Cap. 2 - Lei de Gauss

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 2014/2 Cap. 2 - Lei de Gauss Prof. Elvis Soares Nesse capítulo, descreveremos a Lei de Gauss e um procedimento alternativo para cálculo de campos elétricos a partir dessa lei. 1 Fluxo Elétrico O fluxo do campo elétrico é proporcional ao número de linhas de campo que passam por uma dada superfície. Consideremos uma superfície qualquer divida em um número muito grande de elementos de área que são suficientemente pequenos, de área da, onde o campo elétrico é uniforme uma vez que o elemento de superfície é suficientemente pequeno. Desta forma, o fluxo elétrico dφ E através desse elemento de área é dφ E = EdA Se a superfície em consideração não é perpendicular ao campo, o fluxo através dela pode mudar. É fácil entender pela figura a seguir, onde a normal à superfície da 2 faz um ângulo θ com o campo elétrico, enquanto a normal à superfície da 1 é paralela a ele. Porém, o número de linhas de campo que atravessam a superfície da 1 é o mesmo que atravessam a superfície da 2, uma vez que da 1 = da 2 cos θ é a projeção da superfície da 2, nesse caso. Então, o fluxo elétrico sobre as duas superfícies é igual nesse caso a

2 Prof. Elvis Soares 1 Fluxo Elétrico dφ E = E ˆn 1 da 1 = E ˆn 2 da 2 E d A Se quisermos calcular o fluxo elétrico sobre uma superfície, devemos calcular a soma do fluxo de cada elemento de superfície infinitesimal, conforme a figura. Sendo assim, o fluxo elétrico se reduz a integral Φ E = E d A (1) que é uma integral feita sobre a superfície desejada, ou seja, ela depende do campo elétrico e da forma da superfície em questão. 2

3 1 Fluxo Elétrico Prof. Elvis Soares Exemplo: Fluxo através do Cubo Consideremos um campo elétrico uniforme E orientado ao longo da direção x positivo. Vamos calcular o fluxo elétrico total através da superfície de um cubo de arestas l, como mostra a figura. O fluxo total é a soma dos fluxos através de todas superfícies do cubo. Primeiramente, notamos que o fluxo através das faces 3, 4 e daquelas não numeradas é zero pois E é perpendicular a d A nessas faces. O fluxo através das faces 1 e 2 é Φ E = E d A E d A 1 2 Na face 1, E é constante e tem a direção oposta ao vetor d A 1, de modo que o fluxo sobre essa face é E d A = (E ˆx) ( ˆxdA 1 ) = E da 1 = El Na face 2, E é constante e tem a mesma direção do vetor d A 2, de modo que o fluxo sobre essa face é E d A = (E ˆx) (ˆxdA 2 ) = E da 2 = El Portanto, o fluxo total sobre a superfície do cubo é Φ E = El 2 El Φ E = 0 3

4 Prof. Elvis Soares 2 Lei de Gauss Exemplo: Fluxo através da Esfera devido a uma Carga Consideremos uma carga puntiforme positiva q localizada no centro de uma esfera de raio R, como mostra a figura. O fluxo total através da superfície da esfera deve ser calculado como Φ E = E d A onde o elemento de área da esfera é d A = ˆrdA, de modo que o fluxo através da esfera é Φ E = ( k q R 2 ˆr ) (ˆrdA) = k q R 2 (4πR2 ) Lembrando que k = 1/4π, podemos escrever o fluxo através da esfera como Φ E = q Notamos que o fluxo total através da superfície da esfera é proporcional a carga interna. O fluxo é independente do raio R porque a área da superfície da esfera é proporcional a R 2 e, o campo elétrico é proporcional a 1/R 2. Então, o produto da área pelo campo elétrico independe do raio R. 2 Lei de Gauss Vamos considerar algumas superfícies fechadas em volta de uma carga q, conforme a figura. A superfície A 1 é esférica, mas as superfícies A 2 e A 3 não são. Pelo exemplo anterior, o fluxo que passa através da superfície A 1 é q/. Como discutido anteriormente, o fluxo é proporcional ao número de linhas de campo elétrico que passam através da superfície. E da figura vemos que o número de linhas que passam através de A 1 é igual ao 4

