Diagramas de Minkowski: dilatação do tempo e contracção do espaço

Transcrição

1 Diagramas de Minkowski: dilatação do tempo e contracção do espaço Consideremos a transformação de Lorentz 1 β 1 v γ, γ, β = β 1 = = 1 β c em que ( β 1) e = γ e + e e = γ e + e 1 1. Admitindo uma métrica indefinida negativa com e = e = e = e = infere-se então que e e = e 1 e = γ 1. e e = e e = γ β 1 1 Cada acontecimento A do espaço-tempo de Minkowski é então representado: (i) por A(, ) no referencial de inércia S ; (ii) por (, ) Considera-se, sempre, y = y, z = z, e = e e e 3 = e. 3 A no referencial de inércia S. 1

2 Num diagrama de Minkowski o eio corresponde á rea =. Logo, da equação = γ infere-se que o eio será dado pela equação = β tanθ = = β. X θ Analogamente, o eio corresponde à rea =. Logo, da equação = γ obtém-se para o eio a equação = β tanθ = = β. X θ X

3 Dilatação do tempo Comecemos por analisar a dilatação do tempo através de um diagrama de Minkowski. Consideremos, em primeiro lugar, um relógio colocado no ponto = do referencial S que mede um intervalo de tempo T. Do ponto de vista do diagrama de Minkowski (Fig. 1) trata-se, portanto, de medir o intervalo do tipo tempo entre dois acontecimentos A e B. Em ambos os referenciais S e S tem-se A (,). Porém, no referencial S, deverá ter-se B( ); no referencial S, no entanto, tem-se (, ), B vt. C vt B A Figura 1 Assim, podemos escrever AC + CB = AB e + v T e = e ( ) ( ) ( ) 1. (1) Fazendo o produto interno de ambos os membros da Eq. (1) pelo veor de base e, obtém-se então 3

4 T = γ T. () vt C B A Figura Consideremos, agora, um relógio colocado no ponto = do referencial S que mede um intervalo de tempo T. Do ponto de vista do diagrama de Minkowski (Fig. ) trata-se, novamente, de medir o intervalo do tipo tempo entre dois acontecimentos A e B. Em ambos os referenciais S e S tem-se A (,). Porém, no referencial S, deverá ter-se B ( ) referencial S, por outro lado, tem-se B (, vt) eio ( = ) deverá situar-se sobre a rea β ( ) portanto, = vt. Virá então, ; no. De fao, o acontecimento B sobre o = : para t = T deverá ter-se, AB + BC = AC e + v T e = e ( ) ( ) ( ) 1. (3) Fazendo o produto interno de ambos os membros da Eq. (3) pelo veor de base e, obtém-se mais uma vez a Eq. (). Efeivamente o princípio da relatividade impõe que a dilatação do tempo seja um efeito recíproco entre os dois referenciais. 4

5 A Eq. () pode ser encarada como resultando da aplicação do teorema de Pitágoras no espaço-tempo de Minkowski com métrica +. Com efeito, na Fig. 1 temos um triângulo ABC que é reângulo e cuja hipotenusa é o lado AB = sendo os dois catetos AC = e CB = vt. A única diferença em relação à geometria euclidiana está em que o cateto CB = vt é uma medida de espaço e, portanto, tem de ser afeada pelo sinal negativo devido à métrica de Minkowski. Assim ( ) ( ) ( vt) =. (4) Da Eq. (4) infere-se, então, a Eq. () relativa à dilatação do tempo. O teorema de Pitágoras contido na Eq. (4) é uma consequência imediata da Eq. (3): basta atender a que, desta equação resulta ( ) e = ( ) e ( vt) e 1 ( ) ( ) = ( ) ( vt) ( ) ( vt) e e e e e e 1 1 ( ) ( ) ( vt) =. Uma conclusão semelhante tira-se da Fig.. Aqui o resultado é aparentemente mais estranho. Essa estranheza deve-se ao fao de que, contrariamente à aparência, o triângulo ABC é também reângulo tal como o da Fig. 1. A razão é simples: o eio é ortogonal ao eio apesar de, na figura, não serem perpendiculares. Assim, na Fig., temos a hipotenusa AB= e os catetos AC = e CB = vt. Obtém-se, portanto, a Eq. (4) novamente donde se tira a Eq. () para a dilatação do tempo. 5

6 Contracção do espaço Vamos agora analisar a contracção do espaço através de um diagrama de Minkowski. Tratase de medir o comprimento de uma régua colocada paralelamente ao eio (ou ao eio ). Comecemos por considerar, em primeiro lugar, a situação da Fig. 3 em que a régua se encontra em repouso no referencial S. L B L β L A L C Figura 3 Como a régua se encontra em repouso no referencial S é indiferente que as suas etremidades sejam mediadas simultaneamente ou não neste referencial. Porém, o mesmo não se aplica ao referencial S que vê a régua em movimento: no referencial S as etremidades da régua têm de ser medidas no mesmo instante caso contrário o comprimento da régua não será medido correamente. Em ambos os referenciais trata-se, potanto, de medir um intervalo do tipo espaço entre dois acontecimentos A e B. De acordo com a Fig. 3 tem-se A (,) em ambos os referenciais. Quanto ao acontecimento B lê-se: (i) B ( L, L ) (ii) B(, ) L no referencial S. Assim, virá 6 β no referencial S ;

7 AC + CB = AB L e + L e = L e 1 1. (5) Então, fazendo o produto interno de ambos os membros da Eq. (5) pelo veor de base e, 1 obtêm-se L L =. (6) γ Consideremos, agora, a perspeiva da Fig. 4 em que a régua de comprimento L se encontra em repouso no referencial S. L C L β L A L B Figura 4 Os acontecimentos A e B têm de ser simultâneos em S onde a régua é vista em movimento. Assim, para o acontecimento B, tem-se: (i) B(, L ) em S ; (ii) B ( β L, L ) em 7

8 S. Com efeito, o acontecimento B sobre o eio ( = ) deverá situar-se sobre a rea = β : para = L vem = β L. Da Fig. 4, resulta então AB + BC = AC L e + L e = L e 1 1. (7) Logo, depois de fazer o produto interno de ambos os membros da Eq. (7) pelo veor de base e, obtém-se novamente a Eq. (6) que regula a contracção dos comprimentos. 1 hiperbólica. A Eq. (6) pode também ser obtida através do teorema de Pitágoras em geometria Consideremos, em primeiro lugar, o triângulo ABC reângulo da Fig. 3. Temos a hipotenusa AB= L e os catetos AC = L e CB = β L. Atendendo à métrica de Minkowski, vem então L = L + L. (8) Da Eq. (8) resulta a Eq. (6) para a contracção do espaço. A Eq. (8) é uma consequência direa da Eq. (7): basta notar que Le1 = Le ( β L 1 ) e ( ) = L e1 e1 Le L 1 e L e L 1 e L = L + L. No caso da Fig. 4 temos uma situação semelhante à da Fig.. O triângulo reângulo, apesar de não parecer. Novamente, temos a hipotenusa AB ABC é = L e os catetos AC = L e CB = β L. Assim, somos mais uma vez conduzidos à Eq. (8) e, consequentemente, à Eq. (6) para a contracção do espaço. 8