Electrotecnia Teórica (1º Semestre 2000/2001)

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1 Electrotecnia Teórica (º Semestre 2000/200) Exame #2 (25-Jan-200) Resolver cada problema numa folha separada Electrotecnia Teórica (º Semestre 2000/200) Duração: 2.30 horas SEM CONSULTA Problema Linhas de transmissão Uma linha de transmissão aérea bifilar, com uma impedância característica Z 0 50 Ω, está fechada sobre uma impedância de carga desconhecida Z L. Para determinação do valor da carga, efectuou-se a medida da tensão ao longo da linha quando fechada sobre a carga e quando fechada sobre um curto circuito, tendo-se encontrado os valores seguintes: Justificando os cálculos que efectuar: a) Determine os valores do VSWR e do coeficiente de reflexão em cada caso. b) Determine o valor da frequência de teste, assumindo que a linha de transmissão tem um comportamento linear em frequência. c) Determine o valor de. Z L Problema 2 Propagação de campos electromagnéticos em meios dieléctricos Considere dois meios dieléctricos não magnéticos, separados por um interface plano. Assuma também que uma onda electromagnética (vamos assumi-la plana e monocromática) se propaga do meio mais denso (meio, com índice de refracção superior) para um meio menos denso (meio 2, com índice de refracção inferior). Considere ainda os seguintes parâmetros, variáveis e grandezas: Z Impedância característica do meio. Z 2 Impedância característica do meio 2. θ i Ângulo de incidência da onda, a partir do meio. θ t Ângulo de transmissão da onda, para o meio 2. Coeficiente de reflexão de Fresnel. ρ Voltar a página -----> Electrotecnia Teórica - Exame #2 Página de 7

2 Para sermos específicos, considere que o meio é água destilada, o meio 2 é ar, a amplitude (valor máximo) da onda incidente no interface água-ar é E i V m e o ângulo de incidência, no plano ( x, y) de incidência, é θ i 45. Considere também que os parâmetros que caracterizam a água destilada são: permitividade dieléctrica relativa r 8, permeabilidade magnética relativa µ r e condutividade eléctrica σ 0. a) Calcule o ângulo crítico e verifique se nas condições do enunciado se verificará a condição de reflexão interna total. b) Prove que: cosθ t ja em que A ---- ( sinθ 2 i ) 2 (EQ ) c) Calcule o coeficiente de transmissão τ. d) Como foi visto nas aulas, a amplitude do campo eléctrico no meio menos denso, o ar, decai exponencialmente e pode ser escrita na forma: E t ẑe e αy e jβ 2 x sin θ t (EQ 2) Nesta expressão, α β 2 A. Assim, calcule a amplitude (valor máximo) do campo eléctrico num ponto no ar a uma distância de λ 4 acima do interface. Esperava um resultado destes? Como o interpreta? Problema 3 Guias de onda Um guia de onda metálico e rectangular com uma secção recta 2 4 cm e preenchido com ar, transmite energia electromagnética. O fasor representativo do campo eléctrico longitudinal, no seu interior, quando o sistema de eixos é colocado de forma a que o eixo dos ẑ seja paralelo ao lado maior, o eixo dos ŷ paralelo ao lado menor e o eixo dos xˆ na direcção da propagação, apresenta o seguinte valor em x 0 : E x yπ zπ , 004, V m sin sin (EQ 3) A onda guiada tem um comprimento de onda de 549cm,. a) Determine o modo de propagação correspondente e calcule a sua frequência de corte. Poderá existir algum modo com as mesmas características de propagação que este (modo degenerado), cuja existência não altere aquela componente observada do campo eléctrico longitudinal? b) Determine a expressão correspondente ao fasor E x num ponto de coordenada x arbitrária. c) Determine a expressão do fasor correspondente a E y, num ponto arbitrário ( x, y, z). Voltar a página -----> Electrotecnia Teórica - Exame #2 Página 2 de 7