5 2 Lei de Gauss Prof. Elvis Soares número de linhas que passam pelas superfícies não-esféricas A 2 e A 3. Portanto, concluímos que o fluxo total através de qualquer superfície fechada envolta de uma carga q é dado por q/ e é independente da forma dessa superfície. Agora, vamos considerar uma carga localizada fora de uma superfície de forma arbitrária, conforme a figura. Como podemos ver, qualquer linha de campo que entra na superfície sai da mesma por outro ponto. O número de linhas de campo entrando na superfície é igual ao número deixando a superfície. Portanto, concluímos que o fluxo total através de uma superfície fechada que não engloba nenhuma carga é zero. Consideremos agora o sistema de cargas e superfícies conforme a figura a seguir. A superfície S engloba somente uma carga, q 1 ; assim, o fluxo total através de S é q 1 /. O fluxo através de S devido às cargas q 2, q 3, e q 4 fora dela é zero pois cadas linha de campo que entra em S num ponto sai da superfície por outro ponto. A superfície S engloba as cargas q 2 e q 3 ; assim, o fluxo total através dela é (q 2 q 3 )/. E finalmente, o fluxo total através de S é zero pois não há nenhuma carga no interior da superfície. Isso é, todas as linhas de campo que entram em S por um ponto saem dela em outros pontos. Notemos que a carga q 4 não contribui para o fluxo em nenhuma superfície porque ela está fora de todas as superfícies. Assim, a Lei de Gauss, que é a generalização do que descrevemos aqui, estabelece que o fluxo total sobre qualquer superfície fechada é 5

6 Prof. Elvis Soares 3 Aplicações da Lei de Gauss Φ E = E d A = Q int (2) onde Q int representa a carga total no interior da superfície e E representa o campo elétrico em qualquer ponto na superfície. 3 Aplicações da Lei de Gauss A lei de Gauss é útil para determinar campos elétricos de distribuições de cargas com alto grau de simetria. A idéia é escolher uma superfície gaussiana que satisfaz uma ou mais condições a seguir: 1. O valor do campo elétrico pode ser constante sobre a superfície devido à simetria. 2. O produto escalar E d A é zero porque E e d A são perpencilares, enquanto E d A é ±EdA pois E e d A são paralelos. 3. O campo pode ser zero sobre a superfície. Essas condições serão usadas nos exemplos a seguir. 6

7 3 Aplicações da Lei de Gauss Prof. Elvis Soares Exemplo: Campo Elétrico de uma Carga Puntiforme Vamos determinar o campo elétrico de uma carga puntiforme q a partir da Lei de Gauss. Como o espaço em volta da carga tem simetria esférica, essa simetria nos diz que o campo elétrico deve ser radial apenas, de forma que escrevemos E = E(r)ˆr Escolheremos uma superfície gaussiana que satisfaça algumas das propriedades listadas acima, e a melhor opção parece ser uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada na carga puntiforme, conforme figura. Com isso, podemos escrever o fluxo do campo elétrico como Φ E = E d A = E(r)dA = q onde usamos o fato que o campo elétrico é normal à superfície gaussiana. Além disso, o campo elétrico possui a mesma intensidade em todos os pontos da superfície esférica, devido à distância ser a mesma em todos os pontos, de modo que E(r)dA = E(r) da = E(r)(4πr 2 ) = q e assim E(r) = q 4π r 2 = k q r 2 Obs: Se a carga não estivesse no centro da esfera, a lei de Gauss permaneceria válida, mas não haveria simetria suficiente para determinar o campo elétrico, pois a intensidade do campo elétrico iria variar ao longo da superfície gaussiana. 7

