Resolução gráfica de problemas - 1 Carta dos coeficientes de reflexão

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1 Resolução gráfica de problemas - 1 Carta dos coeficientes de reflexão Os cálculos em linhas de transmissão ou em guias de onda utilizam as fórmulas que foram dadas anteriormente, são portanto de difícil resolução. Existem métodos gráficos que fornecem um meio rápido e eficiente para a realização destes cálculos. Na figura o número complexo Z está representado por um ponto no plano complexo Im X Z r f R Re Coordenadas de um número complexo O número complexo Z R + jx pode ser expresso em coordenadas polares por: Z jφ Z e onde Z R X e φ arctg X R O número complexo que desejamos representar é o coeficiente de reflexão de tensão: ρ ρ e jφ e o plano cujos pontos representam coeficientes de reflexão é denominado plano dos coeficientes de reflexão.

2 Resolução gráfica de problemas - 2 Carta dos coeficientes de reflexão Nas linhas terminadas com cargas passivas o módulo do coeficiente de reflexão é sempre menor ou igual a 1. Consequentemente, vamos só dedicar a nossa atenção para a região do plano que é limitada por um círculo de raio 1 e centro na origem. A carta dos coeficientes de reflexão mostrada na figura, inclui una escala radial de ρ e uma periférica graduada em graus o que permite uma rápida localização de r. 120 o λ/8 90 o 60 o 150 o 30 o λ/4 ±180 o ρ 0,5 60 ο 0 o 0, λ/2 Carga Gerador -150 o -30 o -120 o -90 o -60 o 3λ/8 0 0,5 1 ρ Carta dos Coeficientes de Reflexão

3 Resolução gráfica de problemas - 3 Carta dos coeficientes de reflexão Numa linha de transmissão sem perdas a amplitude do coeficiente de reflexão não se altera ao longo da linha, mas o seu argumento varia com a posição na linha a um ritmo duas vezes mais rápido que a fase de qualquer das ondas progressivas, incidente e reflectida, de acordo com a expressão: A variação θ ( d ) φ 2βd ρ jφ j 2 βd jθ ( d ) ρ e. e ρ e é positiva para um deslocamento em direcção à carga e negativa para um deslocamento em direcção ao gerador. Um deslocamento de meio comprimento de onda (l/2) ao longo da linha de transmissão faz com que o argumento do coeficiente de reflexão varie 360 o. A escala periférica da carta dos coeficientes de reflexão pode ser também graduada em comprimentos de onda. Exemplo: o Uma linha sem perdas é alimentada a 600 MHz. O o j 60 ρ b 0,5e coeficiente de reflexão em b é: ( ) a) Determinar o coeficiente de reflexão nos pontos a e c situados a 10 cm de b. b) Indicar a posição dos mínimos da envolvente da onda estacionária mais próximos de b.

4 Resolução gráfica de problemas - 4 Carta dos coeficientes de reflexão a b c ρ(a) ρ(b) ρ(c) gerador carga ρ a j 2 βd a) ( ) ( ) ρ 10 cm 10 cm ρ b e deslocamento em direcção ao gerador j 2 βd ( c) ρ( b) e deslocamento em direcção à carga 8 c 3 10 λ 0,5m 50cm d 0, 2λ 6 f conclui-se que: 2π 2 βd 2 0,2λ 0,8π λ o o o o j ( ) j ( ) ρ ( a) 0,5e e ρ ( c) 0,5e b) Os mínimos de tensão ocorrem quando as ondas incidente e o reflectida estão em oposição de fase, isto é quando θ ( d ) ± 180. Recorrendo à carta dos coeficientes de reflexão, vê-se que o mínimo mais próximo ocorre a uma distância (medida na escala circular periférica graduada em comprimentos de onda) medida na direcção da carga dada por: d 0,167λ 8,35 cm min 1 Ocorre também um outro mínimo a: d 0,333λ 16,65 cm min 2 na direcção do gerador. Como era esperado d + d λ, min 1 min 2 2 todos os restantes mínimos da envolvente da onda estacionária encontram-se separados por múltiplos de λ. 2

5 Resolução gráfica de problemas - 5 Carta dos coeficientes de reflexão Exemplo de aplicação da carta dos coeficientes de reflexão

