0.1 Sistema de partículas e momento linear

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1 0.1 Sistema de partículas e momento linear Sistema de partículas e momento linear 1. a) As posições iniciais das duas partículas são dadas por r 1 = d 1 î e r = d ĵ. A posição do centro de massa é dado então por R 0 CM = 1 M m 1d 1 î+m d ĵ), M = m 1 +m 0.1) que corresponde ao ponto m 1 d 1 /M,m d /M). A dinâmica do centro de massa é determinada pela equação d P CM dt = F ext = F 1 + F, PCM = M d R CM dt = M V CM. 0.) Portanto, o movimento do centro de massa pode ser determinado integrando a equação d V CM dt = F 1 + F ) M = V CM = F 1 + F ) M t. 0.3) Integrando novamente, obtemos o vetor posição do centro de massa para um instante t qualquer: dr CM = F 1 + F ) dt M t = R CM = R CM 0 + F M î+ĵ)t. 0.4) R CM = 1 [m 1 d 1 + F ) M t î+ m d + F ) ] t ĵ b) A velocidade do centro de massa foi obtida no item anterior, e o momento linear é dado por V CM = F 1 + F ) M t 0.5) P CM = M V CM = F 1 + F )t. 0.6) c) Nada mudaria, pois as forças devido à mola são forças internas, não influindo no movimento do centro de massa do sistema.

2 0.1 Sistema de partículas e momento linear. Uma vez que o atrito entre a canoa e a água é desprezível, a força resultante sobre o sistema formado pela canoa, João e Maria é nula durante todo o movimento. Conseqüentemente, o momento linear do sistema permanece constante durante o movimento, ou seja, é nulo em qualquer instante, pois era nula inicialmente. Seerda de generalidade, escolhemos o eixo OX na direção do movimento e apontando no sentido de João para maria antes que trocassem de lugar. Escrevemos, então, m J v xj +m M v xm +m c v xc = ) Integrando no tempo a equação anterior desde o instante inicial até o final, obtemos m J tf tf tf v xj dt+m M v xm dt+m c v xc dt = 0, t i t i t i o que nos leva a m J x J +m M x M +m c x c = ) Como m J > m M, a canoa se desloca para a esquerda, o que nos permite escrever x c = d; x J = l d; x M = l d. 0.9) Substituindo as expressões anteriores na equação 0.8), obtemos a massa de Maria: m J l d)+m M l d) m c d = 0 = m M = m Jl m J +m c )d l+d. 0.10) É oportuno fazer um breve comentário a respeito do resultado anterior. Ele só faz sentido se os valores assumidos pordse restringirem a um certo intervalo. Para chegarmos a essa conclusão, basta manipular a equação 0.10) e expressardem função dem J,m M,m c el como lembre-se de que m J > m M ) d = m J m M m J +m M +m c l. 0.11) Para m M m J temos d 0 e para m M 0 o que na prática não é uma hipótese realista, pois uma pessoa em idade capaz de andar raramente tem menos do que alguns

3 0.1 Sistema de partículas e momento linear 3 quilos), temos d m J l/m J +m c ). Desse modo, a resposta 0.10) só faz sentido caso d esteja no intervalo 0 < d < m J m J +m c l. 0.1) 3. a) Para que a canoa se afaste da linha de tiro do tropedo, ela deve se deslocar para direita. Utilizando o Princípio da Conservação do Momento Linear, escrevemos m x p +M x c = 0 = x c = m M x p, 0.13) onde x p e x c correspondem, respectivamente aos deslocamentos da pessoa e da canoa. Para que x c > 0 deslocamento para a direita) devemos ter x p < 0, ou seja, a pessoa deve se deslocar para a esquerda, no sentido da linha de tiro! b) Supondo que a pessoa ande o máximo possível para a esquerda, temos x p = x p l. 0.14) Substituindo essa expressão na equação 0.13), obtemos, m x c l ) +M x c = 0 = x c = ml/ m+m. 0.15) Para evitar que o torpedo atinja a canoa, x c deve satisfazer à condição: x c > l 4 = ml/ m+m > l 4 = m M > ) A figura a seguir ilustra a situação limite, isto é, na qualm = M e a pessoa caminha o máximo possível para a esquerda. Nesse caso, note que o extremo esquerdo da canoa está exatamente na linha de tiro do torpedo. Na figura, desenhamos com linhas tracejadas a pessoa e a canoa em suas antigas posições, quando a pessoa estava exatamente sobre o centro de massa da canoa. m C M = m l/4 l/4

