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1 Prof. Fernando Massa Fernandes Sala 507 E fernando.fernandes@uerj.br Aula 7

2 Exercícios selecionados do capítulo. /.3 /.8 /.9 /./.6 /.0 /.3 /.9 Prova P. Capt. (exercícios selecionados e exemplos) Dia /07 (Quarta)

3 Cap. Teoria de linhas de transmissão Revisão

4 Cap. Teoria de linhas de transmissão Revisão Solução de onda Das equações do telegrafista com fonte senoidal e tomando a derivada em z: * Equações de onda! d V ( z) γ V ( z)=0 dz * Ondas de tensão e corrente => Solução de onda V ( z)=v +0 e γ z +V -0 e+ γ z d I ( z) γ I ( z)=0 dz I ( z)=i +0 e γ z + I -0 e +γ z Exemplo de modelo de circuito de linha de transmissão Apostila de eletrônica 5 Centro Paula souza

5 Cap. Teoria de linhas de transmissão Revisão Potência entregue na carga (z = 0) V ( z)=v +0 e γ z +V -0 e+ γ z I ( z)= + γ z - +γ z (V 0 e V 0 e ) Z0 constante de prop. complexa => P l = ℜ{ V (0) I *(0)} γ= ( R+i ω L).(G+i ω C)=α+i β Impedância característica da linha Z 0= R +i ω L R +i ω L = γ G+i ω C * Na posição da carga, z = 0. V +0 I + 0 = V -0 I 0 =Z 0

6 Cap. Teoria de linhas de transmissão Revisão. Análise dos campos em linhas de transmissão Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Geral μ * H. H ds ( H /m) I 0 S L= * C= ϵ E. E ds ( F /m) V o S R= RS I 0 H t. H *t dl ( Ω /m) C +C,, ω ϵ G= E. E * ds (S /m) V 0 S

7 Revisão.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Potência média entregue (no ponto z) + V 0 ( Γ ) P = ℜ [ V ( z). I * ( z) ]= Z0 Não depende de z! Potência média entregue máxima (Γ=0) Casamento de impedância ( ZL = Z0 ) Potência média entregue nula (Γ=) Z L

8 Revisão.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Impedância de entrada ZIN, na distância l = -z da carga Γ(0)

9 Revisão.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL i) Linha de transmissão terminada em curto circuito ii) Linha de transmissão terminada em circuito aberto

10 Revisão.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/), n =,,3... β. ŀ = π λ.( + n λ ) = π + n π tan ( β. ŀ ) = λ 4 Transformador quarto de onda Útil para o casamento de impedância quando sabemos λ e sabemos que ZL > Z0, mas não sabemos exatamente o valor de ZL. Linha com comprimento que transforma inversamente a impedância da carga ZL Para l = n.(λ/) tan ( β. ŀ ) = 0

11 Revisão.4 Carta de Smith z IN + Γ e j θ = = r L + jx L jθ Γ e * Correlação gráfica de três circulos:. Γ = Γr + j Γi = Γ.e j θ. Circulo de res. const. rl Raio = ( ) +r L 3. Circulo de reat. const. xl Raio = ( ) xl

12 Revisão.4 Carta de Smith Raio = ( ) +r L z IN jθ (+Γr )+ j Γi + Γ e = = = r L + jx L jθ ( Γr ) j Γi Γ e Raio = ( ) xl Γ = Γr + j Γi = Γ.e j θ

13 Revisão.4 Carta de Smith * Linha de comprimento l Γ IN = Γ( ŀ ) = Γ L. e ΓL = V -0 V +0 j β ŀ Z L Z 0 = = Γ L e j θ Z L+ Z 0 Γ IN = Γ L e j( θ j ŀ ) V Max + Γ SWR = = V Min Γ 80 o ( Δ ŀ = λ /4 = 0,5 λ ) 360 o ( Δ ŀ = λ / = 0,50 λ ) Um incremento Δl no comprimento da linha provoca uma rotação -Δθ (na carta de Smith) na direção do gerador. Inversamente, um decréscimo de Δl no comprimento da linha provoca uma rotação +Δθ (na carta de Smith) na direção da carga.

14 Revisão.4 Carta de Smith * Giro na direção do gerador. * Carta de Smith de admitância Giro a carta de o ( Δ ŀ = λ /4 = 0,5 λ ) Z in =Z 0 z in = = y L Igual a admitância normalizada zl zl

15 Revisão.4 Carta de Smith * Linha fendida Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento. Determinação experimental λ (β) Γ L = Γ L e j θ + Γ L ZL =. Z0 Γ L

16 Revisão.4 Carta de Smith * Linha fendida Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento. Posição dos Vmax e Vmin V max exp[i( θ β ŀ max )] = V min exp[i ( θ β ŀ min )] = i)a escala é posicionada arbitrariamente ao longo da linha e um curto circuito é conectado na extremidade; Da distância entre dois mínimos lmin e lmin determino λ (β) (Δlmin = λ/, período de oscilação) Essas distâncias servirão como pontos de referência