6 Resolução gráfica de problemas - 6 Rede de Impedâncias A impedância Z e o coeficiente de reflexão r estão relacionados pela expressão: Z Z 0 1+ ρ 1 ρ definindo obtemos: Z z como sendo a impedância normalizada Z 0 z r + jx e considerando: ρ ρ r + jρ i obtemos: r jx 1 ρ ρ r r + jρ jρ i i Igualando as partes reais e imaginárias dos dois membros obtemos: r 1 δ ( 1 ρ ) + ρ r r δ i 2 i r 2δ 2 2 ( 1 ρ ) + ρ r i i

7 Resolução gráfica de problemas - 7 Rede de Impedâncias Estas duas equações podem ser escritas na forma: r 2 2 ρ + ρ r i (*) 1 ( r 1) 2 r x ( 1) + r ρ i 2 ρ (**) A equação * representa uma família de circunferências no plano dos coeficientes de reflexão ρ ρ r + jρ com centro nos pontos r r + 1, 0 x e raios 1. r + 1 Cada uma das circunferências desta família é o lugar geométrico de todas as impedâncias normalizadas com o mesmo valor de resistência normalizada. Todas as circunferências de r constante passam pelo ponto (1,0). i r0 r0,2 r0,5 r1 r3 Resistências normalizadas no plano dos coeficientes de reflexão

8 Resolução gráfica de problemas - 8 Rede de Impedâncias A equação ** representa uma família de circunferências com centro no ponto + j e raio, sendo cada x x circunferência o lugar geométrico de todas as impedâncias normalizadas com o mesmo valor de reactância normalizada. A valores positivos de x, reactâncias indutivas, correspondem circunferências localizadas acima do eixo real e a valores negativos de x, reactâncias capacitivas, correspondem circunferências localizadas abaixo do eixo real. Como os centros das circunferências de x constante estão a uma distância do eixo real igual ao raio, todas elas passam pelo ponto (1,0). x0,5 x1 x2 x0 x-0,5 x-1 x-2 Reactâncias normalizadas no plano dos coeficientes de reflexão

9 Resolução gráfica de problemas - 9 Rede de Impedâncias Na figura estão representadas circunferências, no plano dos coeficientes de reflexão, para vários valores de r e de x. Rede de impedâncias

10 Resolução gráfica de problemas - 10 Na carta de Smith estão desenhadas circunferências de r constante e de x constante em número suficiente para permitir uma precisão razoável na leitura de impedâncias. A carta tem uma escala periférica graduada em graus e uma outra graduada em comprimentos de onda na direcção da carga e na direcção do gerador. A circunferência de raio unitário é, simultaneamente, o lugar geométrico das impedâncias normalizadas comparte real nula (r0) e o lugar geométrico dos coeficientes de reflexão de módulo igual à unidade. Atendendo a que o módulo do coeficiente de reflexão é unitário para z0 (curto-circuito), z (circuito-aberto) e para z jx (reactâncias puras), a circunferência de raio unitário está graduada em reactância normalizada. Para zr (x0) a circunferência de x constante resulta numa recta (raio infinito), o eixo real, que está graduado com uma escala de resistência normalizada. A natureza da impedância nas diferentes regiões da Carta de Smith pode ser observada na figura. ±180 o Z <1 indutiva +90 o Z >1 indutiva 0 o Z <1 capacitiva Z >1 capacitiva -90 o

11 Resolução gráfica de problemas - 11

12 Resolução gráfica de problemas - 12 Exemplo de aplicação 1 o Determinar o coeficiente de reflexão provocado por uma carga Z L 25+j35 W numa linha de transmissão com impedância característica Z 0 50 W. o Resolução: A impedância normalizada é: z Z Z 0 0,5 L + L j0,7 representada na carta de Smith pelo ponto A (intersecção da circunferência de r0,5 e x0,7), a que corresponde o coeficiente de reflexão: ρ 0,52e o j100,5

13 Resolução gráfica de problemas - 13

14 Resolução gráfica de problemas - 14 Coeficiente de onda estacionária o Para x0 a impedância é puramente resistiva e verifica-se: r R 1+ ρ VSWR R > Z 0 Z 1 ρ 1 VSWR R > Z 0 0 o A impedância normalizada num ponto de máximo de tensão é igual ao coeficiente de onda estacionária. o Consequentemente, a parte da escala de resistências normalizadas que contém os valores de r entre 1 e pode também ser considerada também uma escala de VSWR. A parte do eixo real que contém os valores de r entre 0 e 1 pode ser utilizada como uma escala de 1/S. o A partir da medição do coeficiente de onda estacionária e da localização de um dos extremos da envolvente da onda estacionária é possível obter o valor correspondente da impedância de carga normalizada.

