Capítulo IV: As Antenas Filamentares - o Dipolo Elétrico

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1 4 Capítulo V: As Antenas Filamentares - o Dipolo Elétrico As antenas filamentares estão entre as mais antigas, simples baratas e, em muitos casos, as mais versáteis em diversas aplicações. A geometria de uma antena filamentar do tipo dipolo alimentado pelo centro é mostrada abaixo: l Para obter os campos radiados pelo dipolo é preciso conhecer sua distribuição de corrente, que pode ser determinada resolvendo as equações de Maxwell sujeitas às condições de contorno impostas pela antena. sto constitui um problema complexo que geralmente é resolvido usando métodos numéricos. Para simplificar a análise supõe-se que a distribuição de corrente é senoidal. Medidas de corrente indicam que esta é uma boa aproximação para antenas finas, ou seja, quando seu diâmetro (d) é pequeno comparado ao comprimento de onda (p. ex., d < λ/). Distribuição de corrente (antenas finas: d < λ/): () z = l sen β z l sen β + z para para z l / l / z π β = (4.1) λ Esta distribuição é idêntica à de uma onda estacionária numa linha de transmissão terminada num circuito aberto. Por esta razão este tipo de antena também é conhecido como antena de onda estacionária. A figura abaixo mostra a distribuição de correntes numa linha de transmissão terminada num circuito aberto e a distribuição num dipolo de comprimento genérico l.

2 43 As figuras abaixo ilustram a distribuição de corrente em dipolos de diversos comprimentos: l << λ l = λ/ λ/ < l < λ λ < l < 3λ/ Cálculo dos campos radiados (na região de campos distantes): Para calcular os campos radiados por uma antena filamentar considera-se que ela é formada por uma sucessão de dipolos infinitesimais (elementos de corrente). O campo total é a soma (integral) dos campos devidos a cada elemento infinitesimal. A configuração geométrica para o cálculo dos campos distantes é mostrada na figura abaixo:

3 44 O campo radiado por um elemento infinitesimal de corrente é dado por: de θ ( z) jβr = η dz sen θ je. (4.) λr Na região de campos distantes, onde R // r e θ θ, são feitas as seguintes aproximações: Termos de amplitude: Termos de fase: R r R r - z cosθ. Desta forma: ( z) jβr jβz cos θ de θ = η dz sen θ je e. (4.3) λr O campo total é dado por E θ = de θ, ou seja: E E θ θ = η sen θ λr jβz cos () z e dz l / jβr θ je l / sen θ jβr l jβz cos θ = η je senβ + z e dz + l / λr l / l senβ z e jβz cos θ dz. Calculando as integrais e agrupando os termos obtém-se finalmente:

4 45 E θ = η βl βl cos cosθ cos πr sen θ jβr je. (4.4a) Na região de campos distantes H φ = E θ /η. Portanto: H φ βl βl cos cosθ cos = je πr sen θ jβr. (4.4b) As equações (4.4a) e (4.4b) permitem calcular os campos distantes E θ e H φ radiados por uma antena linear fina, de comprimento l, simétrica e alimentada pelo centro. A forma do diagrama de campo é dada pelo fator entre colchetes. Eis alguns exemplos de diagramas de campo para antenas com diferentes comprimentos: dipolo de meia onda dipolo de onda completa dipolo com l = 1,5λ Densidade de potência e intensidade de radiação: 1 1 * O valor médio da densidade de potência é dado por: med = E θ () t H φ () t dt = Re{ E θ H φ } Usando (4.4a) e (4.4b) obtém-se: P. T T A intensidade de radiação é dada por: βl βl cos cos cos θ η P med =. [W/m ] (4.5) 8π r sen θ

