Aula Oscilações Eletrônicas B

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1 Aula 11 Nesta aula, continuaremos nosso estudo do capítulo 4 do livro texto, onde iniciaremos o estudo das oscilações eletrônicas e acústico iônicas sujeitas a campos magnéticos. 4.5 Oscilações Eletrônicas B Vimos nas aulas anteriores que as ondas eletrônicas e as acústico iônicas são exemplos de ondas eletrostáticas longitudinais, isto é, oscilações que ocorrem na ausência de campos magnéticos ou ao longo de suas linhas de campo tal que k E. No entanto oscilações eletrônicas e acústico iônicas podem se propagar, perpendicularmente às linhas de campo magnético em plasmas magnetizados. Esses novos modos de propagação das ondas num plasmas são também conhecidos como Bernstein modos. Importante! Observação: Para não se confundir com as notações que são utilizadas para classificar os vários tipos de oscilações num plasma, temos:

2 a) Paralelo e perpendicular são usados para indicar a direção de k com relação a B, isto é, k B e k B, respectivamente e longitudinal e transversal, indicam a direção de k com relação a E, isto é, k E e k E, respectivamente. b) Devemos distinguir entre as oscilações eletrostáticas e eletromagnéticas, isto é, oscilações na ausência e na presença de campos magnéticos oscilantes. Vamos tratar o problema, considerando a propagação de uma onda longitudinal ao longo da direção x, eletrostática e perpendicular à direção de B uniforme e constante (B z), conforme mostra a figura abaixo. Disposição dos vetores B, k e E no Problema das Oscilações Eletrônicas Eletrostáticas B.

3 Para isso, usaremos novamente as equações de movimento, da continuidade, de Poisson e agora, a lei de Faraday, para descrever a propagação das ondas eletrônicas, neste novo problema. Também, vamos impor algumas condições que já utilizamos nos problemas anteriores, a saber: ausência de movimento térmico dos elétrons, íons fixados em suas respectivas posições de equilíbrio, plasma quase-neutro, uniforme e estacionário antes da perturbação Substituído as grandezas oscilantes do problema, isto é, n e, E e V e na equação de movimento para os elétrons, considerando as hipóteses acima e linearizando o resultado, temos em termos das componentes da equação de movimento, o seguinte sistema de equações ( i) mve 1x = ee1 ebv ( i) mve 1y = ebv e1x ( i) mve 1z = e1y Pelos mesmos argumentos acima, utilizando a equação da continuidade para os elétrons e linearizando o resultado, temos

4 = k ne 1 n V e 1x 4.4. Finalmente, usando os argumentos acima e agora utilizando a equação de Poisson, temos o seguinte resultado linearizando ik E = en ε 1 e Quanto à lei de Faraday, não será necessária na resolução do problema em questão, pois o campo magnético é uniforme no tempo, logo temos r r E r B t 1 = = Agora, a partir do sistema 4.4.1, isolando V e1y na componente em y, substituindo-o na componente em x e isolando V e1x do resultado, temos a seguinte expressão V e1x = ee1 / im (1 c ) 4.4.5

5 A partir das expressões 4.4. e 4.4.3, devemos colocar V e1x em função de E 1, substituindo em seguida V e1x em 4.4.5, eliminando E 1 e identificando p e c no resultado final, para encontrar a relação de dispersão das oscilações eletrônicas eletrostáticas perpendiculares a B, isto é = c + p h Na expressão 4.4.6, é também conhecida como a freqüência híbrida superior, isto é, uma contribuição da freqüência de giro do elétron em torno do campo B e da freqüência natural do elétron em torno de sua posição de equilíbrio. A figura abaixo, mostra o resultado desta combinação de freqüências.

6 Observações: Trajetória Elíptica dos Elétrons. a) A partir da expressão 4.4.6, concluímos que as oscilações eletrônicas B são estacionárias, pois não depende de k, logo V g = ; b) Para o caso mais geral, temos que os vetores k e B possuem direções arbitrárias, formando um ângulo θ entre si, assim como o produto vetorial entre os vetores k e E 1 não é nulo. A figura abaixo, mostra a geometria do problema geral acima.

7 Geometria Arbitrária dos Vetores B, k e E. A conseqüência direta desta arbitrariedade, é uma relação de dispersão, tal que agora é função de k, portanto temos uma velocidade de grupo não nula, isto é, ondas na freqüência híbrida superior deverão se propagar ao longo do plasma, juntamente com uma onda eletromagnética de modo TM (polarizada circularmente). A relação de dispersão geral de dada pela expressão abaixo ( ) + c p cosθ = h As figuras abaixo, mostram as curvas de dispersão para o caso mais geral, onde é função de k z, tal que k x / k z = tanθ, para situações: c > p e c < p.

