Num primeiro programa MATLAB, intitulado PA_1, ilustre a demonstração gráfica do teorema de Pitágoras.

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1 ula de Programas 1 Programa 1 Num primeiro programa MTL, intitulado P_1, ilustre a demonstração gráfica do teorema de Pitágoras Usando o Microsoft PowerPoint pode ilustrar melhor o que se pretende provar (como na figura anexa da página seguinte) importando o gráfico produzido na plataforma MTL Propagação & ntenas Página 1

2 Programa Num mesmo programa MTL, intitulado P_, desenhe três figuras Na Figura 1 desenha-se a circunferência x y x cos y sin 1 Considere, para isso, a representação paramétrica Na Figura desenham-se os dois ramos da hipérbole c t x seguintes representações paramétricas (experimente diferentes valores de ) ct cosh ramo superior x sinh ramo inferior ct cosh x sinh 1 Considere, para isso, as Propagação & ntenas Página

3 Na Figura 3 desenham-se os dois ramos da hipérbole seguintes representações paramétricas x c t 1 Considere, para isso, as ct sinh ramo direito x cosh ramo esquerdo ct sinh x cosh Propagação & ntenas Página 3

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6 Programa 3 Num mesmo programa MTL, intitulado P_3, desenhe quatro figuras dispostas numa matriz de Na primeira linha pretende-se mostrar o perfil espacial de uma onda em dois instantes sucessivos t t1 e t t Na segunda linha pretende-se mostrar a evolução temporal dessa mesma onda em dois pontos 1 e onda que se irá considerar é a seguinte (para um dado valor m 1,,3, ): m1 m 1 1 f, t t exp t m c c Para efeitos de representação gráfica vai-se considerar c 1 e 1 ssim, tem-se: m1 m 1 1 perfil espacial em t t t f, t t exp t m c c m1 m 1 1 t f t t t m c c evolução temporal em, exp Considere dois casos: (i) m 1; (ii) m 3 Propagação & ntenas Página 6

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9 Programa 4 O, no interior de um vagão de comboio, emite um sinal dmita que um observador electromagnético a partir do ponto médio do compartimento ssim, este observador nota que o sinal emitido chega simultaneamente às duas extremidades e 1 e e da carruagem cujo comprimento, do seu ponto de vista, é L Para um outro observador O, na estação de comboios, que vê o comboio a deslocar-se com uma velocidade v (constante) no sentido positivo do eixo x, o sinal emitido por O não chega simultaneamente às duas extremidades (como observado por O ) Com efeito, o sinal emitido por extremidade e 1 e num instante (posterior) t à extremidade e O, chega do ponto de vista de O num instante 1 t à (a) Usando um diagrama de Minkowski, mostre que sendo L o comprimento do vagão do ponto de vista do observador na estação se tem vl t t t c v 1 onde c representa a velocidade da luz (b) Explique, com base na experiência considerada, como traça os eixos x, ct e x, ct no diagrama de Minkowski (c) Mostre, ainda, que v L 1 c L Propagação & ntenas Página 9

10 experiência aqui considerada encontra-se representada no diagrama de Minkowski seguinte linha de universo e 1 é representada por x vt Já as linhas de universo m e e são, respectivamente, representadas por x vt L e por x vt L O sinal electromagnético que 1 liga os acontecimentos M a é dado pela equação x ct x M Já o sinal electromagnético que liga os acontecimentos M a é dado pela equação ssim, o instante t 1 é tal que x ct xm Como é óbvio, tem-se x L M L L L ct1 vt1 c v t1 t1 c v Por sua vez, o instante t é tal que L L L ct vt L c v t t c v Propagação & ntenas Página 1

11 Logo, infere-se que L L L v v L t t t t c v c v c v c v 1 1 O eixo ct corresponde à «equiloc» x do sistema de coordenadas S, ie, à linha de universo e1 x vt no sistema de coordenadas S Ou seja: 1 1 Eixo ct x x ct ct x tan x O eixo x corresponde à «equitemp» ct do sistema de coordenadas S, ie, é a «equitemp» paralela à «equitemp» que liga os acontecimentos a e que contém o acontecimento x x quando t t (ie, a origem comum dos dois sistemas de coordenadas S e S ) Do ponto de vista de S, tem-se então c L L L x vt ct, ct ct1 x c v 1 1 c L L L L x vt L ct L, ct ct x L c v Logo, a equação que descreve a «equitemp» (em S ) que liga estes dois acontecimentos é: ct p x q ct ct L 1 ct p x q p q ct p x ct p x q x x L ct x 1 Esta última equação prova inequivocamente que, de facto, a «equitemp» de S que passa na origem dos dois sistemas de coordenadas é dada por ct x ssim: 1 Eixo x ct x ct ct x ct tan x Note-se que existe, aqui, uma invariância Como Propagação & ntenas Página 11

12 x, ct L 1 1 e x L 1, a (seguinte) invariância do intervalo permite calcular ct : L 1 L 1 c t x c t x ct t 1 c 1 nalogamente, tem-se: c t x c t x Neste caso, com e são simultâneos em S, obtém-se L 1 ct ct e x, pelo que: 1 L 3 c t x 1 Logo, como x L L 1, ct 1 1, daqui resulta, então, que: L 3 x c t 1 Em síntese: S S L 1 L L 1 x, ct x, ct 1 S 1 1 L 1 L L 1 x L, ct ct x, ct 1 S 1 1 Mas então, vem: Propagação & ntenas Página 1

13 L 1 L 3 c t x L 1 1 Esta última equação permite, agora, determinar a relação entre L e L Vem sucessivamente L L 1 3 L L 1 L 4 L 1 1 donde se infere, por fim, que L 1 L QED Era também possível chegar a este mesmo resultado de uma forma alternativa Vejamos como intersecção da «equitemp» ct x (ie, o eixo x ) com a linha de universo 1 e x vt L x ct L ct x L, permite definir um novo acontecimento Q, tal que 1 L L x x L x ct x 1 1 Q Q Q Q Q Porém, do ponto de vista do referencial S, o acontecimento Q ocorre em x L no instante t Ou seja: L L Q x L, ct x, ct S Q Q Q S Q 1 1 Logo, de acordo com a invariância do intervalo, vem Q Q Q Q c t x c t x Propagação & ntenas Página 13

14 ssim, substituindo nesta última equação as coordenadas do acontecimento Q nos dois sistemas de coordenadas, obtém-se: L L L L L L L 1 L É claro que também se poderia inferir a contracção do espaço por outras vias Mas, como exemplo, fica aqui apenas referido o processo que se baseia na invariância do intervalo Propagação & ntenas Página 14