17 Revisão.4 Carta de Smith * Linha fendida Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento. Posição dos Vmax e Vmin V max exp[i( θ β ŀ max )] = V min exp[i ( θ β ŀ min )] = ii) Com a carga (L) conectada na extremidade; Da posição dos mínimos lminl, lminl (com a linha carregada) determino a fase θ de ΓL θ = π - β(lminl - lmin) Da razão Vmax / Vmin determino o módulo de ΓL

18 Revisão.4 Carta de Smith * Linha fendida Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento. Posição dos Vmax e Vmin V max exp[i( θ β ŀ max )] = V min exp[i ( θ β ŀ min )] = iii) Dos valores determinados para a fase θ e para o módulo de ΓL, finalmente obtemos ΓL e ZL. θ = π + β(lminl - lmin) Γ L = Γ L e jθ + Γ L ZL =. Z0 Γ L

19 Revisão.4 Carta de Smith Linha Fendida Exemplo.4 Livro Medida de impedância utilizando linha fendida. Uma linha fendida é utilizada para determinar a impedância de uma carga conectada a uma linha coaxial de 50 Ω. Passo ) Com um curto na posição da carga, a linha fendida é colocada numa posição arbitrária ao longo da linha. As posições dos mínimos de tensão foram determinadas na escala da linha fendida em z = 0, cm ;, cm ; 4, cm ) O curto foi removido e substituído pela carga de valor desconhecido. A razão SWR foi determinada como,5. As posições dos mínimos de tensão foram determinadas (de forma menos precisa) z = 0,7 cm ;,7 cm ; 4,7 cm * Encontre a impedância da carga.

20 .5 Transformador Quarto-de-onda * Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda. Com o acoplador ideal devemos obter Γin = 0! Γ in Z in Z 0 = Z in +Z 0 Assumindo impedância real na carga (RL) Z in = R L + j Z tan ( β ŀ ) Z + j R L tan ( β ŀ ). Z Quando l = λ/4 βl = π/ tan(βl ) Z in Γ in Z = RL Z in Z 0 = Z in +Z 0 Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha Para que = 0 Z in = Z 0 Z = Z0. RL

21 .5 Transformador Quarto-de-onda * Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda. Sempre que introduzir a fase βl = π/ + nπ (n =,,3, ) (Z0) Γ in = 0 O acoplador funcionara para múltiplos impares da frequência fundamental (f0 = vp / λ0): f = f0 f = 3.f0 f = 5.f0 f = 7.f0... Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha Z = Z0. RL

22 .5 Transformador Quarto-de-onda * O transformador quarto-de-onda assume que ZL é real (ZL = RL). Mas posso tornar qualquer valor ZL em real (RL) por meio da inclusão de um certo incremento no comprimento da linha de transmissão. Δl ZL Na carta de Smith, ZL = rl + ixl Giro Δθ = Δl na direção do gerador (sent. hor.) até que a componente complexa seja nula (Im(z) =0) ZL RL

23 .5 Transformador Quarto-de-onda * Exemplo em uma rede de microfita: Z > Z 0 ZL Ramzan, Mehrab & Topalli, Kagan. (05). International Journal of Antennas and Propagation /05/ Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha Z = Z0. RL

24 .6 Descasamento entre gerador e carga * Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador: Duas reflexões (Γ e Γl) Zg Impedância série do gerador solução geral da tensão na linha Da corrente na linha Iin V +0 =? Vg V in = Z g + Z in Z in V in = V ( l)

25 .6 Descasamento entre gerador e carga * Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador: Duas reflexões (Γ e Γl) Vg Impedância série do gerador Da corrente na linha Iin Vg V in = Z g + Z in Z in V in = V ( l) Substituindo Γl pela expressão em Zl e Z0 Substituindo Zin pela expressão em Zl e Z0 Obtemos Amplitude da onda progressiva na posição da carga.

26 .6 Descasamento entre gerador e carga * Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador: Duas reflexões (Γ e Γl) Vg Impedância série do gerador Sendo Na linha o coeficiente de reflexão olhando na direção do gerador.

27 .6 Descasamento entre gerador e carga * Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador: Potência transferida para a linha * P = ℜ(V in I in ) V in I in V in = Z in P = V in ℜ( ) Z in Z in = V ( l) =.V g Z in + Z g ** Como Zg é fixa (gerador), devemos encontrar o valor de Zin que maximiza a potencia transferida. Z in P = V g ℜ( ) Z in + Z g Z in

28 .6 Descasamento entre gerador e carga * Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador: Potência entregue na carga ** Como Zg é fixa (gerador), devemos encontrar o valor de Zin que maximiza a potencia transferida. Z in P = V g ℜ( ) Z in + Z g Z in Z in = R in + jx in Z g = R g + jx g R in P = V g ( R in + R g ) +( X in + X g )