8 Prof. Elvis Soares 3 Aplicações da Lei de Gauss Exemplo: Campo Elétrico de uma Esfera Carregada Uniformemente Vamos determinar o campo elétrico de uma esfera isolante de raio a e carregada uniformemnte com uma carga Q. Como a distribuição de cargas é esfericamente simétrica, sabemos que o campo deve ser radial para fora E = E(r)ˆr e que a superfície gaussiana deve ser uma superfície esférica, conforme as figuras abaixo. No caso em que r > a, conforme figura (a) e do exemplo anterior, sabemos que Φ E = E(r)dA = E(r) da = E(r)(4πr 2 ) = Q cujo resultado é E(r > a) = k Q r 2 No caso em que r < a, conforme figura (b), o fluxo do campo elétrico deve ser Φ E = E(r)dA = E(r) da = E(r)(4πr 2 ) = Q int porém, nesse caso, a carga interna à superfície gaussiana é dada a partir da densidade de carga da esfera ρ = Q/ 4 3 πa3 na forma que juntos resultam em ( ) 4 Q int = ρ 3 πr3 = Q r3 a 3 E(r < a) = k Q a 3 r 8

9 3 Aplicações da Lei de Gauss Prof. Elvis Soares Sendo assim, o campo elétrico dentro e fora da esfera tem formas diferentes e podemos analisálos na forma de um gráfico. { k Q r se r < a a E(r) = 3 se r > a k Q r 2 Exemplo: Campo Elétrico de um Fio Infinito Carregado Uniformemente Vamos determinar o campo elétrico de um fio delgado infinito e isolante carregado uniformemente com uma densidade de carga linear λ. Como a distribuição de cargas é cilindricamente simétrica, sabemos que o campo deve ser radial cilíndrico para fora, conforme a figura (b) E = E(s)ŝ e que a superfície gaussiana deve ser uma superfície cilíndrica, conforme a figura (a). Usando a Lei de Gauss, sabemos que o fluxo do campo elétrico através da superfície gaussiana é proporcional à carga interna à gaussiana Φ E = E d A = E(s) da = E(s)(2πsl) = λl onde usamos o fato que o campo elétrico E é perpendicular aos vetores d A nas superfícies da tampa e do fundo do cilindro, de modo que o resultado é E(s) = λ 2π s Assim, o campo elétrico de uma distribuição de cargas com simetria cilíndrica cai com 1/r enquanto que o de uma distribuição com simetria esférica cai com 1/r 2. Tal campo foi encontrado no exemplo do fio carregado, no capítulo anterior, no limite em que o fio é infinito. Obs: Se o fio fosse finito, não poderíamos afirmar que na borda desse fio o campo teria a forma E = E(s)ŝ. Na verdade, apareceriam componentes do campo que são parelelas ao fio. 9

10 Prof. Elvis Soares 4 Cargas em Condutores Exemplo: Campo Elétrico de um Plano Infinito Carregado Uniformemente Vamos determinar o campo elétrico de um plano delgado infinito e isolante carregado uniformemente com uma densidade de carga superficial σ. Como a distribuição de cargas tem simetria planar, ou seja, simetria na forma de um plano, sabemos que o campo deve ser perpendicular à superfície E = E(n)ˆn e que a superfície gaussiana pode ser uma superfície cilíndrica, conforme a figura. Usando a Lei de Gauss, sabemos que o fluxo do campo elétrico através da superfície gaussiana é proporcional à carga interna à gaussiana Φ E = E d A = E(n) da = 2E(n)A = σa onde usamos o fato que o campo elétrico E é perpendicular aos vetores d A na lateral do cilindro e somente há fluxo nas tampas do cilindro, de modo que o resultado é E(n) = σ 2 Assim, o campo elétrico de uma distribuição de cargas plana infinita independe da distância ao plano. Tal campo foi encontrado no exemplo do disco carregado, no capítulo anterior, no limite em que o disco é infinito. 4 Cargas em Condutores Como vimos no capítulo anterior, um bom condutor elétrico contem cargas (elétrons) que não estão ligados aos átomos e portanto estão livres para se moverem dentro do material. Quando não há nenhum movimento Um condutor em equilíbrio eletrostático tem as seguintes propriedades: O campo elétrico é zero em qualquer lugar no interior do condutor. 2. Se um condutor isolado está carregado, sua carga reside na superfície. 3. O campo elétrico no exterior muito próximo do condutor é perpendicular à superfície e de módulo σ/. 4. Num condutor de forma irregular, a densidade de carga σ é maior onde menor for o raio de curvatura da superfície.