5 46 U ( θ, φ) = r βl βl cos cos cos θ η P med =. [W/sr] (4.6) 8π sen θ Para obter a potência total radiada pela antena pode-se integrar (4.5) através da superfície de uma esfera de raio r na região de campos distantes: P T = S r P med r ds= π π φ= θ= P med r η sen θdθdφ = 4π π βl βl cos cosθ cos sen θ dθ. (4.7) A integral anterior pode ser avaliada tanto analítica quanto numericamente, o que permite calcular a potência total radiada pela antena. Resistência de radiação: Como R r = PT /, a resistência de radiação pode ser obtida diretamente a partir do cálculo da integral em (4.7). Diretividade: Sabendo-se que D = U max /U med e U med = P T /4π, pode-se calcular a diretividade também a partir da integração em (4.7). A figura abaixo mostra a diretividade e a resistência de radiação em função do comprimento da antena (normalizado em relação ao comprimento de onda).

6 47 Por exemplo, para o dipolo de meia onda a diretividade é de 1,64 (ou,15 dbi) e a resistência de radiação é de 73 Ω. Resistência de entrada: A impedância de entrada é definida como a razão entre a tensão e a corrente nos terminais de entrada da antena. A parte real desta impedância é a resistência de entrada a qual, para uma antena sem perdas, corresponde à sua resistência de radiação. Esta é calculada dividindo o dobro da potência total radiada pela corrente máxima na antena ao quadrado. Entretanto, dependendo do comprimento da antena, o máximo de corrente pode não corresponder ao ponto de alimentação. sto acontece, por exemplo, para l = 3λ/4, λ, λ, etc. A figura abaixo ilustra este fato. Para referir a resistência de radiação aos terminais de entrada, deve-se igualar à potência nos terminais de entrada à potência no máximo de corrente: 1 R in in 1 = R r, (4.8) onde R r é a resistência de radiação referida ao máximo de corrente, R in é a resistência de radiação referida aos terminais de entrada, é a corrente máxima e in é a corrente nos terminais de entrada. Pode-se mostrar que, para l λ/, estas correntes estão relacionadas por: De (4.8) e (4.9) obtém-se finalmente: in = βl sen. (4.9) R in = R r. (para l λ/) (4.1) βl sen

7 48 A aplicação de (4.1) para um dipolo de onda completa (l = λ), por exemplo, dá uma resistência de entrada infinita (R in = ). sto implica que a antena seria vista como um circuito aberto pelos circuitos de alimentação a ela conectados e não haveria assim transferência de energia destes circuitos para antena, tornando a radiação impossível. Na realidade a resistência de entrada desta antena é elevada mas não infinita uma vez que a distribuição senoidal de corrente é apenas uma aproximação. Na prática, a corrente nos terminais de alimentação nunca será nula, de forma que a radiação é possível. O Dipolo de Meia Onda Uma das antenas mais usadas é o dipolo de meia onda, que consiste em dois segmentos metálicos alinhados, com comprimento total igual a λ/. Distribuição de corrente: a partir de (4.1), com l = λ/ e lembrando que β = π/λ, tem-se: π = β. (4.11) () z sen ± βz = cos z Campos distantes: A partir de (4.4a) e (4.4b) obtém-se: E θ π cos cosθ je πr sen θ jβr = η e H π cos cosθ je πr sen θ jβr φ =. (4.1)

8 49 Diagrama de radiação: Resistência de radiação: a partir de (4.7), a potência total radiada pelo dipolo de meia onda é dada por: π cos cosθ η π P = T dθ. (4.13) 4π sen θ Pode-se mostrar que o valor da integral entre colchetes é igual a 1,18. Desta forma: 1,18η 1 P T = = R r, ou seja, R r 73Ω. (4.14) 4π Diretividade: a diretividade de uma antena é dada por De (4.6), com l = λ/ tem-se D U max max = = 4π. U med U P T π cos cosθ η U( θ, φ) = 8π sen θ U max η =. (4.15) 8π De (4.14) e (4.15) tem-se, portanto: U max η 4π D = 4π = 4π D = 1,64 ou,15dbi. (4.16) π P T 8 1,18η Abertura efetiva: A e λ = D 4π A e =,131λ =, 5 l,361 λ,361 λ

