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- Ana Beatriz Castanho Braga
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10 CORRENTES DE CONDUÇÃO E DE DESLOCAMENTO a) Formas instantâneas densidade de corrente condução: j c = σ e densidade de corrente de deslocamento: j = d / dt. d b) Formas fasoriais densidade de corrente condução: densidade de corrente de deslocamento: J c d =σ E J = jωd = jωεe MEIOS DIELÉTRICOS E CONDUTORES Considerem-se as seguintes razões assumem em meios materiais: J c J d σ = ωε J J ou d c ωε = σ a) Dielétrico perfeito (ideal ou sem perdas): σ=0 Se: σ / ωε << 1 J / J << 1 c d No limite, quando σ=0 deve ocorrer: J c = 0 (não há corrente de condução) b) Dielétrico prático (com pequenas perdas) Por definição: J < 1% c J d
11 c) Condutor perfeito (ideal): σ= Se: ωε / σ << 1 J / J << 1 d c No limite, quando σ= deve ocorrer: J d = 0 (não há corrente de deslocamento) d) Condutor prático Por definição: J < 1% d J c A CONSTANTE DE PROPAGAÇÃO COMPLEXA γ = jωμ( σ + jωε) = α + jβ A partir de operação algébricas simples, pode-se mostrar que esta expressão conduz aos seguintes valores para α e β: ω με σ α = ωε 2 ω με σ β = ωε 2 a) Dielétrico perfeito (σ=0) α = 0 β = ω με O primeiro resultado já era esperado. O segundo informa que β varia linearmente com a ω... ondas TEM não dispersivas.
12 b) Dielétrico prático ( σ / ωε << 1) γ = jωμ σ + jωε = jωμ. jωε. 1 j σ ωε Série binomial: + = para x < x 1 x/ 2 x / 8... Fazendo-se x = j( σ / ωε) Portanto: 1 σ 2 σ γ jω με.[1 ( ) j ] = α + jβ 8 ωε 2ωε σ μ α 2 ε Tem-se disponível uma expressão para se determinar o fator de atenuação. O valor de α deve resultar muito pequeno, mas não nulo (para comunicação de longa distância valor de α pode conduzir a uma redução significativa da amplitude da onda). 2 1 σ β ω με 1 ω με 8 ωε (a segunda parcela foi considerada desprezível em relação à unidade) A expressão para β permanece aproximadamente igual à do meio sem perdas.
13 c) Condutor prático ( ωε / σ << 1) jωε 1 ωε jωε γ = jωμ σ + ωμσ j + σ 8 σ 2σ {1 ( ) } Lembrar que 1/2 j /2 1/2 j /4 j j e π π = = = e = + j ( ) 1/ 2 / ωε 2 ωε 1 ωε 2 ωε γ = ωμσ.[1 ( )] + j[1 ( )] + j 2 8 σ 2σ 8 σ 2σ ωμσ ωε 1 ωε 2 ωε 1 ωε 2 = [1 ( ) ] + j[1 ( ) ] = α + 2 2σ 8 σ 2σ 8 σ jβ Desprezando-se os termos ωε / 2σ e 2 ( ωε / σ ) /8 diante da unidade: ωμσ α = π f μσ (Np/m) 2 (resulta muito elevado para condutores práticos) ωμσ β = π f μσ (rad/m) 2 (diferente dos meios dielétrico, no condutor β varia com ω : meio dispersivo) 7 Para σ 10 S/m (platina), a atenuação α é tão intensa em metais que impossibilita a propagação de onda eletromagnética em seu interior. Após uma certa profundidade de penetração no metal (dependendo da frequência, pode ser da ordem de frações de mm), a onda evanesce e é totalmente dissipada em seu interior. Por isso, invólucros metálicos são amplamente usados como blindagem de circuitos eletrônicos e instrumentos de medição contra interferências eletromagnéticas externas. c) Condutor ideal (σ= ) Não há propagação de onda eletromagnética no interior do condutor ideal.
