Física Experimental Aula10 Propagação de sinais em cabos coaxiais

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Washington Prado Campelo
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1 Física Experimental Aula0 Propagação de sinais em cabos coaxiais

2 Lab7 - Estudo de um fenómeno de histerese num circuito eléctrico Revisão: Onda quadrada f (t) = a 0 + n= a n cos( nπt T ) + b n sin( nπt T ) Física Experimental - V. E.

3 Lab8 Transmissão de sinais Cabo coaxial R, L, C Circuitos eléctricos (DC) Parâmetros concentrados Linhas de transmissão Parâmetros distribuídos Física Experimental - V. E. 3

4 Revisão (Rede de parâmetros concentrados) Circuito: R, C e L. Conceito de fase. i R = ε R = v R R = V R R sin(ω d t φ) X X X x i C = ω d CV C sin(ω d t + 90 ) = I C sin(ω d t φ) i L = di L = V L sin(ω d t 90 ) ω d L Física Experimental - V. E. 4

5 (Rede de parâmetros distribuídos) Circuito qualquer com: R, L e C Exemplo cabo co-axial Fio retorno - dieléctrico Fonte Fio condutor + Componente Impedância Fase Amplitude R R 0 (I R,V R: em fase) V R = I R R C X C -90 (I C avanç/v C ) V C = I C X C L X L +90 (I L atras. V L ) V L = I L X L Física Experimental - V. E. 5

6 C.d.o. e frequência do sinal. C.d.o. e dimensões físicas do circuito c λ = ct = v v + λ 0 v o ( contínuo) λ + Consequências drásticas Circuitos Dimensões do circuito λ( impulso) Física Experimental - V. E. 6

7 Cabo coaxial Z L: Impedância carga; Z 0 - Impedância caracteristica (Caso geral) Física Experimental - V. E. 7

8 Análise de um troço do cabo coaxial R (Ω), G(siemen), L(H), C(F) : em unid.respectivas/m * (Slides 8- opcionais) Cálculos não exigíveis mas aconselháveis para a interpretação da propagação dos impulsos nos cabos coaxiais jwt V(,) z t = V() z e jwt I(,) z t = I() z e com : G = condutância( fuga da c arg a através do dieléctrico) R i C : capacidade do cabo / unid. de comprimento L : indutância do cabo / unid. de comprimento R :Re sistência do cabo / unid. de comprimento I( z) I( z + dz) = ( + jwc) V ( z) dz = ( G + jwc) V ( z) dz R Diferença da corrente entre os pontos z e z+ d di( z) dz Taxa Variação da corrente com a distância ( derivada espacial) i = ( G+ jwc) V( z) Física Experimental - V. E. 8

9 Análise do potencial ao longo do cabo coaxial (cont) V(z,t) V ( z + dz) V ( z) + ( R + jwl) I( z) dz = 0 dv ( z) = ( R+ jwl) I( z) dz dv ( z) Diferenciando : = ( R + jwl) I( z) dz di( z) e substituindo : = ( G + jwc) V ( z) dz vem : dv dz = γ V( z), em que : γ = ( R + jwl)( G + jwc) Física Experimental - V. E. 9

10 Interpretação qualitativa : γ = α + jβ γ = α + jβ Quantidade complexa Parte real Parte imaginária α = ( ) [ RG+ wlc + ( R + wl)( G + wc) e / / β = ( RG + w LC) + [ ( R + w L )( G + w C ) / / Física Experimental - V. E. 0

11 Nota sobre complexos : rever Aritmética sobre complexos Física Experimental - V. E.

12 Solução geral: dv = γ V( z), dz Solução geral : γ z V(,) z t = V e + V e + γ z e para a corrente I( z): ( G+ jwc) γ z γ z I( z) = ( V+ e V e ) ( R+ jwl) Física Experimental - V. E.

13 Equação diferencial : dv = γ V( z), dz α z j( wt β z) α z j( wt+ βz) V(,) z t = V+ e e + V e e e Ondas progredindo direita α z j( wt βz) α z j( wt+ βz) I(,) z t = ( V+ e e V e e ) Z 0 factor de atenuação com w velocidade( onda): vp = e λ = β Ondas progredindo esquerda π β Física Experimental - V. E. 3

14 Simplificações: Aplicação da teoria ao Trabalho 8 Consideremos de novo: α = ( ) [ RG+ wlc + ( R + wl)( G + wc) e / / β = ( ) [ ( )( ) RG+ wlc + R + wl G + wc wl Altas frequências : f>00 khz R >> / / Atenuação fraca (R i elevado;g pequeno): wc G >> Tem lugar a : Física Experimental - V. E. 4

15 Simplificações e significado L R C Z0 α β w LC C L Verifica se que : α R wl = <<, tal como a condição << impõe β wl R Verifica se também que : α << β Física Experimental - V. E. 5

16 Relação entre parâmetros α : Termo real Para altas frequências : α R e como R é peque no ( resistência do fio condutor central) então : α 0 L Por outro lado, a impedancia é : Z0 ( real) C A velocidade das ondas é : vp =, independente da frequência LC ( meio não dispersivo) Física Experimental - V. E. 6

17 Parâmetros do cabo coaxial b>a : b - raio exterior; a - raio interior Cálculo de C L (capacidade/unid.comprimento) Cálculo de L L (indutância/unid. de comprimento) Demonstra-se que : C C l e L l = = l πε a ln( ) b µ a = ln( ) π b Física Experimental - V. E. 7