9 5 mpedância de entrada: para um dipolo de meia onda sem perdas, a parte real da impedância de entrada é idêntica à sua resistência de radiação (uma vez que o máximo de corrente coincide com seus terminais de alimentação). Para calcular a parte reativa da impedância de entrada devese integrar a densidade de potência radiada na região de campos próximos (numa superfície fechada envolvendo a antena e muito próxima a ela). Para o dipolo de meia onda este cálculo resulta numa parte reativa de 4,5 Ω. Assim: Z in = 73+ j4, 5 Ω (4.17) De forma a casar o dipolo com uma linha de transmissão (p. ex., com Z = 5 Ω), em primeiro lugar deve-se fazer sua impedância de entrada puramente resistiva. Para isto pode-se usar um capacitor de modo a eliminar a parte indutiva de sua impedância na freqüência de operação. Entretanto, na prática é mais comum encurtar ligeiramente o comprimento do dipolo de forma a torná-lo ressonante, isto é, com impedância de entrada puramente resistiva. Por exemplo, um dipolo fino, com l,49λ, tem impedância de entrada puramente real (Z in 7 Ω). Tabela comparativa: Diretividade Diretividade [dbi] HPBW A e R r [Ω] Antena isotrópica ,8λ π l / λ Dipolo infinitesimal 1,5 1,76 9,1λ ( ) Dipolo λ/ 1,64,15 78,13λ 73 A Antena Cilíndrica (dipolos espessos) Até aqui foram consideradas as antenas finas (filamentares), cujos diâmetros são desprezíveis comparados ao comprimento de onda. Neste caso, a distribuição de corrente é senoidal. Para uma antena espessa, entretanto, o diâmetro não é desprezível (por exemplo, d > λ/) e a distribuição senoidal de corrente não é exata. Para obter a distribuição exata de corrente devem-se resolver as equações de Maxwell sujeitas às condições de contorno impostas. Pode-se mostrar que o diâmetro (ou raio) finito tem um efeito maior sobre a impedância de entrada da antena, com pouca influência sobre seu diagrama de radiação.

10 51 nfluência do raio finito sobre a distribuição de corrente: Como ilustração, a figura abaixo mostra a distribuição de corrente num dipolo de onda completa (l = λ) cujo raio representa um centésimo do comprimento de onda (a =,1λ). A curva tracejada corresponde à distribuição senoidal e a curva contínua foi obtida através da resolução do problema usando uma técnica numérica (método dos momentos). Observa-se uma grande discrepância entre as duas distribuições no ponto de alimentação da antena. A distribuição senoidal prevê um zero de corrente neste ponto, o que implicaria numa impedância de entrada infinita, o que não é correto. A distribuição obtida com o método dos momentos aproxima-se bem mais da distribuição real. nfluência do raio finito sobre o diagrama de radiação: A figura abaixo mostra os diagramas de radiação em função da relação de comprimento total para o diâmetro (l/a) para diversas antenas cilíndricas de diferentes comprimentos. l a = l a = 45 l a = 5 l a = 8,7

11 5 Observa-se que o efeito principal do aumento do raio é o preenchimento de alguns dos zeros do diagrama e o cancelamento de alguns dos lobos menores (particularmente para l = 1,5λ). nfluência do raio finito sobre a impedância de entrada: As figuras abaixo mostram a variação da resistência e da reatância de entrada de um dipolo espesso em função de seu comprimento elétrico (l/λ) para diversos valores da relação entre seu comprimento e seu diâmetro (l/a). l/λ l/λ Pode-se observar que a antena de meia onda será ressonante (X in = ) para comprimentos ligeiramente inferiores a λ/, os quais diminuem com o aumento da espessura da antena. Neste caso, a espessura tem pouca influência sobre o valor da resistência de entrada. Por outro lado, para o dipolo de onda completa (l = λ), tem-se uma variação muito grande da resistência de entrada com a espessura da antena. Observa-se também que antenas muito curtas (l << λ) têm reatância de entrada fortemente capacitiva. A figura abaixo permite ver com mais clareza a variação da impedância de entrada de uma antena fina em função de seu comprimento (l/λ) e de sua espessura ( a / λ ).