15 Resolução gráfica de problemas - 15 Exemplo de aplicação 2 o Determinar o VSWR provocado por uma carga Z L 25+j35 W numa linha com Z 0 50 W e a distância do primeiro mínimo de tensão à carga. o Resolução: A impedância normalizada é: z Z Z 0 0,5 L + L j0,7 a que corresponde o ponto A na carta. A circunferência de VSWR constante (linha sem perdas) intersecta a escala de resistência normalizada no ponto F, consequentemente VSWR3,17. Os pontos E e F correspondem a pontos da linha em que se verificam mínimos e máximos, a fase de r é 180 o em E e 0 o em F. A distância do primeiro mínimo de tensão à carga é a distância representada pelo arco AE, medida na escala graduada em comprimentos de onda em direcção ao gerador. d ( 0,5 0,1105) λ 0, 3895λ min

16 Resolução gráfica de problemas - 16

17 Resolução gráfica de problemas - 17 Impedância de entrada o A impedância em qualquer ponto duma linha terminada com uma impedância Z L é dada por: z in Z Z in 0 z L 1+ + jtgβd jz L tgβd o Embora esta relação seja empregue com alguma frequência, é utilizado por vezes um processo de cálculo dividido em três fases: 1º z 1 L j 2 βd ρ 2º ρ( d ) ρ e z + 1 L 3º z in 1+ 1 ρ ρ ( d ) ( d ) o Este processo é especialmente útil se a carta de Smith for utilizada para relacionar r e z in. Exemplo de aplicação 3 o Uma linha sem perdas com Z 0 50 W é terminada por uma impedância Z L 20+j100 W. Determinar a impedância de entrada. o Resolução: O ponto B representa a impedância de carga normalizada marcada na carta de Smith. Um deslocamento de l/4 ou 180 o em direcção ao gerador sobre a circunferência de r constante conduz ao ponto C. Este ponto representa a impedância normalizada z in 0,10-j0,48, logo Z in 5 j24 Ω

18 Resolução gráfica de problemas - 18

19 Resolução gráfica de problemas - 19 Exemplo de aplicação 4 o Numa linha com Z050 W e comprimento 0,35l mediu-se um VSWR3 e registou-se um mínimo de tensão à distância de 0,15l da carga. Determine a impedância de entrada da linha. o Resolução: A impedância da carga deve estar localizada na carta sobre a circunferência correspondente a VSWR3. O ponto E corresponde ao ponto da linha em que se verifica o mínimo de tensão (f 180 o ). Movendo o ponto E, ao longo da circunferência de VSWR constante e medindo 0,15l na escala graduada em comprimentos de onda em direcção à carga obtemos o ponto C. Ao ponto C corresponde a impedância de carga normalizada z L 0,8- j1. Um novo movimento ao longo da circunferência de VSWR constante, correspondente a 0,35l em direcção ao gerador (partindo do ponto C) permite localizar o ponto D correspondente à impedância de entrada normalizada z in 1,7+j1,33 Z in 85 + j66,5 Ω

20 Resolução gráfica de problemas - 20

21 Resolução gráfica de problemas - 21 Admitância de entrada o A admitância duma linha de transmissão é dada por: Y in 1 Z in 1 Z ρ ρ onde r é o coeficiente de reflexão no ponto da linha. o A admitância normalizada será: y in Y Y in Z Z 0 0 in 1 ρ 1+ ρ 1+ 1 ( ρ) ( ρ) o Vê-se nesta equação que a relação entre y in e -r é idêntica à relação entre z in e r. A carta de Smith pode ser também considerada como a representação de y no plano -r. o Sendo yg+jb, as circunferências de r constante transformam-se em circunferências de g constante (g condutância normalizada) e as circunferências de x constante transformam-se em circunferências de b constante (b susceptância normalizada). o Para utilizar uma carta de impedâncias como carta de admitâncias basta rodar 180 o a escala do argumento de r.

