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1 Prof. Fernando Massa Fernandes Sala 5017 E fernando.fernandes@uerj.br Aula 15

2 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão

3 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Solução de onda Das equações do telegrafista com fonte senoidal e tomando a derivada em z: * Equações de onda! d 2 V ( z) 2 γ V ( z)=0 2 dz * Ondas de tensão e corrente => Solução de onda V ( z)=v +0 e γ z +V -0 e+ γ z d 2 I ( z) 2 γ I ( z)=0 2 dz I ( z)=i +0 e γ z + I -0 e +γ z Exemplo de modelo de circuito de linha de transmissão Apostila de eletrônica 5 Centro Paula souza

4 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Potência entregue na carga (z = 0) V ( z)=v +0 e γ z +V -0 e+ γ z I ( z)= 1 + γ z - +γ z (V 0 e V 0 e ) Z0 constante de prop. complexa => 1 P l = ℜ{ V (0) I *(0)} 2 γ= ( R+i ω L).(G+i ω C)=α+i β Impedância característica da linha Z 0= R +i ω L R +i ω L = γ G+i ω C * Na posição da carga, z = 0. V +0 I + 0 = V -0 I 0 =Z 0

5 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão 2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Tensão entre os condutores (C1 e C2) Corrente sendo transportada V ( z)=v 0 e±i β z I ( z)=i 0 e±i β z Como o modelo de elementos de circuito esta relacionado aos campos? R: Conservação de energia e potência (teorema de Poynting).

6 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão 2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Geral μ * H. H ds ( H /m) 2 I 0 S L= * C= ϵ 2 E. E ds ( F /m) V o S R= RS 2 I 0 H t. H *t dl ( Ω /m) C 1 +C 2,, ω ϵ G= 2 E. E * ds (S /m) V 0 S

7 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão 2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão * A constante de propagação, a impedância característica, e a atenuação da maioria das linhas de transmissão são usualmente obtidas diretamente da solução na teoria dos campos. ** Em linhas de geometria simples é possível determinarmos os parâmetros de circuito equivalentes (L, C, R, G) a partir dos cálculos simples apresentados. *** Em linhas de geometria mais complexa, em geral, é necessária a utilização de softwares CAD que utilizam elementos finitos (FEM).

8 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão 2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão

9 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão 2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão Exercício Livro O cabo coaxial semirrígido RG-402U possui um condutor interno com diâmetro de 0,91 mm e um dielétrico com diâmetro externo de 3,02 mm (mesmo diâmetro do condutor externo). Ambos os condutores são de cobre, e o material dielétrico utilizado é o Teflon. Calcule os parâmetros R, L, G e C dessa linha em 1GHz, e utilize o resultado para encontrar a impedância característica e atenuação da linha em 1GHz. * Compare seus resultados com a especificação do fabricante. * comente sobre as discrepâncias.

10 Z 0 =50 Ω Z 0 =49,87 Ω C=98.1 pf /m C=96.5 pf /m α=39.37 db /100 m=0,3937 db / m α=0,0436 Np /m=0,38 db / m * Os valores obtidos no produto dependem da qualidade do processo de fabricação (Rugosidade da superfície do metal, homogeneidade do dielétrico, etc...) ** Qto mais a atenuação se aproxima do valor teórico mais caro é o cabo!!

11 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Potência média entregue (no ponto z) 2 + V ( 1 Γ 2 ) P = ℜ [ V ( z). I * ( z) ]= 2 2 Z0 Não depende de z! Potência média entregue máxima (Γ=0) Casamento de impedância ( ZL = Z0 ) Potência média entregue nula (Γ=1) Z L

12 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Potência média entregue (no ponto z) V * ( 1 Γ 2 ) P = ℜ [ V ( z). I ( z) ]= 2 2 Z0 Perda de retorno (RL) * Quantidade de potência refletida na carga. Quando (Γ=0) Linha lisa V ( z) = V +0 Não depende de z! 0 db Γ= 1 db Γ=0 A amplitude da tensão (da onda estacionária) na linha é constante

13 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Perda de retorno (RL) Quando (Γ=0) Linha lisa RL Exemplo: Casamento de impedância (Γ 0,02)70 MHz

