V(r) dλ (25) σ λ. V x V y V z

Transcrição

1 Rotacional OrotacionaldenumcampovectorialVnumpontoréumvectorcujascomponentesse definem a partir do seguinte limite: (rotv(r)) n= lim σ 0 1 σ λ V(r) dλ (24) em que V(r) dλéacirculaçãodocampovaolongodo percursofechadoλque λ delimita a superfície σ. (rotv(r)) n é a componente do rotational na direcção n perpendicular à superfície σ. A partir desta definição segue-se de forma (quase) imediata o teorema de Stokes, integrando o rotacional numa área finita σ: σ rotv(r) dσ= Expressão do rotacional em coordenadas cartesianas λ V(r) dλ (25) O rotacional pode ser calculado a partir do seguinte determinante formal: rotv= V= ê x ê y ê z x y z V x V y V z (26) Significado físico Para ilustrar o significado do rotacional, consideremos uma massa de água que roda com velocidadeangularconstanteωemtornodeumeixocentralverticalê z. Avelocidadedas partículasdeáguaàdistânciardoeixoé(emcoordenadascilíndricas)v=ωrê φ. Orotacionaldev,calculadoapartirdadefinição,é: (rotv(r)) ê z = lim σ 0 1 σ λ 1 v(r) dλ=lim r 0 πr 2 λ ωr ωrê φ dλê φ =lim dλ=2ω r 0 πr 2 λ (27) Acomponentedorotacionalnadirecçãodeê z correspondepoisaodobrodavelocidade angular.

2 0.2. CAMPOS E OPERADORES DIFERENCIAIS Laplaciano O laplaciano de um campo escalar φ é um operador diferencial de segunda ordem que corresponde à divergência do gradiente desse campo: lapφ=div(gradφ)= φ= 2 φ (28) O uso do operador permite-nos obter imediatamente as componentes cartesianas do operador laplaciano: Significado físico 2 φ= 2 φ x φ y φ z 2 (29) AtravésdeumdesenvolvimentoemsériedeTayloremtornodeumpontor 0,épossível demonstrarqueolaplacianonessepontoéproporcionalàdiferençaentreovalormédio φ docamponoelementodevolumeemtornodopontoeovalorφ 0 docampoemr 0. Este resultado permite-nos interpretar imediatamente as equações que contenham o operador laplaciano. Um exemplo particularmente importante é o da equação de Laplace que (conforme veremos mais adiante na disciplina), governa o potencial electrostático no vazio: 2 V=0 (30) Esta equação basicamente informa-nos então que o valor médio do potencial em torno deumpontopéigualaovalordopotencialnoprópriopontop Alguns resultados importantes Seguem-se alguns resultados particularmente importantes: Orotacional dogradientedeum campo escalarv énulo. ( V)=0 (31) Então, a um campo vectorial V cujo rotacional seja nulo pode ser associado, com imensasvantagensdecálculo,umcampoescalarφ. Éoqueacontece,porexemplo,como campo electrostático E, a que se associa o potencial electrostático V, convencionando-se,

3 10 conformeveremosnodecursodadisciplina,e= V. Adivergência dorotacionalde um campovectorial Aénula. ( A)=0 (32) Então, a um campo vectorial B cuja divergência seja nula também pode ser associado, com algumas vantagens de cálculo, um outro campo vectorial A. Conforme veremos, é oqueacontece,porexemplo, comocampomagnetostáticob,aquesepodeassociaro potencialvectora,convencionando-seb= A Equações de Maxwell Esta revisão dos operadores diferenciais justifica-se pelo facto de as leis básicas do electromagnetismo poderem ser escritas de forma muito compacta e elegante na forma de um conjunto de equações diferenciais que relacionam os campos eléctrico E e magnético B comasdensidadesdecargaρedecorrentejpresentes. Trata-sedascélebresequaçõesde Maxwell, que constituem o principal objecto de estudo desta disciplina e que apresentamos desde já: E= ρ ɛ 0 (33) E= B t (34) B=0 (35) c 2 B= E t + j (36) ɛ 0 Estas equações traduzem as propriedades básicas dos campos eléctrico e magnético, e jáerampraticamentetodasconhecidasantesde Maxwell: aleidecoulomb(eq. 33), a inexistênciadecargasmagnéticas(eq. 35),aleideFaraday(eq. 34)ealeideAmpère- Maxwell(eq. 36). Nocasoestático( E/ t=0, B/ t=0),asequaçõesdemaxwellreduzem-seadois pares de equações, que envolvem os campos eléctrico e magnético separadamente, e que correspondem a dois domínios importantes designados electrostática e magnetostática. Há toda a vantagem em estudá-los separadamente, dando depois lugar ao estudo da electrodinâmica.