22 Resolução gráfica de problemas - 22 Admitância de entrada de STUBS o Um stub é uma linha de transmissão sem perdas terminada em circuito-aberto ou em curto-circuito. Numa linha deste tipo o módulo do coeficiente de reflexão é 1 e o VSWR é. o As impedâncias (ou admitâncias) de entrada dos stubs são reactâncias (ou susceptâncias) puras de valor determinado pelo respectivo comprimento. O seu lugar geométrico na carta de Smith é a circunferência de r0. o A admitância (ou a impedância) de entrada de um stub é determinada, na carta de Smith, através de um deslocamento (correspondente ao seu comprimento) sobre a circunferência de raio unitário em direcção ao gerador, partindo do ponto correspondente à terminação respectiva. +90 o ±180 o cc - impedância ca - admitância impedância - ca admitância - cc 0 o -90 o Impedância e admitância de stubs

23 Resolução gráfica de problemas - 23 Dispositivos para adaptação de impedâncias O comportamento de um sistema que utiliza uma linha de transmissão para transporte de potência de um gerador para uma carga depende essencialmente da relação de impedâncias na terminação da carga. Como geralmente não é possível adaptar a carga à linha de transmissão alterando um dos parâmetros que a constituem, é necessário adicionar à linha um dispositivo para adaptação. Razões para a adaptar uma carga a uma linha de transmissão: o Um baixo valor de VSWR (»1) na linha indica que não há potência reflectida pela carga, toda a potência incidente é absorvida pela carga. o A potência máxima que pode ser transmitida pela linha é limitada pela tensão de disrupção do dieléctrico (diferença de potencial entre os condutores que provoca a perfuração do isolamento) e pelo aquecimento dos condutores da linha. Se o valor do VSWR for próximo de 1 a tensão e corrente serão constantes (em amplitude) ao longo da linha e terão os valores estritamente necessários para fornecer a potência pretendida à carga. o Alguns dispositivos utilizados como geradores tornam-se instáveis quando o nível de desaptação ultrapassa um determinado limite.

24 Resolução gráfica de problemas - 24 Dispositivos para adaptação de impedâncias Adaptação com um stub O circuito da figura representa um adaptador com um stub que é muito utilizado em linhas de transmissão. P Z 0 Z L d 1 ou d 2 Z 0 Adaptador com um stub Para se conseguir uma adaptação perfeita com um dispositivo de adaptação de impedâncias, este deve possuir dois ajustes. No adaptador com um stub os dois ajustes disponíveis são o comprimento do stub e a distância do stub à carga. A admitância de entrada da linha à direita no plano P deve ser y P 1 jb, para que o sistema se apresente adaptado à esquerda do plano P (y P 1). O comprimento do stub deve ser de modo que a sua susceptância de entrada seja jb.

25 Resolução gráfica de problemas - 25 Dispositivos para adaptação de impedâncias Adaptação com um stub Supondo que a impedância de carga normalizada z L é representada na carta de Smith pelo ponto A, a admitância correspondente é representada pelo ponto B. Num ponto da linha à distância d 1 da carga (em direcção ao gerador) a admitância normalizada é igual a 1+jb e está representado pelo ponto C. Adaptação com um stub

26 Resolução gráfica de problemas - 26 Dispositivos para adaptação de impedâncias Adaptação com um stub o Se um stub com susceptância de entrada normalizada igual a jb for ligado em paralelo com a linha à distância d 1 da carga, a linha estará adaptada à esquerda do plano P. o Com a colocação do stub em paralelo o ponto C move-se ao longo da circunferência de g1 para o ponto E correspondente à admitância (ou impedância) normalizada 1+j0. o Analisando a figura conclui-se que existe outra solução, além das que diferem da anterior em um múltiplo inteiro de l/2. À distância d 2 da carga a admitância normalizada seria 1-jb, representada pelo ponto D, que pode ser transformada em 1+j0 por um stub com susceptância de entrada normalizada igual a jb. o As susceptâncias +jb ou jb também podem ser obtidas utilizando um stub terminado em circuitoaberto, embora na prática sejam preferidos stubs terminados em curto-circuito.

