Resolução dos exercícios propostos do livro texto referente a primeira etapa do curso Rodrigo César Pacheco

Transcrição

1 dos exercícios propostos do livro texto referente a primeira etapa do curso Rodrigo César Pacheco Exercícios do capítulo 1 (páginas 24 e 25) Questão 1.1 Uma fonte luminosa emite uma potência igual a 3mW. Se as perdas totais do sistema somam 45dB, qual deve ser a mínima potência detectável por um fotodetector para que o sistema funcione? P fonte = 3mW Perdas = 45dB P fonte Perdas = P min 10log = -70,229dB P min = 10-7,0229 = 94,87nW Portanto, a mínima potência detectável por um foto detector para que o sistema funcione é 94,87nW. Questão 1.2 Calcule a energia de um fóton nos comprimentos de onda 0,70;0,85 e 1,30 µm. Qual fóton tem mais energia: um visível ou um infravermelho? E = hf c = λf E = hc λ = 6, λ λ = 0,7µm E = 2, J λ = 0,0,85µm E = 2, J λ = 1,3µm E = 1, J

2 O fóton mais energético é o de comprimento de onda 0,7 µm, que está na faixa de frequência visível. Questão 1.3 Quantos fótons por segundo estão incidindo sobre um foto detector, se a potência é igual a 1nW e o comprimento de onda é 1,3 µm? P t = E fóton N fótons N fótons t = P E fóton = P hf = , = 6, fótons/s Questão 1.5 Quantos canais de voz podem ser multiplexados em uma portadora de comprimento de onda igual a 1,06 µm? Assuma que a banda passante do sistema é igual a 1% da frequência da portadora. N canal B canal = Banda Passante Banda Passante = 0,01 f c f c = c λ N canal = 0,01 c 0, = λ B canal 1,06µm 4 10 = 7, Canais

3 Exercícios do capítulo 2 (páginas 24 e 25) Exercício 2.1 Calcule a direção do raio de luz que atravessa uma interface dielétrica sabendo que n1=1,5,n2=1 e ângulo de incidência é 45º. Comente o resultado. Como o raio se propaga de um meio mais refringente para um menos refringente, há a possibilidade de ocorrer reflexão total, isto é, não haver raio refratado. Isto ocorrerá se o ângulo de incidência for superior a um determinado ângulo crítico. Calculando o ângulo crítico, temos: sen(θ c ) = n 2 n 1 = 1 1,5 θ c = 41,81º Portanto, para ângulos de incidência superiores a 41,81º, não há um raio refratado. Uma vez que o ângulo de incidência neste caso é 45º, ocorre reflexão total. Exercício 2.2 Um raio de luz se propagando pelo ar incide sobre uma interface dielétrica formando um ângulo de incidência de 30º com a normal. Comente a seguinte afirmação: o raio transmitido para o segundo meio forma um ângulo de 45º com a normal. Quando um raio de luz se propaga de um meio mais refringente para um menos refringente, o raio refratado se afasta da normal. Considerando afirmação válida, como o raio refratado se afastou da normal, o segundo meio seria menos refringente que o primeiro. Sendo o primeiro meio o ar (índice de refração unitário), o índice de refração no segundo meio deveria ser menor que 1, o que implica que a velocidade de propagação da luz neste meio é superior a do vácuo, o que é impossível. Logo a afirmação é incorreta. Exercício 2.7. Determine o padrão de difração no infinito de uma janela f(x) dada por: f(x) = = 2A A 0 x L 4 L 4 < x < L 2 x L 2 O padrão de difração no infinito é dado pela transformada de Fourier da função da janela. + F(α) = j 2π α x λ f(x) e dx Decompondo essa janela em uma soma de duas outras f1(x) e f2(x) tal que

4 f 1(x) + f 2 (x) = f(x) f 1 (x) = = A 0 x L 2 caso contrario f 2 (x) = = A 0 x L 4 caso contrario f 1 (x) F 1 (α) f 2 (x) F 2 (α) f x F(α) = F 2 (α) + F 1 (α) F 1 (α) = A Lsinc( αl λ F 2 (α) = A L 2 sinc( αl 2λ F(α) = A Lsinc( αl λ + A L 2 sinc( αl 2λ F(α) = A 2 λ π α sen 3παL 4λ cos παl 4λ

