Propagação e Antenas Teste 9 de Novembro de Duração: 2 horas 9 de Novembro de 2015

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1 Propagação e Antenas Teste 9 de Novembro de 5 Docente Responsável: Prof Carlos R Paiva Duração: horas 9 de Novembro de 5 Ano Lectivo: 5 / 6 PRIMEIRO TESTE Uma nave espacial deixa a Terra com uma velocidade (normalizada) 3 Quando um relógio (dentro da nave) marca a passagem de horas, a nave envia um sinal electromagnético em direcção à Terra Faça acompanhar as suas respostas de diagramas de Minkowski que ilustrem, de forma apropriada, o seu raciocínio a) Quando é que de acordo com a Terra o sinal electromagnético foi enviado? b) Quando é que de acordo com a Terra o sinal electromagnético foi recebido na Terra? c) Quando é que de acordo com a nave espacial o sinal electromagnético foi recebido na Terra? Solução 3 a) T T 4 horas T horas IST DEEC Área Científica de Telecomunicações

2 9 de Novembro de 5 Propagação e Antenas Teste b) x T T T T T horas 7 horas 7 minutos segundos c) Tx T T T 98 horas T Ty T T T 498 horas 4 horas 55 minutos 4536 segundos DEEC Área Científica de Telecomunicações IST

3 Propagação e Antenas Teste 9 de Novembro de 5 Uma onda electromagnética plana e monocromática é caracterizada pelo vector complexo 3 E E i E (em que Admitindo que i 3 i 3 E, E ) Tem-se, portanto, Er t E i k r t E e e, com k 3, exp ˆ e, determine todas as características da polarização desta onda, a saber: (i) tipo de polarização; (ii) orientação; (iii) eixos principais; (iv) excentricidade Faça um esboço onde indique os parâmetros calculados bem como a orientação IST DEEC Área Científica de Telecomunicações 3

4 9 de Novembro de 5 Propagação e Antenas Teste Solução E e e E 5 E e 3e E E E 5 i E E E E E 5 i Não é polarização circular e e e 3 E E 5e E E i E E ie Não é polarização linear Coclusão : A polarização é elíptica O 3 e E E 5 Polarização direita 3 4 DEEC Área Científica de Telecomunicações IST

5 Propagação e Antenas Teste 9 de Novembro de 5 E i i i i i i F E E E E E E E F E E 9e 3777 e F F i F F E E 756 e 765 e a F 368 b F 38 b excentricidade da elipse 94 a 3 Uma placa dieléctrica assente sobre um PEC (perfect electric conductor), de espessura d 4 mm, é operada a uma frequência f GHz O índice de refracção da placa (ie, o núcleo) é n 5 enquanto que o índice de refracção do meio superior (ie, a bainha) é n (ar) a) Determine o valor máximo f max da frequência de trabalho de forma a ter um guia operado em regime monomodal b) Calcule o índice (de refracção) modal n de todos os modos superficiais que se podem propagar neste guia (para a frequência indicada de operação) Calcule, ainda, os valores correspondentes de g e v p c) Considere, agora, apenas o primeiro modo TE operado em f GHz Faça um esboço dos perfis de E y e H z em função de x (considere este como o seu eixo vertical) d) Represente, de forma qualitativa, as curvas de dispersão b vs v para os dois primeiros modos superficiais Indique o intervalo em que o guia tem um funcionamento monomodal bem como IST DEEC Área Científica de Telecomunicações 5

6 9 de Novembro de 5 Propagação e Antenas Teste o valor de v c para o primeiro modo TE Explique fisicamente a variação b observada para qualquer modo superficial quando vc v e) Calcule a velocidade de grupo v g do primeiro modo TE para f GHz (Deve indicar todos os cálculos necessários que teve de efectuar para obter a sua resposta) Solução a) b) fmax c vmax d n n fmax 6775 GHz c 4d n n f f GHz v d n n 8733 c n n % n u c v n n vp g v n f p TM TE u sin 4 n u cos a f u v cos n u a u f u v u sin u 8 TM u 8 n 345 vp 83 m s g 45 mm 8 TE u 869 n 364 vp 8964 m s g 4479 mm 6 DEEC Área Científica de Telecomunicações IST

7 Propagação e Antenas Teste 9 de Novembro de 5 c) Notando que se tem H z i y E x, vem, após introduzir a distância normalizada IST DEEC Área Científica de Telecomunicações 7

8 9 de Novembro de 5 Propagação e Antenas Teste X x, d E y A u X sin, X sin u exp w X, X cos u X, X u Hz ia w d sin u exp w X, X u A interface corresponde a x d, ie, a X Note-se que deve existir uma continuidade quer de E quer de H em X Com efeito, tem-se (pela equação modal) y z w cosu sinu w u cot u u O perfil de cada uma das componentes requeridas encontra-se nas figuras anexas seguintes 8 DEEC Área Científica de Telecomunicações IST