27 Resolução gráfica de problemas - 27 Dispositivos para adaptação de impedâncias Adaptação com um stub Exemplo de aplicação 5 o Uma linha com Z 0 70 W é terminada por Z L 84+j85,75 W. Determinar o comprimento que deverá Ter um stub com a mesma impedância característica terminado em curto-circuito e a distância à carga onde deverá ser ligado para que o sistema fique adaptado. o Resolução: A impedância da carga normalizada é: z L 1,2 + j1,225 representado na figura pelo ponto A. O ponto B representa a admitância normalizada correspondente. A circunferência de VSWR constante que passa por B intersecta a circunferência de g1 primeiro em C e depois em D, para um deslocamento em direcção ao gerador. As admitâncias normalizadas correspondentes aos pontos C e D são, respectivamente, 1+j1,125 e 1- j1,125. 1ª solução (ponto C) A distância do stub à carga está representada na carta pelo arco BC, medido na escala graduada em comprimentos de onda na direcção do gerador: d ( 0, ,166) λ 0, 237λ 1

28 Resolução gráfica de problemas - 28 Dispositivos para adaptação de impedâncias Adaptação com um stub A susceptância normalizada necessária para adaptar a carga à linha é j1,125, representada na carta pelo ponto E. O comprimento do stub terminado em curto-circuito será: l ( 0,366 0,25) λ 0, 116λ 1 2ª solução (ponto D) O arco BD, expresso em comprimentos de onda em direcção ao gerador, representa a distância do stub à carga: d ( 0, ,334) λ 0, 405λ 2 Para realizar a adaptação o stub deverá ter a susceptância de entrada normalizada j1,125, deverá ter o comprimento: l ( 0,25 + 0,134) λ 0, 384λ 2

29 Resolução gráfica de problemas - 29 Dispositivos para adaptação de impedâncias Adaptação com um stub

30 Resolução gráfica de problemas - 30 Dispositivos para adaptação de impedâncias Adaptação com dois stubs Com este método de adaptação procura-se eliminar a principal desvantagem do método anterior que reside no facto de a posição do stub depender da impedância da carga. Neste método a distância entre os dois stubs é constante, embora os stubs possam ser colocados em qualquer ponto da linha próximo da carga. b d a Z L Stub 2 Stub 1 b d a Z L Stub 2 Stub 1

31 Resolução gráfica de problemas - 31 Dispositivos para adaptação de impedâncias Adaptação com dois stubs O método consiste em variar o comprimento do stub 1 de modo a que a admitância normalizada no plano b sem o stub 2 seja y b 1±jb anulando-se em seguida a susceptância com o stub 2, ficando o sistema adaptado para a esquerda do plano b (y b 1+j0). Adaptação com dois stubs

32 Resolução gráfica de problemas - 32 Dispositivos para adaptação de impedâncias Adaptação com dois stubs o Para poder ser adaptada a admitância em b tem que ser igual a y1 jb (circunferência 1). o A admitância vista no plano b (circunferência 1) tem uma correspondência no plano A. A admitância estará numa circunferência de igual raio mas cujo centro sofreu uma rotação correspondente à distância d (em comprimentos de onda) em direcção à carga (circunferência 2). o A admitância da carga vista no plano a, encontra-se no ponto A. Somando a admitância do stub 1 fazemos com que a admitância do stub 1+carga se desloquem sobre uma circunferência de g constante. o A circunferência de g constante que passa por A intersecta a circunferência 2 nos pontos B e C o que nos dá dois pontos de possível adaptação. o Para se realizar a adaptação, o ponto A deverá ser transformado em B ou C por ajustamento do stub 1. Este stub deve apresentar uma susceptância de entrada normalizada correspondente aos arcos AB ou AC. y y y A B C g + g + g + jb jb jb A B C admitância do stub 1 y y SB SC y y B C y y A A j j ( b b ) B A ( b b ) C A

33 Resolução gráfica de problemas - 33 Dispositivos para adaptação de impedâncias Adaptação com dois stubs o É necessário calcular a susceptância do ponto B e do ponto C no plano b, para isso deslocamos estes pontos de uma distância d na direcção do gerador. Obtemos assim os pontos B e C na circunferência de g1. o Este stub deve apresentar uma susceptância de entrada normalizada correspondente aos arcos AB ou AC. y y B ' C ' jb jb B ' C ' admitância do stub 2 y y SB ' SC ' jb jb B ' C ' Limitações ao método dos dois stubs o Para se poder utilizar este método, a circunferência de g constante a que pertence o ponto da carta de Smith que representa a admitância da carga normalizada y L deve intersectar a circunferência de g1 transferida em direcção à carga a distância d (em comprimentos de onda) igual à separação entre os stubs (circunferência 2).