3 Problema 4 Propagação de campos electromagnéticos em meios com perdas Nas aulas, estudamos em pormenor o significado da constante de propagação associada a uma onda electromagnética. A constante de propagação é uma grandeza complexa que se pode escrever na forma γ α+ jβ, em que α é a constante de atenuação da amplitude do campo (valor máximo) e β é a constante de fase. Num meio com perdas de tipo óhmico (efeito Joule), isto é, verificando-se que a condutividade eléctrica não é nula, σ > 0, vimos também nas aulas que a constante de propagação é dada por: γ jωµσ ω 2 µ (EQ 4) Nesta expressão, os vários símbolos têm o significado habitual. a) Prove que a constante de propagação pode ser expressa na forma alternativa: γ jβ j σ ω (EQ 5) b) Considere que o meio em questão tem perdas finitas mas reduzidas, ou seja, é mau condutor, verificando-se a condição σ«ω. Se realizarmos uma expansão de γ em série de Taylor a partir da equação anterior, podemos calcular factores de correcção de segunda ordem (e de ordens superiores) quer para α quer para β. Qual é a atenuação da amplitude (valor máximo) da onda que é necessário existir, em primeira ordem, para que os termos de segunda ordem na expansão de α e de β representem uma correcção de 0 %, aproximadamente? Exprima a sua resposta em unidades de db de atenuação por cada comprimento de onda percorrido pela onda no material. c) Que conclui do resultado obtido na alínea anterior? Acha que, em Engenharia Electrotécnica e de forma geral, se justifica realizar cálculos de propagação de ondas electromagnéticas em materiais considerando apenas os termos em primeira ordem (como sempre fizemos nas aulas), ou deveríamos, pelo contrário, ter sido mais precisos e incorporado termos de ordem superior?. A expansão em série de Taylor da função δ, com δ «, pode ser escrita na forma δ δ 2 δ 3 δ Electrotecnia Teórica - Exame #2 Página 3 de 7

4 Solução 2 a) Ângulo crítico: θ 2 i, crítico asin ---- (EQ 6) Logo, θ r2 0 i, crítico asin asin O resultado é r 0 8 Assim, qualquer ângulo de incidência superior a este valor, como o indicado no enunciado, conduzirá a reflexão total no interface. Por outras palavras, a onda transmitida será uma onda evanescente (que se atenua exponencialmente e de forma muito rápida com a distância, como será visto na última alínea). Assim, e contrariamente ao que muitos alunos pensaram, o coeficiente de transmissão não é nulo, por definição, quando se verifica reflexão total! b) Temos: n n sinθ i n 2 sinθ t sinθ t ---- sinθ n i 2 logo, sinθ t µ sinθ µ 2 i sinθ i pois µ µ 2 2 (EQ 7) Assim, cosθ t ( sinθ t ) ( sinθ 2 i ) 2 (EQ 8) Como nesta equação o argumento da raíz é negativo, então: cosθ t ja em que A ---- ( sinθ 2 i ) 2 (EQ 9) c) O coeficiente de transmissão vem: τ 2 cosθ i ---- ( sinθ τ + ρ i ) cosθ i ( sinθ i ) j (EQ 0) Electrotecnia Teórica - Exame #2 Página 4 de 7

5 d) A uma distância y λ 4 do interface, na direcção vertical, temos E t.42e( αy), em que o coeficiente de absorção α é dado por α β 2 A ( 2π λ 2 )6.28 ( λ 2 ) m. Logo, E t.42e( αy) e λ 2 λ µv m (EQ ) Se atendermos a que exactamente no interface, y 0, a amplitude (valor máximo) do campo é de.42 V m, então verificamos que a onda transmitida se atenua de forma extremamente rápida, como é característico de uma onda evanescente. Em síntese, também por esta via se confirma a situação de reflexão total no interface, dado a única onda em propagação, após reflexão, ser a onda reflectida. A onda transmitida é evanescente. Nota: É possível apanhar uma onda evanescente e transformá-la numa onda em propagação. Basta, para tal, aproximar do interface um novo meio mais denso (por exemplo um prisma de vidro), mas essa aproximação terá de ser tão grande que a amplitude do campo ainda seja apreciável à entrada do novo meio. Da alínea anterior, essa separação máxima entre meios para apanhar uma onda evanescente terá que ser muito pequena, sem dúvida uma fracção muito pequena do comprimento de onda. Ampliando muito a situação, podemos representar o que se passa da seguinte forma: Figura. Uma onda evanescente pode ser apanhada por um meio material e transformada numa onda em propagação, desde que a separação entre os dois meios mais densos (meio e prisma de vidro) seja uma fracção muito pequena do comprimento de onda. Ver, por exemplo, a Fig do livro de texto, p.222. Electrotecnia Teórica - Exame #2 Página 5 de 7