11 4 Cargas em Condutores Prof. Elvis Soares Vamos verificar as primeiras três propriedades a seguir, e a quarta propriedade é apresentada aqui apenas para completar a lista de propriedades de um condutor em equilíbrio eletrostático, mas será verificada apenas no capítulo seguinte. Primeira propriedade: Vamos considerar uma chapa condutora imersa num campo elétrico externo E. O campo elétrico dentro do condutor deve ser zero sobre a hipótese que estamos em equilíbrio eletrostático. Se o campo não fosse zero, os elétrons livres experimentariam uma força elétrica e iriam acelerar devido a essa força. Esse movimento dos elétrons, contudo, significaria que o condutor não está em equilíbrio eletrostática. Assim, a existência do equilíbrio eletrostático é consistente apenas com o campo zero no condutor. Segunda propriedade: Vamos considerar um condutor de forma arbitrária. Uma superfície gaussiana é desenhada dentro do condutor e pode estar próxima da superfície do condutor o quanto quisermos. Como já mostramos, o campo elétrico no interior do condutor deve ser nulo quando está em equilíbrio eletrostático. Portanto, o campo elétrico deve ser nulo em todos os pontos da gaussiana, de modo que o fluxo total sobre essa superfície deve ser nulo. E pela Lei de Gauss, concluímos que a carga total no interior da gaussiana é zero. Assim, como a carga total dentro do condutor deve ser nula, a carga total no condutor reside na sua superfície. Terceira propriedade: Vamos usar a lei de Gauss para mostrar essa propriedade. Notamos que se o campo elétrico E tiver componente paralela à superfície do condutor, elétrons livres sofrerão força e estarão postos a se mover ao longo da superfície, o que no caso de equilíbrio eletrostático é proibido. Então, o vetor E deve ter apenas componente normal à superfície. Vamos usar uma gaussiana na forma de um cilindro tão pequeno quanto quisermos, cujas faces planas são paralelas à superfície do condutor, enstando parte do cilindro fora do condutor e parte dentro. O fluxo sobre a superfície lateral do cilindro é zero, pois o campo é paralelo à superfície, e na superfície dentro do condutor é zero pois o campo é zero naquela região. 11

12 Prof. Elvis Soares 4 Cargas em Condutores Então, o fluxo na gaussiana é apenas Φ E = EdA = EA = Q int = σa de modo que o campo na superfície do condutor deve ter módulo igual a E = σ tendo a direção perpendicular à superfície do condutor. Exemplo: Esfera dentro de uma Casca Esférica Condutores Vamos determinar o campo elétrico de um plano delgado infinito e isolante carregado uniformemente com uma densidade de carga superficial σ. Como a distribuição de cargas tem simetria esférica, a direção do campo elétrico deve ser radial de tal forma que E = E(r)ˆr Região 1: Para encontrar o campo dentro da esfera sólida, consideremos uma superfície gaussiana de raio r < a. Como a carga total dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático é zero, Q int = 0, então, usando a Lei de Gauss e simetria, E(r < a) = 0. Região 2: Nessa região, consideremos uma gaussiana esférica de raio r onde a < r < b e notemos que a carga no interior dessa superfície é 2Q (a carga da esfera sólida). Devido à simetria esférica, o campo elétrico deve ser radial, de modo que pela Lei de Gauss e assim E(4πr 2 ) = 2Q E(a < r < b) = k 2Q r 2 Região 3: Nessa região, o campo elétrico deve ser zero pois a casca esférica é também um condutor em equilíbrio, então E(b < r < c) = 0. 12

13 4 Cargas em Condutores Prof. Elvis Soares Região 4: Usando uma gaussiana esférica de raio r onde r > c e notando que a carga interna a essa superfície é Q int = 2Q ( Q) = Q, temos E(r > c) = k Q r 2 Desta forma, o campo elétrico dessa distribuição de cargas pode ser escrito e representado num gráfico como a seguir. 0 se r < a k 2Q se a < r < b r E(r) = 2 0 se b < r < c se r > c k Q r 2 13