4 Electrostática 0.3 Leide Coulomb Na Natureza existem dois tipos básicos de cargas eléctricas, ditas cargas positivas e cargas negativas. Ainteracçãobásicaentreduascargaseléctricasq 1 eq 2 emrepousoconduza uma força(dita força de Coulomb) que tem as seguintes propriedades: diminuicomoquadradodadistânciarentreascargas; aumenta proporcionalmente a cada uma das cargas presentes; actuanadirecçãoˆrdalinhaqueuneascargas; é repulsiva entre cargas do mesmo tipo e atractiva entre cargas de tipos diferentes. Estas propriedades podem ser sintetizadas matematicamente na expressão da lei de CoulombparaaforçaF 21 queactuanacargaq 2 devidoàcargaq 1 : F 21 =k q 1q 2 r 2 ˆr 21 (37) emqueˆr 21 =(r 2 r 1 )/rer= r 2 r 1,sendor 2 er 1 asposiçõesdascargasq 2 eq 1, respectivamente. k é uma constante, dita constante de Coulomb que depende do sistema de unidades utilizado. No sistema internacional (SI), k costuma exprimir-se em função deumaoutraconstanteɛ 0,designadapermitividadeeléctricadovazio: k= 1 4πɛ 0 (38) ɛ 0 édesignadapermitividadeeléctricadovazioeoseuvaloré,pordefinição: ɛ 0 = 107 4πc F/m (39) 11

5 12 ondec= m/séavelocidadedaluznovazio Princípio da sobreposição e campo eléctrico AleideCoulombtraduzaforçaentreduascargaseléctricasemrepousomasnãoresponde à questão: existe alguma alteracção a essa força na presencça de uma terceira carga? A resposta é: não. Isto significa que a força resultante na terceira carga Q devido à interacção comasduascargasiniciaisq 1 eq 2 correspondesimplesmenteàsoma(vectorial)dasforças entreqeq 1,eQeq 2,consideradasseparadamente: F Q =F Q1 +F Q2 =k Qq 1 r 2 Q1 ˆr Q1 +k Qq 2 rq2 2 ˆr Q2 =Q k q i r 2 ˆr Qi =QE Q (40) q i Qi Esta propriedade importante da força de Coulomb é conhecida por princípio da sobreposição. Daquiseguetambémadefinição,comvantagem,docampoeléctricoE Q na posição da carga Q, devido às outras cargas presentes: E Q = k q i r 2 ˆr Qi (41) q i Qi O conhecimento do campo eléctrico numa dada zona do espaço permite-nos determinar adinâmicadeumacargaqquelásejacolocada: Aproximações macroscópicas F Q =QE Q (42) A carga eléctrica encontra-se quantificada na Natureza. As cargas conhecidas constitutem múltiplosinteirosdacargaelementar 3,correspondenteàcargadoprotão: e= C (43) Esta carga elementar é de tal forma reduzida em comparação com as cargas envolvidas em muitos dos processos eléctricos que se torna útil em muitas situações tomar as 2 Actualmente, nosi, o valor davelocidade da luz novazioédefinido, e é deste valoreda definição de segundo que decorre a definição do metro. 3 O protão é constituído por quarques, cuja carga é e/3 ou 2e/3, mas os quarques não existem isolados na Natureza. Mas se existissem (existirem) isolados, isso também não alteraria o princípio da quantificação da carga.