4 0.1 Sistema de partículas e momento linear 4 4. a) A partir do Princípio da Conservação do Momento Linear, podemos escrever veja o problema anterior) m A x A +m C x C +m c x c = ) Lembrando que André e Cecília vão de um extremo da canoa ao outro, que o sentido do eixo OX aponta de André para Cecília antes de trocarem seus lugares e que a canoa possui comprimento l, temos, x A = x c +l e x C = x c l, 0.18) expressões que substituídas na equação 0.17) nos levam ao resultado x c = m A m C m A +m C +m c l. 0.19) Uma inspeção direta no resultado anterior nos mostra que x c > 0 se m A > m C, x c < 0 sem A < m C e x c = 0 sem A = m C. b) O resultado obtido no item anterior não depende do modo como André e Cecília se movimentam durante a troca de posições. De fato, não fizemos nenhuma restrição ao tipo de movimento deles na demonstração desse resultado. 5. Primeiramente note que como não existem forças externas aplicadas na direção horizontal, a componente horizontal do momento linear do sistema sapo-plataforma se conserva. Observe, ainda, que essa componente é inicialmente nula. Com isso, escrevemos m s v 0x + V p = 0, 0.0) onde v 0x é a componente horizontal da velocidade do sapo imediatamente após o salto isto é, assim que perde o contato com a plataforma) e V p é a velocidade horizontal da plataforma nesse mesmo instante. Nessa equação, m s e são, respectivamente, as massas do sapo e da plataforma. Usando o fato de que v 0x = v 0 cos 45 o = v 0 /, obtemos V p = ms ) v0. 0.1)

5 0.1 Sistema de partículas e momento linear 5 Pode-se mostrar, facilmente, que o intervalo de tempo transcorrido durante todo o salto do sapo é dado por t = v 0 sen45 o g = v 0 g Nesse intervalo, a distância horizontal percorrida pelo sapo é dada por. 0.) x s = v 0 cos45 o t = v 0 g. 0.3) Durante esse mesmo intervalo, a plataforma terá se deslocado de ) ms v0 v x p = v p t = 0 = g Posição inicial l ms ) v 0 g. 0.4) Posição final x s x p Analisando a figura, vemos que na situação limite em que o sapo cai exatamente na extremidade oposta da plataforma vale a relação l+ x p = x s. 0.5) Esta é a situação limite, na qual o sapo possui uma velocidade inicial v 0L que se for ultrapassada fará com que ele caia no lago. Substituindo as eqs. 0.3) e 0.4) em 0.5), temos l ms ) v 0L g = v 0L g. 0.6) Finalmente, resolvendo para v 0L, obtemos gl v 0L = 1+m s / ). 0.7)

6 0.1 Sistema de partículas e momento linear 6 Note que quanto maior a massa da plataforma, menor o seu deslocamento duranto o salto do sapo e, conseqüentemente, maior será o valor de v 0L. No entanto, v 0L não cresce indefinidamente, pois mesmo no limite em que a massa da plataforma é infinitamente grande, temos v 0L gl. 6. a) O centro de massa do sistema pode ser calculado como se toda a massa de cada esfera estivesse concentrada no centro de massa de cada uma delas. Como se tratam de esferas homogêneas, seus respectivos centros de massa estão localizados em seus centros. Usando, então, a definição de centro de massa e os dados do enunciado, podemos escrever m 1 +m )X cm = m 1 0+m r 0 = 4m 1 X cm = 3m 1 r 0 = X cm = 3 4 r 0, onde X cm é a posição inicial do centro de massa do sistema. b) Sejam x 1 e x as respectivas posições dos centros das duas esferas no instante em que se chocam. Como não há força externa ao sistema, o seu centro de massa permanece em repouso durante todo o movimento das esferas. Com isso, podemos escrever: m 1 +m ) 3 4 r 0 = m 1 x 1 +m x = x 1 +3x = 3r ) Como, nesse instante, as esferas estão em contato, podemos afirmar que x = x 1 +R. 0.9) Para encontrarmos os valores dex 1 ex, devemos resolver o sistema formado pelas duas últimas equações. Substituindo 0.79) em 0.78), obtemos ou seja, x 1 +3x 1 +R) = 3r 0 = 4x 1 = 3r 0 6R, Substituindo a equação anterior em 0.79), obtemos x 1 = 3 4 r 0 3 R. 0.30) x = 3 4 r R. 0.31)

7 0.1 Sistema de partículas e momento linear 7 c) Como a força resultante externa é nula, o momento linear do sistema se conserva. Como as únicas forças que realizam trabalho são conservativas, a energia mecânica do sistema também se conserva. d) Sejam v 1 e v os respectivos módulos das velocidades das esferas no instante em que colidem. Como o momento linear do sistema se conserva, podemos escrever m 1 v 1 m v = ) Em contrapartida, usando a conservação da energia mecânica do sistema e lembrando que a energia potencial gravitacional entre duas esferas homogêneas de massas m 1 e m é dada por Gm 1 m /r 1, onde r 1 é distância entre seus centros, podemos escrever: Gm 1m r 0 = Gm 1m R + 1 m 1v m v. 0.33) Param = 3m 1, obtemos o seguinte sistema de equações para v 1 e v : v 1 = 3v 0.34) 3G = 3G r 0 R + v 1 + 3v. 0.35) Substituindo 0.84) em 0.85) e resolvendo para v, obtemos v = { G r } 1/ 0 R). 0.36) 4Re 0 Obviamente, a velocidade v 1 é obtida pela relação v 1 = 3v, com v dada pela equação anterior.