12 53 a / λ = Uma representação alternativa consiste em mostrar a resistência e a reatância de entrada em diagramas espirais no plano complexo como função da espessura da antena. Na figura a seguir, os eixos horizontal e vertical correspondem, respectivamente, à resistência e à reatância de entrada da antena. A espiral em linha contínua representa a variação de impedância de entrada para uma antena fina (l/a = 4) e a espiral em linha tracejada para um dipolo espesso ((l/a = 1). Em ambos os casos, o semicomprimento do dipolo é variável sobre a espiral, desde l/ =,1λ até l/ = 1,1λ. Obviamente, para uma antena de comprimento fixo, esta variação pode representar o comportamento de sua impedância de entrada com relação à freqüência.

13 54 Observa-se que as variações de impedância de entrada com a freqüência são bem menores para a antena espessa do que para a antena fina. sto mostra que se pode aumentar a largura de faixa de operação de um dipolo simplesmente aumentando seu diâmetro. mpedância mútua entre antenas lineares Sejam duas antenas próximas, conforme a figura abaixo: antena 1 antena 1 V 1 + _ + _V

14 55 A presença de uma antena altera a impedância de entrada da outra e vice-versa. O sistema pode ser representado por uma rede de quatro terminais (quadripolo) descrita pelas seguintes relações tensão-corrente: V V 1 = Z = Z Z 1 + Z, (4.18) onde Z 11 é a impedância própria da antena 1, Z é a impedância própria da antena e Z 1 = Z 1 é a impedância mútua entre as antenas. Na presença da antena, a impedância de entrada da antena 1 (Z in 1) é dada por: V 1 Z = = + in 1 Z11 Z1. (4.19) 1 1 Para casar a antena 1 com seu circuito de alimentação, Z in 1 deve estar casada com a impedância da linha. sto mostra que o casamento deve levar em conta não somente a impedância da antena isolada no espaço mas também seu acoplamento com antenas próximas. As figuras abaixo mostram as curvas de resistência mútua (R 1 ) e reatância mútua (X 1 ) de dois dipolos de meia onda em diferentes configurações como função da distância entre eles. dipolos lado a lado dipolos colineares

15 56 Verifica-se que a configuração lado a lado apresenta efeitos mútuos mais intensos já que as antenas estão posicionadas na direção de máxima radiação. Como esperado, observa-se que os valores de impedâncias mútuas diminuem com o aumento da separação entre as antenas para ambas as configurações. Exercício: Dois dipolos de meia onda idênticos estão colocados lado a lado e são alimentados com correntes de mesmo valor. Se a separação entre eles é de,35λ, calcule a impedância de entrada de cada um deles. Solução: De (4.19), com correntes iguais, tem-se que Z in 1 = Z 11 + Z 1. Da figura precedente (dipolos lado a lado) com d =,35λ obtém-se: Z 1 = 5 - j38 Ω. Como Z 11 = 73 + j4,5 Ω, vem: Z in 1 = 98 + j4, 5 Ω. (dem para Z in ) Antenas lineares em presença de planos condutores: o método das imagens Até aqui se considerou a radiação de antenas no espaço livre ilimitado. Na prática, entretanto, as antenas estão geralmente colocadas sobre ou a pouca distância da terra ou de alguma outra superfície refletora. A presença destas superfícies pode alterar significativamente as propriedades de radiação da antena assim como sua impedância de entrada. Antena radiando em presença da terra: A figura abaixo mostra uma antena colocada a uma distância h acima da terra. Para simplificar a análise, considera-se a terra como um plano condutor perfeito.