34 Resolução gráfica de problemas - 34 Dispositivos para adaptação de impedâncias Adaptação com dois stubs o Na figura estão ilustrados três casos particulares. Se a admitância de carga normalizada y L for representada pelo ponto A, a colocação de um stub em derivação na carga corresponderá a um deslocamento do ponto A ao longo de uma circunferência de g constante que não intersecta a circunferência 2, o que torna impossível a adaptação pelo método dos dois stubs. o Analisando a figura conclui-se que, para se conseguir a adaptação com dois stubs, a componente real da admitância de carga deverá ser: a) g L 1 para dl/4 b) e c) g L para dl/8 ou d3l/8 o O valor máximo de g L para o qual é possível a adaptação com dois stubs depende da separação destes. Pode-se demonstrar que, estando o primeiro stub ligado à linha na carga e sendo d a distância entre os stubs, a adaptação é possível se: g L 1 2 sen β d

35 Resolução gráfica de problemas - 35 Dispositivos para adaptação de impedâncias Adaptação com dois stubs Casos particulares das limitações do método dos dois stubs

36 Resolução gráfica de problemas - 36 Dispositivos para adaptação de impedâncias Adaptação com dois stubs Exemplo de aplicação 6 o O coeficiente de reflexão na carga que termina uma linha de transmissão com Z 0 50 W é r0,667(90 o ). Para adaptar a carga à linha são utilizados dois stubs com a mesma impedância característica terminados em curto-circuito e distanciados 0,375l entre si, estando o stub mais próximo da carga a 0,1l da mesma. Determinar as combinações possíveis de comprimentos de stubs que proporcionam a adaptação desejada. o Resolução: A impedância de carga normalizada está representada na carta pelo ponto A. O ponto B representa a admitância correspondente. A admitância normalizada à distância de 0,1l da carga está representada pelo ponto C. Ajustando o comprimento do stub mais próximo da carga (stub 1), o ponto C desloca-se sobre a circunferência de g0,2 para o ponto D (1ª solução) ou para o ponto E (2ª solução) que, transferidos 0,375l em direcção ao gerador, se transforma em F e G, respectivamente. Ajustando o comprimento do stub 2, os pontos F (1ª solução) ou G (2ª solução) deslocam-se sobre a circunferência de g1 para o centro da carta 1ª solução: 2ª solução: stub 1 l ( 0,462 0,25) λ 0, 212λ 1 stub 2 l ( 0,176 0,25) λ 0, 426λ 2 stub 1 l ( 0,346 0,25) λ 0, 096λ 1 stub 2 l ( 0,289 0,25) λ 0, 039λ 2

37 Resolução gráfica de problemas - 37 Dispositivos para adaptação de impedâncias Adaptação com dois stubs

38 Resolução gráfica de problemas - 38 Escalas radiais na carta de Smith Coeficiente de reflexão: o de tensão: o de potência: Perdas na linha (em db): tensão reflectida ñ tensão incidente 2 potência reflectida ñ potência incidente potência incidente o perdas por retorno ( db) o perdas por reflexão potência reflectida potência incidente potência transmitida Coeficiente de onda estacionária: VSWR tensão máxima tensão mínima e os valores correspondentes em db. Coeficiente de perdas: potência incidente 20log 1 ñ ( db) 10log o coeficiente de perdas 2 + potência transmitida reflectida 1 1 ñ ñ ñ 2 que, para um dado nível de potência incidente, nos indica o aumento das perdas no meio de transmissão, por desadaptação, em relação à situação de adaptação perfeita.

39 Resolução gráfica de problemas - 39 Escalas radiais na carta de Smith Uma escala de e -2ad em que cada divisão corresponde a 1 db. Pode-se utilizar esta escala de perdas por transmissão graduada em intervalos de 1 db para tomar em consideração o factor e -2ad que relaciona os módulos dos coeficientes de reflexão em dois pontos distintos de uma linha de transmissão. Sendo conhecido o coeficiente de reflexão num dado ponto de uma linha, o valor a uma distância d no sentido do gerador ou da carga pode ser calculada assumindo inicialmente a linha sem perdas e em seguida reduzindo ou aumentando, respectivamente, o raio do factor e -2ad.