18 Cálculo da capacidade do cabo coaxial C -Revisão- Q Q= CV C = V Potencial : V fio comprimento infinito b a b b Q a dv = E. dr Vb Va = dr Vb Va = ln a a L. πε r L.πε b Q b C = = L. πε / ln V a Capacidade do cabo coaxial: C Depende da geometria do sistema (neste caso, raio dos condutores externo e interno) Física Experimental - V. E. 8

19 Cálculo da indutância: L Indutância L Física Experimental - V. E. 9

20 VALORES NUMÉRICOS cabo coaxial RG-58/U a=0,7 mm ; b=.5 mm; ε r =.5 ; ε 0 =8.85 pf/m ; µ 0 =0,4ΠµH/m C L CL πε π = = = b.5 ln ln a pf/ m L L L L µ b = π a H m 0 7 ln.54 0 / Velocidade de propagação do impulso no cabo V L x H m 6 Impulso = = ( ) = = / 6 LC VIm pulso C Física Experimental - V. E. 0

21 Trabalho 8 Análise da propagação dos impulsos. Desajuste de impedâncias. Coeficiente de reflexão R Apresentação do problema A (Partida) B (Z L- real) Extremidade oposta Física Experimental - V. E.

22 Ondas progressivas Ondas progressivas com atenuação α z j( wt β z) α z j( wt+ βz) V(,) z t = V+ e e + V e e e Ondas progredindo direita α z j( wt βz) α z j( wt+ βz) I(,) z t = ( V+ e e V e e ) Z Aproximação : altas frequências : 0 factor de atenuação Ondas progredindo esquerda α = 0 j( wt β z) j( wt+ βz) V(,) z t = V+ e + V e e Ondas progredindo direita I z t V e V e j( wt βz) j( wt+ βz) (,) = ( + ) Z0 Antes de atingir o extremo B : Ondas progredindo esquerda V Zo = I Física Experimental - V. E. z z

23 Extremidade B : Impedância real Z L =R (Ω) Vários casos Caso V I Z L = Z0 ZL = Z0 = Pr opagação através da resistência de c arg a Caso V ZL Z0 ZL = Z0 I V e V devem sofrer alterações para verificar Lei de Ohm! V : Entrada ter min al B V : Onda reflectida Na extremidade B, a coordenada z = l (comprimento do cabo) Z L γl γl Ve + Ve = V γl V γl e e Z Z 0 0 simplificação Física Experimental - V. E. 3

24 Coeficiente de reflexão R Significado e relação com as impedâncias Z l e Z 0 Coeficiente de reflexão γl γl Ve Ve + + γl γl γl Ve + Ve Ve V ZL = = = V V V V e e e e γ l Z Z Z Z Ve Z Z V ou seja : γl γl γl γl γ l Ve + V + R Z Zl = Z = Z R= e V com Ve R = V l V γ l R Zl + Z0 γ l : coeficiente de reflexão Z Física Experimental - V. E. 4

25 Discussão: coeficiente de reflexão R O coeficiente de reflexão R representa a razão entre a onda progressiva reflectida na extremidade e onda progressiva incidente, multiplicada pelo factor exponencial : exp(γl). As ondas consideradas devem ser consideradas após o estabelecimento do regime estacionário. γ l Ve + V + R Z Zl = Z = Z R= e V l V γ l R Zl + Z0 Em princípio, esta expressão é geral e implica que as impedâncias podem ser quaisquer: reais, imaginárias (C ou L), ou combinação de ambas. Z Nas experiências do laboratório, por se-à em evidência vários destes aspectos Física Experimental - V. E. 5

26 Terminal B: Z l = R(Ω) (puramente real) Representação gráfica do coef. de reflexão R (com Z 0 =R=50 Ω) Se Z + R Se Se Z l l 0 R Z Z R l 0 0 Coeficiente de reflexão R em função da impedância ZL 0,8 0,6 0,4 Coeficiente R 0, , -0,4-0,6-0,8 - Impedância ZL (Ohm) Coeficiente de reflexão R Física Experimental - V. E. 6

27 Terminal B: Impedância complexa : Z C =/ (j w C) Verificação experimental. Impedância complexa (Condensador) Exemplo :Impulso rectangular; C=0 nf x Física Experimental - V. E. 7

28 Trabalho 8 - Ondas estacionárias Gerador ondas sinusoidal Ondas em linhas de transmissão (sem perdas) V = Aexp j( wt βz) + B exp j( wt + βz) Pelo teorema de de Moivre, resulta : V = A + B + AB cos βz Esta tensão depende da posição z no cabo, e repetese cada semi-comprimento de onda, formando ondas estacionárias Máximos : A+ B, ocorrem quando: Onda incidente e reflectida em fase Mínimos : A - B, ocorrem quando: Onda incidente e reflectida em oposição de fase Física Experimental - V. E. 8

29 Gerador ondas sinusoidal: A (fonte): B (extremo oposto) l - comprimento cabo; v P velocidade de fase Frequências de ressonância Extremidade B (aberta : Z L = ) : Extremidade B (curto-circuito,z l =0) f n n vp =, n =,,3,... l f m (m + ) vp =, m 4l = 0,,, Física Experimental - V. E. 9

30 Espaço (Vários casos ao longo do cabo coaxial) Física Experimental - V. E. 30

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