( ) Aula Teórica nº 35 LEM-2006/2007. Prof. responsável de EO: Mário J. Pinheiro. Forma degenerada das equações de Maxwell

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Célia Pedroso Van Der Vinne
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1 Aula Teórica nº 35 LEM-006/007 Prof. responsável de EO: Mário J. Pinheiro Forma degenerada das equações de Maxwell Carácter transversal das ondas electromagnéticas Considere-se o campo electromagnético ( E, H ) descrito por uma onda plana e monocromática, em representação complexa: j ( ) ( ω t ( k r ) + φ E r, t = E e ) 0 j ( ) ( ω t ( k r ) + φ H r, t = H e ) 0 A amplitude E 0 é dada por: E0 = E0xux + E0 yu y + E0zuz, Pelo que cada uma das componentes de E ( r, t ), toma a forma: j ( ) ( ω t k x k y k z + φ ) x y z Ex r, t = E0xe Sendo o vector de onda k = k xux + k yu y + k zuz e o vector de posição r = xux + yu y + zuz. Considere-se agora as equações de Maxwell, escritas para um meio LHI, sem fontes e sem perdas: [1] 169

2 Poe outro lado, vai-se aprender no fim da disciplina de Análise III que o operador rotacional é obtido, em coordenadas cartesianas, a partir do determinante simbólico: [] e da mesma forma: roth = j[ k H ]. As equações de Maxwell escrevem-se portanto sob a forma: j[ k E] = µ jω H j[ k H ] = ε jω E j( k E ) = 0 j( k H ) = 0 Dividindo tudo por j, tem-se ainda: [ k E ] = ω µ H [ k H ] = ω ε E ( k E ) = 0 k H = ( ) 0 A este sistema chama-se a forma degenerada das equações de Maxwell 1. Carácter transversal das ondas electromagnéticas 1 Neste curso não é necessário fazer esta dedução, mas simplesmente conhecer este sistema de equações. 170

3 As duas últimas equações dizem-nos que os vectores E e H são perpendiculares aos vector de onda k, isto é, são perpendiculares à direcção de propagação. Logo E e H estão assentes sobre o plano de onda, pelo que as ondas electromagnéticas têm um carácter transversal. k Os campo E e H vibram segundo uma direcção perpendicular à direcção de propagação. Usando a primeira equação podemos escrever: [3] Vamos definir agora a impedância da onda num meio por [4] Esta equação diz-nos que n, E e H formam um triedro directo, ou então qualquer outra permutação cíclica destes três vectores: E, H e n, por exemplo. E k H n No que diz respeito aos módulos de H E H = Z e E tem-se a relação: Se tivermos usado a ª equação de Maxwell: [ k H ] = ω ε E obteríamos: E = Z [ n H ] Para o vector B, tem-se 1 B = µ H = µ n E = vµ v Logo, E B = v 1 [ ] [ n E] 171

4 Exemplo: Se fizermos passar o eixo dos zz segundo a direcção de propagação, tem-se [5] Polarização das ondas electromagnéticas Considere-se o exemplo anterior em que k = kuz e n = u z e analisemos o estado de vibração da onda no plano z=0. Ex ( t ) = E0x cos( ω t + φ x ) E y ( t ) = E0 y ω t + φ y ) z=0 k i) Ondas polarizadas linearmente Se E 0x 0 e E 0 y = 0, o campo E vibra segundo o eixo dos xx (e o campo H vibra segundo o eixo dos yy). Se E 0 x = 0 e E 0 y 0, o campo E vibra segundo o eixo dos yy. 17

5 Se E 0x 0, E 0 y 0 e φ y = φ x : E y ( t ) = Ex ( t ) E0 y E0x = tg ( α ) y α x O campo E vibra no 1º e 3º quadrantes do plano xoy. [6] Se E 0x 0, E 0 y 0 e φ y = φ x ± Em qualquer um destes casos um observador que veja o plano de onda a aproximar-se, vê o campo E e o campo H a descreverem duas rectas sobre o plano xoy (ondas de polarização linear). H H k ii) Ondas com polarização elíptica E 0x 0, E 0 y 0 e φ y = φ x ± [7] 173

6 No caso particular de se verificar ainda E0x = E0y = E0, com φ y = φ x ± ( t ) + E y ( t ) E 0, tem-se Ex = e a onda diz-se com polarização circular. Um observador de frente para o plano de onda, vê o vector campo eléctrico a descrever uma circunferência no plano xoy, num sentido ou noutro, conforme se verifique φ y = φ x + ou φ y = φ x. [8] Finalmente, no caso mais geral em que ( y φ x ) φ é ± e polarização é elíptica, estando a elipse inclinada relativamente aos eixos dos xx e dos yy. ±, a Energia das ondas electromagnéticas 174

7 Uma onda electromagnética transporta densidades iguais de energia eléctrica e de energia magnética, como se demonstra a seguir: [9] Por outro lado, pode definir-se um vector S [ E H ] e que é dirigido no sentido de propagação da onda: [10] = apelidado de vector de Poynting No sistema S.I., E vem expresso em V.m -1 e H em A.m -1 (lembre-se que H t H1t = j ), pelo que S é expresso em V.A.m - ou seja W.m - (1 Watt=1 Volt.1 Ampere). S representa a energia transportada por unidade de tempo e por unidade de área, pela onda electromagnética. Exemplo: Onda com polarização linear: [11] E H ( z, t ) = E0 cos( ω t kz + φ ) ux ( z, t ) = H0 cos( ω t kz + φ ) u y Chama-se intensidade de uma onda ao valor médio do módulo do vector de Poynting: 1 I = S ( z, t ) = ε ve 0 175

8 e, portanto, I = v W em. Note-se que E = 0, mas S E 0. [1] Se fosse S = 0 não haveria transmissão de energia a acompanhar a propagação da onda. A energia oscilaria para a frente e para trás, mas não se transmitiria quando a onda se propaga. 176

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