16 57 No ponto P 1 chegam duas ondas: uma vindo diretamente da antena (onda direta) e outra que chega após sofrer uma reflexão no ponto R 1 (onda refletida). A onda refletida pode ser vista como uma onda emitida por uma fonte virtual colocada a uma distância h abaixo do plano de terra (fonte imagem). Para um ponto P, o ponto de reflexão é R mas a fonte virtual é a mesma. sto é verdadeiro para todos os pontos acima do plano condutor. Desta forma, a análise de uma antena próxima a um plano condutor pode ser feita substituindo o plano por fontes virtuais que representam as reflexões neste plano. Acima do plano condutor, os campos gerados pelo sistema equivalente são idênticos aos do sistema real. Abaixo do plano condutor, os campos são nulos. A figura a seguir ilustra o método das imagens. A direção das setas indica o sentido da corrente na antena real e na antena imagem. Como ilustração dos efeitos da terra na radiação de uma antena, a figura abaixo mostra os diagramas de radiação (plano vertical) de um dipolo de meia onda colocado verticalmente a diversas distâncias h acima da terra (considerada perfeitamente condutora). Os efeitos sobre a impedância do dipolo são mostrados na figura abaixo.

17 58 O monopolo de quarto de onda Consiste num fio metálico retilíneo, com comprimento igual a λ/4, colocado sobre um plano condutor infinito (plano de terra). O campo produzido na região acima do plano de terra pelo monopolo e por sua imagem é o mesmo que seria produzido por um dipolo de meia onda sem a presença do plano de terra. Diagrama de radiação: acima do plano de terra, é idêntico ao do dipolo de meia onda. π cos cosθ η U( θ, φ) = ( θ 9 ) 8π sen θ Resistência de radiação: como o monopolo de quarto de onda só radia no hemisfério superior, a potência total radiada corresponde à metade da potência radiada pelo dipolo de meia onda alimentado com a mesma corrente. Desta forma, sua resistência de radiação será à metade da do dipolo.,69η 1 P T = = R r, ou seja, R r 36, 5 Ω. (4.) 4π Diretividade : a partir de (4.16) e (4.), tem-se que a diretividade do monopolo é o dobro da do dipolo: U max η 4π D = 4π = 4π D = 3,8 ou 5,16 db. (4.1) π P T 8,69η

18 59 Abertura efetiva: A e λ = D 4π A e =,61λ = 4, 176 l,511 λ,511 λ mpedância de entrada: assim como com a resistência de radiação, a impedância de entrada do monopolo é a metade da do dipolo. Z in 73 + j4,5 Ω = Z in = 36,5 + j1, 5 Ω. (4.) Antenas do tipo monopolo têm larga aplicação prática, por exemplo, em radiodifusão, telefonia móvel, radioamadorismo, etc. Na transmissão de rádio em ondas médias (de 3 khz a 3 MHz), o monopolo consiste numa torre alta colocada diretamente sobre a terra. Neste caso, para melhor simular um plano metálico, geralmente a antena é instalada em regiões de solo úmido, de baixa resistividade. Além disso, usa-se uma malha de terra feita com fios de cobre dispostos radialmente a partir da base da antena (tipicamente 1 radiais de comprimento em torno de λ/4). Para monopolos instalados num veículo, a própria estrutura metálica deste atua como plano de terra. Para obter um diagrama onidirecional, pode-se instalar a antena no teto do veículo. Caso se deseje um diagrama direcional, é possível instalá-la nas laterais do veículo ou nos pára-choques. A alimentação do monopolo pode ser feita através de um cabo coaxial tendo seu condutor externo conectado ao plano de massa e o condutor interno conectado ao fio metálico. Em algumas aplicações, as configurações mostradas abaixo podem ser utilizadas. O plano de terra circular tem diâmetro de cerca de meio comprimento de onda. Na figura do centro, o plano circular foi substituído por quatro condutores radiais. A inclinação destes condutores permite alterar os níveis de impedância e o ângulo de cobertura dos diagramas verticais.