possui uma carga dq: de x = de de y de x de de y R θ -θ x O Campo gerado pela carga dq: A componente x será: dq

16 Campo de um Semiarco Para calcular o campo total E basta integrar a expressão de -ϕ a +ϕ, ou duas vezes a integral de 0 a ϕ, para computar os dois seguimentos: Se uma carga Q for distribuída sobre todo o arco, sua densidade de carga será: e portanto o campo será

17 Campo de um Semiarco O campo de uma carga pontual pode ser alcançada no limite que a abertura angular do semiarco tende a zero: já que

Campo de um Anel Calcule o Campo Elétrico gerado por um anel com densidade linear de carga λ e raio R, a uma altura z do eixo que passa pelo seu centro de massa e é

18 Campo de um Anel Calcule o Campo Elétrico gerado por um anel com densidade linear de carga λ e raio R, a uma altura z do eixo que passa pelo seu centro de massa e é ortogonal ao plano do anel. Um seguimento de fio ds do anel, com carga dq, faz um campo elétrico de em P: onde onde ϕ é um ângulo no plano do anel, não tendo nenhuma relação com θ.

19 Campo de um Anel y R dϕ ϕ dq No plano da anel, o problema é semelhante ao cálculo da carga no anel, feito anteriormente, com cargas: ϕ dϕ R x e dq de de z θ de Tomando como referência o eixo cinza, que passa pelas cargas dq:, o campo gerado pelas cargas terão componentes: P e de r de r r z Observe que as componentes radiais se anulam, restando apenas as componentes ao longo do eixo z, ortogonal ao plano do anel. dq R dq

20 Campo de um Anel O cosseno pode ser tirado do triângulo rrz: z de z P Observe que nesta integração θ, z e r são constantes. Agrupando todos os termos: θ r z dq R dq Portanto, o campo total gerado pelo anel a uma distância z do seu eixo será: ou

21 Campo de um Anel Para poder utilizar a expressão da carga do anel no cálculo do próximo campo, considere que o anel possui uma carga total Q. Desta forma a sua densidade de carga será: Desta forma o campo do anel pode ser reescrito pela carga total: Observe também, que para pontos muito distantes do anel, o campo elétrico se aproxima do campo de uma carga puntiforme:

22 Campo de um Disco Calcule o Campo Elétrico gerado por um disco com densidade superficial de carga σ e raio R, a uma altura z do eixo que passa pelo seu centro de massa e é ortogonal ao plano do disco. O Halliday faz a proposta mais razoável para a determinação deste campo elétrico. Considere um anel de raio r e espessura dr, de área da: O campo gerado por este anel será o campo de um anel de carga dq e raio r: e

23 Campo de um Disco Para calcular o campo do anel, basta integrar o raio do anel de 0 até o raio do disco: Esta integral se resolve facilmente por substituição de: Que dará:, e portanto:

24 Campo de um Disco Campo muito longe do disco finito: Neste caso considere que o disco de raio R possui uma carga total Q, desta forma a densidade de carga será: Substituindo na expressão do campo: Neste caso será necessário fazer uma expansão binomial do último termo, uma vez que um limite simples levaria a zero: com

25 Campo de um Disco Expandindo até a primeira ordem: com Substituindo na expressão do campo: O campo de uma carga puntiforme.

26 Campo de um Disco Neste caso existem duas aproximações interessantes: Campo muito próximo da superfície do disco: o mesmo pode ser feito com Na primeira aproximação o ponto z se encontra muito perto da superfície do disco, enquanto que na segunda o raio do disco é infinitamente grande. Ambos correspondem a mesma aproximação de um campo de uma placa isolante infinita.

Documentos relacionados

Potencial Elétrico. Objetivos: Explorar o Potencial Elétrico de cargas pontuais e distribuições contínuas de cargas.

Potencial Elétrico. Objetivos: Explorar o Potencial Elétrico de cargas pontuais e distribuições contínuas de cargas. Potencial Elétrico Objetivos: Explorar o Potencial Elétrico de cargas pontuais e distribuições contínuas de cargas. Sobre a Apresentação Todas as gravuras, senão a maioria, são dos livros: Sears & Zemansky,