14 Exemplo: Calcular a profundidade σ=10 7 S/m e frequência f=1 MHz. de penetração num metal com condutividade Solução: A figura ilustra a geometriaa do problema. Na interface z=0, entre o ar e o metal, uma onda eletromagnética é inserida propagando-se para a direita. Esta onda tem forma geral conforme e = Ee α z 0 cos( ωt β z) x ˆ, uma senóide amortecida na direção z. A envoltória da onda é dada por: sendo E 0 o valor do campo na superfície do metal. E max = E0 e α z, A profundidade de penetração, z=δ, é definida como a distância d na qual a amplitude do campo decai a 1/e do seu valor da superfície do metal. Estee valor é calculado fazendo-se: A partir daí, calcula-se: E0e αδ δ =1 / α. = E e. 0 / Utilizando-se a relação α π f μσ, determina-se: δ =1/ π π = 160 μm. μ
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19 IMPEDÂNCIA INTRÍNSECA PARA MEIOS MATERIAIS η = jωμ σ + jωε a) Dielétrico perfeito (σ=0) μ η = ε ( um número real puro) Constitui motivo de equívoco interpretar a impedância intrínseca real como no caso da resistência elétrica na teoria de circuitos elétricos, ou seja, que está associada a perdas por efeito Joule. Deve ser interpretado apenas como uma razão entre os módulos de E e H, e cujo resultado no meio sem perdas é puramente real. Os campos elétrico e magnético estão em fase no espaço: φ = ϕe ϕh =0. No vácuo (ou ar): ε 0 =10-9 /36π F/m e μ 0 =4π 10-7 H/m η = μ / ε =120π rad 377 Ω Como ε = εrε0 e μ = μrμ0, então, para meio dielétrico μ r = 1 μμ μ1 1 0 r 0 η = = = η0 η0 εε 0 r εε 0 r εr (o maior valor de impedância intrínseca possível é a do vácuo)
20 b) Dielétrico prático ( σ / ωε << 1) Série: 1/ 1 x = 1 + x /2+ 3x 2 /8 +..., para x < 1, η = μ ε 1 1 j σ με 2 μ 3 σ 1 ε 8 με j σ + με (um número complexo, como esperado) c) Condutor perfeito (σ= )) η = lim σ j ωμ 0 σ + jωε = Aplicando: E = η. H =0, conclui-se que o campo elétrico no interior de um condutor perfeito é nulo (embora o campo magnético possa ser finito). d) Condutor prático ( ωε / σ << 1) η = jωμ σ (1 + j ωε σ ) jωμ = σ ωμ σ j /4 e π = ωμ 2σ + j ωμ 2σ = π f μ σ + j π f μ σ (defasagem entre E e H de π/4 rad dentroo do condutor) Como visto, um tal campo eletromagnético deve existir somente s nas proximidades da superfíciee do metal por onde incidee a onda; após uma pequena profundidade de penetração, todo o campo deve ter sidoo dissipado por efeito Joule.
21 SUPERFÍCIE DE FASE INSTANTÂNEA CONSTANTE Neste estágio da análise, o leitor já deve estar mais familiarizado com o conceito de onda eletromagnética. Por isso, a noção de fase instantânea φ i pode ser estudada em maior profundidade. Seja um campo normalizado dado por: e / E cos( t z) x ˆ 0 = ω β. Será analisado um ponto de fase instantânea constante valendo, por exemplo, φi = ωt β z= 2π rad β z= 2π + ωt. Neste caso, e / E ˆ ˆ ˆ 0 = cos( ωt β z) x= cos( 2 π ) x=+ 1x, que informa que este ponto deve corresponder a um máximo positivo. Na Tabela encontra-se o resultado do cálculo de β z= 2π + ωt para os 5 instantes de tempo t (para ω constante). Tabela Valores de βz para o ponto de fase instantânea constante t, s Valor de β z= 2π + ωt 0 βz = 2π 0=2π rad π/2ω βz = 2π+ω.(π/2ω)=5π/2 rad π/ω βz=2π+ω.(π/ω)=3π rad 3π/2ω βz=2π+ω.(3π/2ω)=7π/2 rad 2π βz=2π+ω.(2π)=4π rad
22 Tabela Valores de βz paraa o ponto de fase instantânea t, s 0 π/2ω π/ω 3π/2ω 2π Valor de β z = 2π + ωt βz = 2π 0=2ππ rad βz = 2π+ω.(π/ /2ω)=5π/22 rad βz=2π+ω.(π/ω)=3π rad βz=2π+ω.(3π/ /2ω)=7π/22 rad βz=2π+ω.(2π) )=4π rad constante Como se observa, à medida que o tempo passa, o ponto de fase instantâneaa constante (ou a frente de onda) se propaga paraa a direita, assumindo os valores (a) βz=2π, β (b) 5π/2, (c) 3π, (d) 7π/2 e (e) 4π rad. O perfil do campo translada-se na direção do eixo β z. O pontoo associadoo à fase instantâneaa φ = 2π rad, encontra-se marcado na figura. A partir destes resultados, expressões para velocidad e de fase onda, por exemplo, poderão ser deduzidas com maior propriedade. i e comprimento de
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27 A expressão para a velocidade de grupo, v g, dada por: v g 1 1 = = = ' ' βo βo dβ / dω ω = ω c pode ser aplicada ao caso da onda plana, para linhas de transmissão TEM, guias de ondas metálicos, fibras ópticas, etc. O único cuidado é que a largura de banda do sinal deve ser pequena relativamente à frequência da portadora (ω c ). Exemplo: Mostrar que no caso particular da onda plana, o valor da velocidade de grupo coincide com o da velocidade de fase. Solução: No caso de onda plana se propagando em meio sem perdas, β satisfaz a β = ω με, e assim, v g 1 1 dβ d 1 = = ( ω με) = = v dω dω με p informando-se que as velocidades de grupo e de fase são iguais. Este resultado não deve surpreender, pois no caso da onda plana uniforme e ilimitada β varia linearmente com ω. Em geral essas velocidades são diferentes para ondas guiadas não TEM, nas quais existe o problema de dispersão de guia de ondas (β não varia linearmente com ω).
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