5 Exercícios do capítulo 3 (páginas 106, 107 e 108) Exercício 3.3 Considere um pulso de luz se propagando através da Sílica. Determine o alargamento de pulso por unidade de comprimento, para comprimento de onda no espaço livre igual a 0,85µm e largura espectral 2nm. Do enunciado temos: λ 0 = 0,85µm λ = 2nm Consultando a figura 3.6 do livro texto obtemos o coeficiente de dispersão material para a sílica pura: M = 100ps km nm Alargamento de pulso por unidade de comprimento é dado então: τ L = M λ = 200ps km O sinal negativo indica que comprimentos de ondas maiores viajam mais rapidamente neste meio. Exercício 3.4 Repita o exercício 3.3 para uma fonte luminosa cujo comprimento de onda central de emissão é 1,55µm. Assuma que o coeficiente de dispersão material é M = -20ps nm km Resoluçã006F Considerando que a largura espectral da fonte é 20nm, como a fonte do exercício 3.2, temos: τ L = M λ = 400ps km Neste caso, os comprimentos de onda maiores viajam mais devagar que os comprimentos de onda menores. Exercício 3.5 Utilize o resultado do exercício 3.4 para determinar a máxima taxa de dados e frequência de modulação suportadas pelo sistema. As respostas devem ser dadas para as distâncias de 100m,1km e 10 km, para as codificações NRZ e RZ. Para codificação RZ com taxa de transmissão RZ,admitindo que a maior parte da potência do sinal esteja concentrada até a frequência RZ, então:

6 RZ = f 3dB,elétrica = 0,71 2 τ Para codificação NRZ com taxa de transmissão NRZ,admitindo que a maior parte da potência do sinal esteja concentrada até a frequência NRZ/2, então: NRZ = 2 f 3dB,elétrica = 0,71 τ Usando o alargamento de pulso determinado no item anterior e as expressões acima a tabela abaixo foi construída. L(km) τ(ns) f 3dB,óptica f 3dB,elétrica RZ NRZ 0,1 0,040 12,50Ghz 8,875Ghz 8,875Ghz 17,75Ghz 1 0,4 1,25Ghz 0,8875Ghz 0,8875Ghz 1,775Ghz Mhz 88,75Mhz 88,75Mhz 177,5Mhz Exercício 3.8. Faça um gráfico da onda evanescente e α z z sabendo que: n 1 = 1,48 n 2 = 1,46 λ = 0,82µm 0 z 4µ 82º θ 90º O fator de atenuação α da onda evanescente é dado por: α = k 0 (n 1 ) 2 (sen(θ i )) 2 (n 2 )² O gráfico abaixo mostra amplitude do campo evanescente em função da distância até a interface para diferentes valores de ângulo de incidência. Percebe se que para uma distância de 4µm da interface, o campo já apresenta elevada atenuação.

7

8 Exercícios do capítulo 4 (páginas 135 e 136) Exercício 4.1 Determine a carta de modos (índice de refração efetivo versus d/λ) de um guia de onda dielétrico simétrico, com n1=1,48 e n2=1,46. Para que um determinado modo se propague no guia a equação abaixo deve ser satisfeita. tan h d 2 = n12 sen(θ) 2 n2 2 n1 cos(θ) Variando θ desde o ângulo crítico até 90 é possível obter os valores de d/λ para os quais há propagação do modo fundamental. As soluções dos demais modos estão espaçadas desta de d λ = 1 2 n1 cosθ. A carta de modos para este guia foi reproduzida abaixo. Exercício 4.2 Qual é a máxima espessura do filme dielétrico se apenas um modo TE deve se propagar no guia do exercício proposto 4.1? A condição de corte para o m-ésimo modo é dada por: d λ m m = 0 2 n1 2 n2 2

9 Fazendo m=1 na expressão anterior, obtemos: d max = 2,062λ 0 Exercício 4.4. Determine a espessura de corte do filme dielétrico de um guia de onda simétrico para os modos: TE0, TE1,TE2,TE3. Adote os seguintes parâmetros: n1=1,48 n2=1,46 e comprimento de onda no espaço livre 0,82µm. A condição de corte para o m-ésimo modo é dada por: d λ m m = 0 2 n1 2 n2 2 O modo fundamental TE0 sempre se propaga. A espessura de corte para o modo TE1 é obtida fazendo m=1 na expressão anterior. d 1 = 0,82µm 2 1,48 2 1,46 2 = 1,69µm De modo análogo para os outros modos, temos: d 2 = 2 0,82µm = 3,38µm 2 1,48 2 1,46 2 d 3 = 3 0,82µm 2 1,48 2 1,46 2 = 5,07µm

