DEPARTAMENTO DE FÍSICA DA F.C.U.L.

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1 DEPARTAMENTO DE FÍSICA DA F.C.U.L. PROBLEMAS DE CAMPO ELECTROMAGNÉTICO 2009/10 Prof.Maria Laura Palma Série I 1. Um condensador de placas paralelas - de área S e separação d com d 2 «S - tem a região entre as placas preenchida por um meio dielétrico homogéneo e linear nas suas propriedades, mas imperfeito (algo condutor)- com poder indutor específico ε e condutividade σ. Suponha que o condensador é carregado até atingir, no instante t 0, uma d.d.p entre as placas V 0, sendo logo de seguida isolado e abandonado a si próprio. Admitindo que se podem desprezar os efeitos de distorsão do campo na periferia das placas: (a) Escreva a expressão da carga armazenada no condensador em função do tempo, a partir do instante t 0. (b) Ache a densidade de corrente de deslocamento em cada ponto do dieléctrico, durante a descarga. (c) Mostre que é nulo o campo magnético gerado no dieléctrico. 2. Considere uma corrente estacionária no volume de um cilindro, de eixo rectilíneo, de comprimento indefinido e raio a. Admitindo que a densidade de corrente é constante numa secção recta do cilindro e dirigida segundo o eixo, calcule o potencial vector e deduza dele o campo magnético, devidos à distribuição de corrente indicada. 3. Considere um sistema de dois fios cilíndricos rectilíneos, paralelos entre si,de comprimento indefinido e raios a 1 e a 2, com uma distância d entre os eixos e percorridos por correntes estacionárias iguais e de sinais contrários i 1 e i2 = i1. Determine a self-indução do sistema por unidade de comprimento. (Self-indução de uma linha bifilar). Admita na resolução que a densidade de corrente J é uniforme ao longo da secção recta dos condutores e além disso suponha que se tem d >> a,a. 1 2 ( Sugestão: Utilize os resultados do problema anterior e recorra à seguinte expressão 1 para o coeficiente de self-indução: L = J Adv ci. ). 2 v 4. Admitindo que um electrão num átomo descreve a sua órbita em torno do núcleo como se se tratasse do movimento num campo de força central, mostre que existe proporcionalidade entre o momento angular orbital e o momento dipolar magnético da corrente particular de Ampère associada a esse movimento electrónico. Determine a respectiva constante de proporcionalidade (razão giromagnética). 5. Considere um meio isotrópico em que os fenómenos de condução da corrente e de polarização são descritos por grandezas dependendo linearmente do campo que aí se

2 estabelece. Equacione, do ponto de vista mais geral, o problema de como encontrar a electrização produzida, nos pontos interiores a regiões de continuidade, pela passagem da corrente. Particularize depois para os seguintes casos: (a) Meio homogéneo, com corrente variável. (b) Meio heterogéneo, com corrente estacionária. Comente e discuta os resultados obtidos nas diferentes situações estudadas. 2

3 DEPARTAMENTO DE FÍSICA DA F.C.U.L. PROBLEMAS DE CAMPO ELECTROMAGNÉTICO 2009/10 Prof.Maria Laura Palma Série II 1. Suponha bem conhecido um par de potenciais A ( P t) e V ( P, t) 0, 0 conveniente para a determinação do campo electromagnético que é produzido por certo sistema de fontes em determinado meio material. Suponha que não se trata de um par de potenciais de Lorentz, por se verificar não ser idênticamente nula a função: 1 V0 F 0( P, t) = P A 0+ c t a) Designe Ω ( Pt, ) uma função que, mediante as relações de invariância electromagnética, permita passar daquele par a um outro par de potenciais electromagnéticos, obedecendo este todavia à condição de Lorentz. Deduza a equação diferencial a que Ω ( Pt, ) deve satisfazer para que isso se cumpra.. b) Procure caracterizar a classe restrita de pares de potenciais de Lorentz (classe de gauge de Lorentz), estabelecendo a equação diferencial a que deve obedecer toda a função Λ ( Pt, ) que permite transitar entre dois pares de potenciais dessa classe, por intermédio das relações de invariância electromagnética. c) Apresente soluções conhecidas para as equações diferenciais encontradas em a) e em b). 2. Recorde as equações de Maxwell escritas para o campo electromagnético ( EB, ) observável numa região desprovida de fontes e totalmente preenchida por um meio não-condutor, homogéneo, isótropo, sem histerese e linear no seu comportamento electromagnético, com poder indutor específico ε e permeabilidade magnética µ. Mostre que é possível encontrar, como válidos para o cálculo do campo ( EB, ), um par de potenciais electromagnéticos APt (, ) ev( Pt, ) que satisfazem à mesma equação de onda a que obedece o próprio campo. Escreva a condição de gauge especial a que se encontram submetidos tais potenciais. 3. a) Discuta a possibilidade de descrever o campo electromagnético da radiação pura (no vácuo) mediante a utilização de um par de potenciais ( A,Φ ) satisfazendo as condições: Φ = 0 A = 0 (condições de gauge de radiação pura). b) Para uma onda plana, e nas referidas condições, estabeleça o carácter transversal da onda do potencial vector. 4. Considere uma onda electromagnética plana, que se propaga segundo dada orientação. Admitindo que o potencial-vector APt (, ) e o potencial escalar V( P, t) são funções do mesmo tipo que o campo da onda no tocante à sua depêndencia espacio-temporal: 3