14 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Onda estacionária (Γ 0) (Z L Z 0 ) Onda incidente + Onda refletida O módulo da tensão (amplitude) oscila ao longo da linha Na distância l da carga (z = - l ) O coef de reflexão pode ser escrito =>

15 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Onda estacionária Onda incidente + Onda refletida (Γ 0) (Z L Z 0 ) O módulo da tensão (amplitude) oscila ao longo da linha (z = - l ) Quando e e j ( Θ 2 β l) j ( Θ 2 β l) + 0 = 1 V MAX = V.(1 + Γ ) + = 1 V MIN = V 0.(1 Γ ) Γ Γ(l) Razão da onda estacionária

16 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Onda estacionária Onda incidente + Onda refletida (Γ 0) (Z L Z 0 ) Generalização do coef de reflexão Γ( z) = V -0. e j β z V +0. e j β z V -0 e j β l ( z= l) Γ(l) = + + j β z = Γ(0). e 2 j β l V0 e Casamento de impedância em função da distância do gerador

17 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Impedância de entrada ZIN, na distância l = -z da carga Γ(0)

18 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL i) Linha de transmissão terminada em curto circuito ii) Linha de transmissão terminada em circuito aberto

19 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/2), n =1,2,3... β. ŀ = 2π λ.( + n λ ) = π + n π tan ( β. ŀ ) = λ 4 2 2

20 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/2), n =1,2,3... β. ŀ = 2π λ.( + n λ ) = π + n π tan ( β. ŀ ) = λ Transformador quarto de onda Útil para o casamento de impedância quando sabemos λ e sabemos que ZL > Z0, mas não sabemos exatamente o valor de ZL. Linha com comprimento que transforma inversamente a impedância da carga ZL Para l = n.(λ/2) tan ( β. ŀ ) = 0

21 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL iv) Junção entre linhas de transmissão Linha Z0 alimenta a Z1 linha Na região z < 0 Na região z > 0 Em z = 0 (assumindo que não existem ondas refletidas)

22 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL iv) Junção entre linhas de transmissão Linha Z0 alimenta a Z1 linha Perda de inserção

23 2.4 Carta de Smith * Utilizada na solução gráfica de problemas de impedância em linhas de transmissão * 1939 Laboratórios Bell (Philip Smith) Durante o desenvolvimento de tecnologia radar. Estabelece graficamente a correlação entre a impedância normalizada da carga (zl) e o coef de reflexão (Γ). z IN Em l = 0 2 j β ŀ Z IN 1+ Γ e = = 2 j β ŀ Z0 1 Γ e Z IN = Z L z IN Z L Z 0 z L 1 ΓL = = Z L+ Z 0 z L +1 jθ (1+Γr )+ j Γi 1+ Γ e = = = r L + jx L jθ (1 Γ ) j Γ 1 Γ e r i * Correlação gráfica de três circulos: 1. Γ = Γr + j Γi = Γ.e j θ raio 2. Circulo de resistência constante rl 3. Circulo de reatância constante xl Raio = ( 1 ) 1+r L 1 Raio = ( ) xl

24 2.4 Carta de Smith z IN 1+ Γ e j θ = = r L + jx L jθ 1 Γ e * Correlação gráfica de três circulos: 1. Γ = Γr + j Γi = Γ.e j θ 2. Circulo de res. const. rl Raio = ( 1 ) 1+r L 3. Circulo de reat. const. xl Raio = ( 1 ) xl

25 2.4 Carta de Smith 1 Raio = ( ) 1+r L z IN jθ (1+Γr )+ j Γi 1+ Γ e = = = r L + jx L jθ (1 Γr ) j Γi 1 Γ e 1 Raio = ( ) xl Γ = Γr + j Γi = Γ.e j θ

26 2.4 Carta de Smith * Linha de comprimento l Γ IN = Γ( ŀ ) = Γ L. e ΓL = V -0 V +0 2 j β ŀ Z L Z 0 = = Γ L e j θ Z L+ Z 0 Γ IN = Γ L e j( θ 2 j ŀ ) V Max 1+ Γ SWR = = V Min 1 Γ 180 o ( Δ ŀ = λ /4 = 0,25 λ ) 360 o ( Δ ŀ = λ / 2 = 0,50 λ ) Um incremento Δl no comprimento da linha provoca uma rotação -Δθ (na carta de Smith) na direção do gerador. Inversamente, um decréscimo de Δl no comprimento da linha provoca uma rotação +Δθ (na carta de Smith) na direção da carga.