8 Curvas de Dispersão para c > p e c < p. c) As oscilações eletrônicas B na freqüência híbrida superior, foram confirmadas em laboratório, assim como a relação de dispersão (ver no livro texto os detalhes das experiências).

9 Vimos acima, que as oscilações eletrônicas podem se propagar, perpendicularmente às linhas de campo magnético em plasmas magnetizados. O mesmo pode ocorrer com as ondas acústico iônicas, no entanto o comportamento cinético dos elétrons é essencial para a propagação destas ondas no plasma. Nesta nova situação, os íons estão sujeitos ao campo magnético, logo espera-se que a freqüência de giro destes ao longo das linhas de campo magnético, seja contabilizada, juntamente com a freqüência de propagação das ondas acústico iônicas pelo plasma. Novamente, vamos tratar o problema, considerando a propagação de uma onda longitudinal, eletrostática e aproximadamente perpendicular à direção de B uniforme e constante (B z), conforme mostra a figura abaixo.

10 Disposição dos vetores B, k e E no Problema das Oscilações Iônicas Eletrostáticas B. Nesta nova situação, devemos encontrar uma relação de dispersão para as ondas acústico iônicas, para isso usaremos as equações de movimento e da continuidade para os íons, assim como a relação de Boltzmann para os elétrons responsáveis pela blindagem do potencial elétrico dos íons Igualmente, vamos impor algumas condições, a saber: ausência de movimento térmico dos íons, neutralidade do plasma, tal que este seja uniforme e estacionário antes da perturbação. As grandezas oscilantes do problema são n e, E e V e, logo substituindo-as na equação de movimento para os íons, considerando as hipóteses acima e linearizando o resultado, temos em termos das

11 componentes da equação de movimento, o seguinte sistema de equações ( i) MV i1x ( i) MV = eikφ i1y ( i) MV = eb V i1z 1 = + eb V i1x e1y Agora, substituindo as grandezas oscilantes na equação da continuidade para os íons, considerando as condições acima e linearizando o resultado, temos = k ni 1 n V i 1x O fato de assumirmos a neutralidade do plasma com E não nulo, isto é, a aproximação de plasma, exclui a necessidade de utilizarmos a equação de Poisson, isto é r E r 1 = n i ne, com Er Também não será necessário utilizarmos a lei de Faraday, pois B é uniforme e constante, isto é

12 r r E r B t 1 = = Agora, a partir do sistema 4.4.8, isolando V i1y na componente em y, substituindo-a na componente em x, identificando Ω c como a freqüência de ciclotrônica dos íons e isolando V i1x do resultado, temos a seguinte expressão V i1x = ek M φ (1 Ω 1 c ) A partir da expressão 4.4.9, da relação de Boltzmann para os elétrons (ver a expressão ) e considerando a neutralidade do plasma, podemos encontrar o φ 1 em função de V i1x, isto é φ = 1 KT e e k V i1x Finalmente, substituindo expressão em e considerando KT i = (ausência de movimento térmico dos íons), encontraremos a relação de dispersão das ondas acústico iônicas ou íon ciclotrônicas eletrostáticas B, isto é

13 = Ωc + k V s O mecanismo físico desta oscilação é tal que os íons oscilam de forma semelhante ao caso das ondas acústico iônicas, sendo que agora a força de Lorentz se adiciona a força Coulombiana na restauração do movimento dos íons. A figura abaixo, mostra a curva de dispersão das ondas íon ciclotrônicas eletrostáticas. Curva de Dispersão das Ondas Íon Ciclotrônicas Eletrostáticas.

14 Observações: a) A partir da expressão , concluímos que as oscilações íon ciclotrônicas eletrostáticas B, não são estacionárias, pois depende de k, logo V g ; b) Para o caso de oscilações onde os elétrons não conseguem manter a neutralidade dos íons, pois aqueles fluem através das linhas de campo, então neste caso os elétrons não satisfazem a relação de Boltzmann, preferindo ao contrário se comportarem segundo a equação de movimento. Então, utilizando alguns resultados já calculados acima, podemos encontrar a velocidade V e1 para os elétrons, segundo sua equação de movimento. Para isso, a partir da expressão 4.9.1, devemos substituir e por e, M por m e Ω c por- c,, com isto temos V e1x = ek m φ (1 1 c ) As mesmas alterações devem ser usadas na expressão 4.4.9, para que possamos encontrar n i1,

15 logo as densidades corridas para os elétrons e íons, são n n i1 e1 = = n n k k V V i1 e Se vale a neutralidade do plasma, então devemos impor que n i = n e, em conseqüência, alisando as equações do sistema , temos que necessariamente, V i1 = V e1, isto é, igualando as expressões e , encontraremos a seguinte relação de dispersão ( Ω c c 1/ = ) A expressão é a freqüência da onda ciclotronica eletrostática, mas agora estacionária, B. Tal freqüência é conhecida como a freqüência híbrida inferior.