9 Propagação e Antenas Teste 9 de Novembro de 5 d) A figura anexa seguinte representa o diagrama de dispersão da placa dieléctrica assente sobre um PEC IST DEEC Área Científica de Telecomunicações 9

10 9 de Novembro de 5 Propagação e Antenas Teste e) Vai-se, agora, calcular a velocidade de grupo do modo TE para a frequência Tem-se f GHz v g c n g Para os modos TE, em que a solução u para uma dada frequência (normalizada) v obedece à equação modal f u u v sin u, obtém-se, depois de derivar, du vsin u d v u v sin u Por outro lado, como n 3 u d n u du n n v u, v d v n v dv podemos escrever u d n n u du n usin u ng n v n v u n d v n v dv n u v sin u v Finalmente, obtém-se a seguinte expressão: v g c c c n n g n u sin u u n u sin u u n n u v sin u v n u v sin u v v g u n usin u v p n u v sin u v Está claro que, quando, vem vg vp Para os valore numéricos considerados, então, infere-se que DEEC Área Científica de Telecomunicações IST

11 Propagação e Antenas Teste 9 de Novembro de 5 v g 553 m s 8 correspondendo a um índice de grupo TE n 399 g que se deve comparar com o índice de refracção modal já obtido atrás: n 364 Neste problema desprezou-se a dispersão material o que, em geral, não é uma aproximação razoável 4 Uma fibra óptica (perfil em degrau) tem um núcleo com um raio a 4 μm e um índice de refracção n 45 Determine o contraste dieléctrico de forma que o comprimento de onda de corte (medido no vácuo) do segundo modo LP (modo LP ) seja c 4 μm Represente, de forma qualitativa, vs a para dois valores distintos de c : c c Solução a v n v na cv c vc % na Na figura anexa seguinte representa-se a variação do contraste dieléctrico de uma fibra óptica monomodal com o raio do núcleo IST DEEC Área Científica de Telecomunicações

12 9 de Novembro de 5 Propagação e Antenas Teste 5 Numa fibra óptica, operada em regime linear monomodal, propagam-se impulsos que, à entrada, têm a forma g t A para t, com gt para t Suponha que ps km gt em função de e, sendo a correspondente (a) Calcule a largura (RMS) dos impulsos largura espectral FWHM, calcule o produto (b) Admita que o débito binário (bit rate) máximo B é tal que 4B Mostre que B L A sabendo que 3, onde L LD e LD Determine, em unidades SI, a constante A Calcule, para L 5 km, o valor de B Gb s Solução (a) N g t dt A A A t t g t t t t N N 3N 3 t t t t g t dt N d d DEEC Área Científica de Telecomunicações IST

13 Propagação e Antenas Teste 9 de Novembro de 5 G g t expi t dt A expi t dt A i exp i t A sinc sinc x sin x x G G A sinc S sinc A Na figura seguinte representa-se a função S sinc A largura espectral FWHM corresponde a 783 FWHM x 783 (b) 3 3 L L LD 6 L d L 3 L 6 d 3 6 IST DEEC Área Científica de Telecomunicações 3

14 9 de Novembro de 5 Propagação e Antenas Teste 4 L 6 B L A 6 B L A L5 km B 875 Gb s 6 Na figura junta faça v PB e que, se u PP, então w BA Seja H o lugar geométrico dos acontecimentos P em H H pelo que u v Designe por o parâmetro de u f v w, tendo-se P B, ie, u considera o ponto de vista de O : P ; P, t ; B, t ; A, t t t e tt, t v Neste problema apenas se Note que PA e AP correspondem a sinais electromagnéticos Tem-se (a) Explique o significado físico-geométrico da linha recta que contém os acontecimentos A e B (b) Mostre que: (i) vw ; (ii) w v (c) Determine a função f : : f (d) Determine a equação de H em termos das coordenadas xt, P e dos instantes t, t Solução (a) Trata-se de uma equitemp uma linha de simultaneidade do ponto de vista de O, ie, o lugar geométrico de todos os acontecimentos que, do ponto de vista de O, são simultâneos com o acontecimento B, t (b) v w v v w w adicionando w v v w v v w w subtraindo vw (c) f u v w 4 DEEC Área Científica de Telecomunicações IST

15 Propagação e Antenas Teste 9 de Novembro de 5 f v v v u f v v w w f f f f v (d) B P, t P, t, t t A t t, t t P x, t v PB B P, t t w B A A B t t, u P x, t P P P t IST DEEC Área Científica de Telecomunicações 5

16 9 de Novembro de 5 Propagação e Antenas Teste t t x u v w t t t t x t t t t t t Conclusão : t t x t t Exemplo: Para x obtém-se o acontecimento B com t t t 6 DEEC Área Científica de Telecomunicações IST