27 2.4 Carta de Smith Exemplo 2.2 Operações básicas na carta de Smith Uma linha de transmissão de comprimento l = 0.3λ e impedância 100Ω é terminada em um circuito com impedância ZL = 40 + j70 Ω. i) ΓL =? ii) ΓIN =? iii) ZIN =? iv) SWR =? v) RL =?

28 2.4 Carta de Smith Exemplo 2.2 Operações básicas na carta de Smith Uma linha de transmissão de comprimento l = 0.3λ e impedância 100Ω é terminada em um circuito com impedância ZL = 40 + j70 Ω. i) ΓL =? ii) ΓIN =? iii) ZIN =? iv) SWR =? v) RL =? * Giro na direção do gerador.

29 2.4 Carta de Smith * Giro na direção do gerador.

30 2.4 Carta de Smith * Linha fendida Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento. Determinação experimental λ (β) Γ L = Γ L e j θ 1+ Γ L ZL =. Z0 1 Γ L

31 2.4 Carta de Smith * Linha fendida Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento. Posição dos Vmax e Vmin V max exp[i( θ 2 β ŀ max )] = 1 V min exp[i ( θ 2 β ŀ min )] = 1 i)a escala é posicionada arbitrariamente ao longo da linha e um curto circuito é conectado na extremidade; Da distância entre dois mínimos lmin1 e lmin2 determino λ (β) (Δlmin = λ/2, período de oscilação) Essas distâncias servirão como ponto de referência

32 2.4 Carta de Smith * Linha fendida Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento. Posição dos Vmax e Vmin V max exp[i( θ 2 β ŀ max )] = 1 V min exp[i ( θ 2 β ŀ min )] = 1 ii) Com a carga (L) conectada na extremidade; Da posição dos mínimos lminl1 e lminl2 (com a linha carregada) determino a fase θ de ΓL θ = π + 2β(lminL1 - lmin1) Da razão Vmax / Vmin determino o módulo de ΓL

33 2.4 Carta de Smith * Linha fendida Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento. Posição dos Vmax e Vmin V max exp[i( θ 2 β ŀ max )] = 1 V min exp[i ( θ 2 β ŀ min )] = 1 iii) Dos valores determinados para a fase θ e para o módulo de ΓL, finalmente obtemos ΓL e ZL. θ = π + 2β(lminL1 - lmin1) Γ L = Γ L e jθ 1+ Γ L ZL =. Z0 1 Γ L

34 2.5 Transformador Quarto-de-onda * Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda. Com o acoplador ideal devemos obter Γin = 0! Γ in Z in Z 0 = Z in +Z 0 Assumindo impedância real na carga (RL) Z in = R L + j Z 1 tan ( β ŀ ) Z 1 + j R L tan ( β ŀ ). Z1 Quando l = λ/4 βl = π/2 tan(βl ) Z in Γ in Z 12 = RL Z in Z 0 = Z in +Z 0 Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha Para que = 0 Z in = Z 0 Z1 = Z0. RL

35 2.5 Transformador Quarto-de-onda * Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda. Sempre que introduzir a fase βl = π/2 + nπ (n = 1,2,3,...) Γ in = 0 O acoplador funcionara para múltiplos impares da frequência fundamental (f0 = vp / λ0): f = f0 f = 3.f0 f = 5.f0 f = 7.f0... Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha Z1 = Z0. RL

36 2.5 Transformador Quarto-de-onda * O transformador quarto-de-onda assume que ZL é real (ZL = RL). Mas posso tornar qualquer valor ZL em real por meio da inclusão de um certo incremento no comprimento da linha de transmissão. Δl ZL Na carta de Smith, ZL = rl + ixl Giro Δθ = Δl na direção do gerador até que a componente complexa seja nula (Im(z) =0) ZL RL

37 2.5 Transformador Quarto-de-onda * Exemplo em uma rede de microfita: Z1 > Z 0 ZL Ramzan, Mehrab & Topalli, Kagan. (2015). International Journal of Antennas and Propagation /2015/ Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha Z1 = Z0. RL