29 .6 Descasamento entre gerador e carga * Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador: R in P = V g ( R in + R g ) +( X in + X g ) Casos especiais: Carga acoplada a linha (ZL = Z0) R in = Z 0 (Zin = Z0) X in = 0 Gerador acoplado a linha carregada (Zg = Zin) R in = R g X in = X g P = Z0 V g ( Z 0 + R g ) + X g Rg P = V g 4 ( R g + X g )

30 .6 Descasamento entre gerador e carga * Modelo geral (sem perdas) Casos frequentes, em que pode ocorrer reflexão no próprio gerador: R in P = V g ( R in + R g ) +( X in + X g ) Casos especiais: Acoplamento conjugado ( Zin = Zg* ) R in = R g X in = X g V g Potência máxima (ideal) P = 8 Rg Quanto menor o valor de Rg do gerador melhor será a eficiência

31 .7 Linha de transmissão com perdas * Quando o comprimento não é muito longo, frequentemente podemos desprezar as perdas em alta frequência: Comprimento incremental da linha: R, resistência em série por comprimento (Ω/m) L, Indutância em série por comprimento (H/m) G, condutância de derivação por comprimento (S/m) C, capacitância de derivação por comprimento (F/m)

32 .7 Linha de transmissão com perdas * Quando o comprimento não é muito longo, frequentemente podemos desprezar as perdas em alta frequência: Com perdas: β γ = α+β = ( R + j ω L)+(G+ j ω C) R+ j ω L Z0 = = γ γ = ( j ω L)( j ω C )(+ R+ j ω L G+ j ω C R G RG R G + ) )(+ ) = j ω LC j ( ω L ω C ω ² LC jωl jωc

33 .7 Linha de transmissão com perdas * Quando o comprimento não é muito longo, frequentemente podemos desprezar as perdas em alta frequência: Com perdas: R G RG γ = j ω LC j( + ) ω L ω C ω ² LC Em alta frequência, quando e Expandindo em série de Taylor em torno de j ω LC ( sem perdas) RG ~0 ω ² LC R G ( + )<< ω L ωc Podemos incluir as perdas como uma correção de primeira ordem: = α + jβ

34 .7 Linha de transmissão com perdas Com perdas (alta frequência): = α + jβ

35 .7 Linha de transmissão com perdas Exemplo: Determine a constante de atenuação de uma linha coaxial na aproximação de baixa perda.

36 .7 Linha de transmissão com perdas Exemplo: Determine a constante de atenuação de uma linha coaxial na aproximação de baixa perda.

37 .7 Linha de transmissão com perdas Exemplo: Determine a constante de atenuação de uma linha coaxial na aproximação de baixa perda. Impedância intrínseca do material Resistência de superfície do material

38 .7 Linha de transmissão com perdas Exemplo: Determine a constante de atenuação de uma linha coaxial na aproximação de baixa perda. * Compare com o valor do exercício.3.

39 .7 Linha sem distorções Distorção β (geral) não é linear com a frequência (ω) como em β = ω LC (sem perdas) Geral Velocidade de fase v f = ω /β β = a ω (linear em' ω ' ) v p (constante ) β, Não linear v p, varia com ω = α + iβ Linha sem distorção R G = L C Componentes do sinal com freq diferentes chegam em momentos diferentes no receptor (Distorção do sinal) β = ω LC

40 .7 Linha com perdas carregada Baixa perda Z 0 L C Na distância l da carga ZL,

41 .7 Potência entregue na linha (z = -l) P IN = * ℜ[V ( l) I ( l) ] γ = α+iβ Potência entregue na carga (ZL) Perda de potência na linha

42 .7 Método da perturbação para calcular α Técnica Padrão! Potência sendo transmitida no ponto z P ( z) = P 0 e α z P 0 (fluxo de potência na linha sem perdas) Perda de potência por comprimento. (W/m) Para o campo que não se modifica ao longo da linha

43 .7 Método da perturbação para calcular α Exemplo.7: Constante de atenuação de uma linha coax pelo método da perturbação. P0 = Campos TEM x H * ). d ℜ[( E S ] Fluxo de potência = Vetor de Poynting

44 .7 Método da perturbação para calcular α Exemplo.7: Constante de atenuação de uma linha coax pelo método da perturbação. Perda no condutor (Pc) Lei de Joule no metal (bom condutor) Rs Rs (W/m) Pc = J ds = H t ds J S = n x H d S = dl ρ d θ RS = ωμ σ

45 .7 Método da perturbação para calcular α Exemplo.7: Constante de atenuação de uma linha coax pelo método da perturbação. Perda no dielétrico (Pd) Do teorema de Poynting,, dv + ω (,, ) dv P d = σ V E E + μ H V (W/m)

46 .7 Método da perturbação para calcular α Exemplo.7: Constante de atenuação de uma linha coax pelo método da perturbação. P0 = V 0 Z0 R S V 0 P lc = + b 4 π Z0 a ( ) P ld,, π ωε = V 0 ln b/ a (m-)