4 a) Mostre que a onda do potencial-vector APt ( ), não é transversal e calcule a sua componente longitudinal. b) Verifique por outro lado que, quando e só quando se supõe a onda electromagnética a propagar-se no vácuo, esses potenciais electromagnéticos acima referidos obedecem à condição de Lorentz. 5. Considere uma partícula electrizada de carga e e massa m imersa num campo electromagnético representado pelos potenciais electromagnéticos Ar (, t ) e V( r,t). Adoptando a perspectiva e o formalismo da Mecânica Analítica para descrever o comportamento dessa partícula no campo, pode mostrar-se que uma função lagrangeana não-relativista adequada se exprime naqueles potenciais por: 1 2 e L( r, v, t) = mv eφ ( r, t) + v. A( r, t) 2 c sendo r o vector posição e v a velocidade da partícula no instante t. a) Comprove o resultado precedente, mostrando que a força a que a partícula fica submetida no campo electromagnético pode derivar-se de um potencial generalizado,dependente da velocidade- potencial U = U( r, v, t) -mediante a expressão operacional U U F +. r t v b) Para a mesma situação física, deduza de Lrvt (,, ) a correspondente função hamiltoneana Hv (, pt, ), sendo p o momento conjugado de v. 4

5 DEPARTAMENTO DE FÍSICA DA F.C.U.L. PROBLEMAS DE CAMPO ELECTROMAGNÉTICO 2009/10 Prof.Maria Laura Palma Série III 1.a) Examine as condições impostas pelas equações de Maxwell à propagação de ondas planas num meio de comportamento linear mas anisotrópico nas suas propriedades eléctricas ( D = E,comα, β = x, y,z, sendo D as componentes α do vector deslocamento elétrico, β ε αβ β E β as componentes do campo eléctrico e α ε as αβ componentes do tensor da permissibilidade eléctrica), supondo além disso que o meio é não-condutor, homogéneo e de susceptibilidade magnética desprezável. b) Mostre que, por efeito da anisotropia do meio, o vector de Poynting faz em geral um certo ângulo com a orientação da propagação, o mesmo que fazem entre si os vectores E e D, colineares apenas quando E assume alguma de entre certas direcções privilegiadas. Interprete este resultado na sua incidência sobre o transporte da energia electromagnética. 2. Estabeleça a relação que deve existir entre a velocidade de fase de uma onda electromagnética e a sua frequência para que a velocidade de grupo seja proporcional ao recíproco da velocidade de fase. Determine como deve variar com ω o poder indutor específico de um meio, ε, para que nesse meio se cumpra tal relação. Particularize para o caso em que se tenha v v c f g = 2 sendo c a velocidade da luz no vácuo (sistema de Gauss). 3 Mostre que a velocidade de grupo v formas g = d ω pode assumir as seguintes diferentes dk 5

6 ( a) v v k dv g = f + dk f dv f ( b) vg = vf λ d λ λ dn ( c) vg = vf 1+ n dλ k dn ( d) vg = vf 1 n dk ( e) v g = c dn n + ν d ν sendo v f a velocidade de fase,λ o comprimento de onda da radiação no meio,n o índice de refracção do meio relativamente ao vácuo e c a velocidade da luz no vácuo (sistema de Gauss). 6