6 0.5. LEI DE GAUSS 13 distribuições de carga como sendo aproximadamente contínuas. Esta abordagem tem a vantagem de se poder utilizar a ferramenta poderosa do cálculo diferencial e integral. É costume definir-se assim a densidade de carga, ρ: ρ= dq dτ O campo eléctrico criado por uma distribuição ρ de carga obtém-se considerando: (44) q i dq=ρ(r)dτ (45) eaproximandoasomadetodasascargasporumasomaderiemann,i.e.,umintegral emtodoovolumeτ ondesedefineρ: q τ i (46) Aeq. 41podeentãoserreescrita: E= τ k ρ(r)dτ r 2 ˆr (47) Podem-se obter expressões análogas para outras distribuições em que a carga esteja concentrada em regiões reduzidas do espaço, podendo ser descrita aproximadamente por densidade superficiais ou até lineares de carga, σ e λ, respectivamente: 0.5 Leide Gauss E= S E= l k σ(r)ds r 2 ˆr (48) k λ(r)ds r 2 ˆr (49) Uma ferramenta usada frequentemente para facilitar a visualização do campo eléctrico é a noção de linhas de campo, que divergem a partir das cargas positivas e convergem emcargasnegativas,sendotangentesaocampoemcausaemtodosospontosdoespaço. A intensidade do campo é sugerida neste tipo de representação pela densidade de linhas

7 14 de campo. Por exemplo, no caso de uma carga pontual q, a densidade de linhas de campoqueatravessaumasuperfícieesféricaderaiorcentradanacargacaicomoinverso do quadrado do raio, o que traduz a dependência do campo eléctrico com o inverso do quadrado da distância à carga. Uma forma mais precisa de traduzir este conceito é através da noção de fluxo dφ do campo E através de uma superfície elementar ds. O fluxo é uma quantidade que é tantomaiorquantomaiorforasuperfícieequantomaiorforacomponentee =E ˆndo campoperpendicularásuperfície(acomponenteparalelae àsuperfícienãoa atravessa e portanto não contribui para o fluxo): dφ=e ds=(e ˆn) (dsˆn)=e ds (50) SeasuperfícieS emcausaforfechada, épossíveldemonstrarqueofluxodocampo eléctrico criado por uma carga eléctrica q através da superfície tem o seguinte valor: S E ds= { q/ɛ0 seacargaestivernointeriordasuperfície 0 seacargaestivernoexteriordasuperfície (51) Atendendo ao princípio da sobreposição, o campo em qualquer ponto do espaço é simplesmente a soma dos campos criados individualmente por cada uma das cargas presentes. O resultado 51 pode exprimir-se então, de forma geral, como: S E ds= Q int ɛ 0 (52) onde Q int é a carga contida no interior da superfície S. Este resultado, conhecido porlei de Gauss,éequivalenteàleideCoulomb,nocasoestático. Aocontráriodoque acontece com a lei de Coulomb, permanece válido quando as cargas se encontram em movimento.

8 0.5. LEI DE GAUSS Forma diferencial da lei de Gauss Conforme vimos na secção 0.4.1, é particularmente útil e apropriado considerar as distribuições de carga como sendo aproximadamente contínuas, definindo em particular a densidade(volúmica) de carga ρ. A lei de Gauss(eq. 52) pode assim reescrever-se: S E ds= 1 ɛ 0 τ int ρ(r)dτ (53) ondetau int éovolumecontidonasuperfícies. UsandooteoremadeGauss,ficamos com: e, logo, τ int divedτ = 1 ɛ 0 τ int ρ(r)dτ (54) dive= ρ ɛ 0 (55)