6 Solução 4 a) Como pretendemos mostrar que as duas expressões para γ são equivalentes, o mais simples será igualá-las e verificar que obtemos afirmações verdadeiras. jωµσ ω 2 µ jβ j σ ω (EQ 2) jωµσ ω 2 µ β 2 j σ ω β 2 + jβ σ ω (EQ 3) Igualando partes reais e imaginárias, obtemos duas equações: [ ω 2 µ β 2 ] β 2 ω2 ω ( v fase ) 2 β ± v fase ωµσ β σ β 2 ω2 µσ ω β 2 ω2 σ ω ( v fase ) 2 β ± v fase (EQ 4) Repara que na equação anterior pudemos eliminar µ, pois: µ µ r µ 0 µ r c 2 µ r r c ( c n) ( v fase ) 2 (EQ 5) Ou seja, ambas as equações nos conduzem à definição correcta de β, pelo que ambas as expressões para γ são verdadeiras e inteiramente equivalentes. Em alternativa, podíamos ter partido de qualquer uma das expressões para γ, e, substituindo β e µ, chagar à outra. b) Expandindo a Eq. 3, [p. 2] em série de Taylor: γ jβ j σ ω σ jβ δ,com δ ω jβ j δ 2 -- δ j----- δ3 α + jβ e δ «, ou σ«ω 8 6 (EQ 6) Por outras palavras, a expansão anterior só é aplicável quando o meio se comporta como sendo um mau condutor, ou seja, σ«ω. Agora podemos escrever de imediato as expansões em série para α e para β, separando os termos reais dos termos imaginários na Eq. anterior. Electrotecnia Teórica - Exame #2 Página 6 de 7

7 α β --δ δ 2 + α 8 + α 2 + β β + --δ 2 + β 8 + β 2 + (EQ 7) Daqui vemos que as correcções de segunda ordem para α e para β, são iguais entre si e valem δ 2 8. Para que δ 2 8 seja uma correcção de 0 % do termo em primeira ordem, terá de se verificar a condição δ 2 8 [( σ ω) 2 ] Logo, ( σ ω) 2 0.8, ou σ ω Por outras palavras, o meio material terá de estar na transição entre mau condutor e bom condutor, ou seja, σ ω 2. Este resultado também pode ser expresso em db de atenuação quando o campo se propaga uma certa distância no material, L, que, segundo o enunciado, deve ser considerada como igual a um comprimento de onda, ou seja, L λ : β A db 0 e α log L -- σ ω L 0 loge π -- σ λω λ 0 loge 0 loge π( 0.894) 0 loge db (EQ 8) Por outros palavras, para que a correcção em segunda ordem quer para α quer para β represente 0 %, então o campo electromagnético terá de se propagar no material com uma atenuação da sua amplitude (valor máximo) de, pelo menos, 2.2 db por cada comprimento de onda de distância de propagação, o que é uma atenuação extremamente elevada. Se considerássemos a atenuação em potência, então o resultado anterior vinha duplicado para 24.4 db. c) O resultado da alínea anterior mostra que os termos em segunda ordem quer para α quer para β podem ser ignorados em Engenharia Electrotécnica quando se estuda a propagação de campos em materiais. Assim, a metodologia que seguimos nas aulas de considerar apenas os termos em primeira ordem, está completamente justificada. Comentário: Termos em segunda ordem, em expansões, podem ou não introduzir erros importantes. No que respeita à constante de propagação tal perigo não existe, como vimos. A propósito, sugiro que releias a Introdução dos primeiros apontamentos que forneci aos alunos nesta Disciplina, em que refiro considerações que poderás achar interessantes depois do resultado anterior. No entanto, convém reparar que o que acontece para α e para β não pode ser generalizado a outras grandezas relevantes em Engenharia Electrotécnica e que cada situação terá de ser analisada nas suas especificidades. 2. Como esta condição está em contradição com δ «, logo se vê que não será facilmente aplicável... Electrotecnia Teórica - Exame #2 Página 7 de 7