10 Exercícios do capítulo 5 (páginas 209,210 e 211) Exercício 5.4 Uma fibra óptica ID tem n1=1,50, n2=1,49, e o diâmetro do núcleo é 2a=50µm. Considere o raio de luz se propagando segundo o ângulo crítico. Quantas reflexões por metro sofre esse raio? : Cálculo do ângulo crítico: sen(θ c ) = n2 n1 = 1,49 1,5 θ c = 83,38 Sendo x é a distância entre duas reflexões sucessivas, é válido que tan(θ c ) = x 2a O número N de reflexões em L metros é dado pela parte inteira de: N = L x + 1 = L 2a tan(θ c ) + 1 Para L=1m, vem N=2322 reflexões. Exercício 5.8 Calcule a perda de acoplamento mínima entre uma fonte luminosa que emite sobre um ângulo total de 40 e uma fibra óptica cuja abertura numérica seja NA=0,15. : Ângulo sólido de emissão da fonte Ω f = 2π 1 cos(20 ) = 0,3789 Ângulo de aceitação da fibra, supondo esta imersa em ar. θ a = sin -1 (NA) = asin(0,15) Ângulo sólido de aceitação da fibra Ω a = 2π (1 cos(θ a )) = 7, Perda de acoplamento mínima é dada por: -10log Ω a Ω f = 7,27dB Exercício 5.12 Considere uma fibra óptica ID cujo núcleo possui raio a. Seja R o raio de curvatura mínimo para que um raio de luz, se propagando ao longo do eixo da fibra óptica atinja a dobra, segundo um ângulo igual ao ângulo crítico. Determine uma expressão para R a = f(θ c) e esboce o gráfico dessa função. : Nas condições do enunciado, pode-se escrever que:

11 sin(θ c) = R R + a R = sin(θ c) 1 sin(θ c ) O correspondente gráfico dessa função é reproduzido abaixo. Exercício 5.15 Uma fibra óptica multimodo tem um comprimento de equilíbrio Lc=1km. Na região linear, o alargamento de pulso rms por unidade de comprimento é 10ns/km. O alargamento de pulso é devido principalmente a distorção modal. Determine a banda passante óptica em função do comprimento L da fibra, para 0 L 10km. Admitindo que a resposta impulsiva dessa fibra seja do tipo gaussiana, f óptica σ modal = 0,188 Para 0 L 1km, σ modal = L 10nS Para 1 L 10km, σ modal = L q 10nS, em que q varia entre 0,5 e 1. Os gráficos abaixo relacionam a banda passante óptica e o comprimento do enlace para dois casos, q=0,5 (mistura perfeita de modos) e q=0,8. A tabela abaixo apresenta alguns valores do gráfico. L(km) σ modal (ns) para q=0,5 f óptica (Mhz) σ modal (ns) para q=0,8 0, ,5 5 37,6 5 37, , ,8 3 17,32 10,85 24,08 7, ,36 8,4 36,24 5, ,6 5,95 63,09 2,98 f óptica(mhz)

12

13 Exercício 5.17 Para um alcance de 20km, qual é o alargamento de pulso máximo admissível para uma fibra ID, para que seja possível uma transmissão a uma taxa R=100Mbps, com codificação On-Off NRZ? Considere que o transmissor e o receptor ópticos possuam banda passante infinita. É possível garantir o funcionamento desse sistema com uma fibra ID, com núcleo de raio a=25µm, número V=5, para o comprimento de onda 1,55µm? Justifique. A relação entre o alargamento de pulso máximo e a taxa de transmissão para codificação NRZ é dada por: R = 0,7 τ Logo, máximo alargamento de pulso admissível é 7ns. Admitindo que a distorção modal seja predominante e usando n1=1,5 temos que o alargamento de pulos para a fibra do enunciado é: τ = L n1 c V = 2πa n1 2 = 5, λ 0 τ = 1,5 5, = 54ns Como o alargamento de pulso desta fibra é superior ao máximo alargamento de pulso admissível, não é possível utilizar este tipo de fibra para atender as especificações dadas.