7 DEPARTAMENTO DE FÍSICA DA F.C.U.L. PROBLEMAS DE CAMPO ELECTROMAGNÉTICO 2009/10 Prof.Maria Laura Palma Série IV 1. Considere duas ondas planas monocromáticas da mesma frequência e propagandose na mesma direcção, ainda que em sentidos opostos, ambas polarizadas linearmente segundo uma mesma orientação, mas com amplitudes diferentes. Faça o estudo da onda resultante dessas duas ondas planas. 2. Duas ondas planas monocromáticas, de frequência ω, possuem o mesmo vector k e a mesma amplitude dos campos, sendo ambas polarizadas circularmente, uma direita e a outra esquerda. a) Mostre que a sobreposição das duas ondas é polarizada linearmente com amplitude dupla. kee), sabendo b) Determine o plano de vibração da onda resultante (definida por que, em certos instantes, os campos eléctricos das duas ondas sobrepostas se opõem (com soma nula) em determinada direcção do versor a, num plano de onda. c) Indique o intervalo de tempo mínimo que separa esses instantes. 3. Considere uma onda plana monocromática com polarização arbitrária que se propaga segundo o eixo dos ZZ de modo a atingir uma superfície de detecção, de área A, situada perpendicularmente a esse eixo. Suponha que escreve o campo eléctrico na seguinte forma: Ex = a1cos( ωt kz) E y = a1cos( ωt kz + ϕ) a) Escreva as expressões do campo magnético e do vector de Poynting num ponto genérico do espaço. b) Calcule o valor médio no tempo da energia que atravessa a superfície do detector durante um intervalo de tempo grande em comparação com o período da onda incidente. [Sugestão: basta calcular o valor médio durante um período da onda incidente.] 4. Considere uma camada dieléctrica de poder indutor específico ε 2 separada pelos planos z =0 e z=+a de dois outros meios dieléctricos com poderes indutores específicos ε 1 e ε 3, respectivamente; suponha que µ 1 µ 2 1( trabalhando no sistema de Gauss ). Uma onda electromagnética plana monocromática, proveniente da região z<0 (meio(1), incide perpendicularmente sobre a superfície de separação z=0 da camada (2) com o dieléctrico(1). Considerando os três meios como transparentes: a)determine o factor de reflexão na superfície z= 0. b)ache a espessura da camada (valor de a ) que minimiza esse factor de reflexão. c)encontre a relação que devem respeitar as três constantes, ε 1, ε 2 e ε 3, para não haver qualquer reflexão. 7

8 5 As habituais fórmulas de Fresnel para a reflexão são obtidas mediante a hipótese de ser µ 1 = µ 2 = 1, que se cumpre muito frequentemente e com elevado grau de aproximação do domínio óptico. a) Estude qual a modificação que advém para as referidas fórmulas em domínios de frequência das ondas electromagnéticas nos quais se deve renunciar àquela hipótese. b) Face às novas expressões encontradas, discuta em particular a possibilidade de produzir polarização linear na luz reflectida (ou a sua extinção). 6. A partir das equações de Maxwell pode escrever-se a seguinte lei de conservação 1 ( E E + B B) = ( E B E. B ) c t No parêntesis da direita aparece a densidade volúmica da quantidade que se conserva. A densidade do fluxo correspondente está directamente relacionada com a quantidade incluída no parêntesis da esquerda. a) Demonstre a relação anterior. b) Mostre que o valor médio no tempo da densidade de fluxo é nulo no caso de uma onda polarizada linearmente. c) Mostre que no caso de uma onda polarizada circularmente, o valor médio no tempo da densidade de fluxo é diferente de zero e proporcional à frequência. Relacione o sentido do fluxo com o sentido de rotação de E ede B no plano de onda. 7. No caso da reflexão total mostre que efectivamente não passa nenhuma energia para o segundo meio, em média, calculando directamente o valor médio da componente n do vector de Poynting da onda evanescente, sendo n o vector unitário da normal à superfície de separação. 8

9 DEPARTAMENTO DE FÍSICA DA F.C.U.L. PROBLEMAS DE CAMPO ELECTROMAGNÉTICO Série V Ano Lectivo 2009/10 1..a) Para o caso geral de um feixe de raios luminosos (curvilíneos) mostre que se pode encontrar uma expressão explícita da variação relativa da intensidade luminosa I, ao longo de cada raio, em termos do índice de refracção local, nr ( ) e da função frente de onda Sr ( ) associada a esse feixe de raios luminosos. b) Discuta a validade dessa expressão: [1] para ondas planas em meios homogéneos; [2] ainda para meios homogéneos, mas com frentes de onda esféricas centradas num ponto 0. c) Utilize a mesma expressão para averiguar o que se passa no caso de o índice de refracção váriar (continuamente) apenas ao longo de um eixo, admitindo frentes de onda perpendiculares a esse eixo. Discuta o resultado. 2.Considere o problema da curvatura dos raios luminosos num meio inhomogéneo com simetria esférica, i.e., em que o índice de refracção depende sómente da distância r a um ponto fixo 0: n = n( r).[é o caso aproximadamente realizado por uma atmosfera terrestre ideal (límpida, tranquila), quando a região de observação é suficientemente vasta para que se torne necessário ter em conta a curvatura da Terra.] Siga as seguintes sugestões: a) Utilizando a equação diferencial dos raios luminosos mostre que se cumpre necessariamente: d ( ) ds r ns = 0 b) Extraia daqui que: a)todos os raios luminosos são curvas planas situadas em planos passando pela oriegem; b) que a curvatura dos raios é tal que ao longo de cada raio se cumpre nrsen Φ = cons tan te, sendo Φ o ângulo entre o vector posição r e a orientação s do raio luminoso no ponto genérico P. 3.O gradiente em altitude do índice de refracção do ar próximo da superfície terrestre vale aproximadamente cm 1. a) Ache o raio de curvatura de um raio luminoso quando ele se propaga na atmosfera numa direcção horizontal. b) Qual o valor que deveria ter o referido gradiente em altitude para que um raio luminoso partindo numa direcção horizontal descrevesse um círculo em torno da esfera terrestre? 9

10 DEPARTAMENTO DE FÍSICA DA F.C.U.L. PROBLEMAS DE CAMPO ELECTROMAGNÉTICO Série VI Ano Lectivo 2009/10 1. Considere uma distribuição de cargas e de correntes oscilantes confinada a uma região de dimensões desprezáveis face ao comprimento de onda de uma radiação da mesma frequência. Encontre as expressões explícitas de E e de B para a zona longínqua. Mostre que esses campos se podem escrever na forma: B= A = ikn A i E = B n B ikn k ( n A) 2.Considere uma distribuição de cargas e de correntes oscilantes confinada a uma região de dimensões desprezáveis face ao comprimento de onda de uma radiação da mesma frequência. Encontre as expressões explícitas de E e de B para a chamada aproximação dipolar eléctrica. 3. Considere uma distribuição de cargas e de correntes oscilantes confinada a uma região de dimensões desprezáveis face ao comprimento de onda de uma radiação da mesma frequência. As expressões explícitas de B e de E na aproximação dipolar eléctrica são dadas por: ikr e B k ( n p) = r ikr ikr 2 e 1 ik ikr E = k ( n p) n + [ 3n( n. p) p] e 3 2 r r r a) Obtenha as formas que assumem as expressões anteriores na zona de radiação. Mostre que essas formas traduzem o comportamento típico de campos de radiação. b) Indique qual a expressão que dá a potência média radiada por ângulo sólido pelo dipolo oscilante de momento p. c) Calcule a amplitude do vector campo eléctrico num ponto do plano equatorial que se encontre a 10km de um dipolo eléctrico oscilante radiando 1 kilowatt. 4. Considere uma distribuição de cargas e correntes oscilantes confinada a uma região de dimensões desprezáveis face ao comprimento de onda de uma radiação da mesma frequência Situe-se na aproximação dipolar eléctrica. a) Escreva a expressão geral que dá a potência radiada por ângulo sólido em função dos camposeeb. b) Calcule para o caso em consideração o valor médio do vector de Poynting, mostrando que nas expressões do campo electromagnético só os termos que decaem para zero no é que dão origem a radiação. Calcule também para esse caso a potência radiada por ângulo sólido. 10

11 5. Considere uma antena linear cujo comprimento d é muito menor que o comprimento de onda. Suponha que a antena está orientada segundo o eixo dos z, entre -d/2 e +d/2 e que a corrente que a percorre é dada por: iωt z Ize ( ) I d e iω t = Calcule a distribuição angular e o valor total da potência radiada pela antena. 6. Calcule a percentagem da energia total radiada por um dipolo eléctrico na região do espaço cujos pontos são definidos por raios vectores fazendo um ângulo com o plano horizontal compreendido entre ±30º. 11

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