y c = y(t c ) = (1/2)a 2 t 2 c = a 2( v a 1 D v 0 ) 2 2a 2 1

Transcrição

1 Questão 1 a) valor = (1,0 pontos) Como a aceleração a é constante, v(t) = v(0) + at = v 0 î + (a 1 î + a ĵ)t v(t) = (v 0 + a 1 t)î + a tĵ r(t) = r(0) + v(0)t + (1/) at = v 0 t î + (1/)(a 1 î + a ĵ)t r(t) = [v 0 t + (1/)a 1 t ]î + (1/)a t ĵ b) valor = (1,0 pontos) Se t c é o instante da colisão do íon com a placa em x = D, então x(t c ) = D, e assim v 0 t c + (1/)a 1 t c = D = (1/)a 1t c + v 0t c D = 0 Ignorando a raiz negativa da equação quadrática, t c = v 0 + a 1 D v 0 a 1 y c = y(t c ) = (1/)a t c = a ( v 0 + a 1 D v 0 ) a 1 c) valor = (0,5 pontos) No intervalo 0 t t c o vetor velocidade nunca fica perpendicular ou paralelo ao vetor aceleração. (i) Para que o vetor velocidade seja perpendicular ao vetor aceleração, é necessário que v a = 0: v a = v x a x + v y a y = (v 0 + a 1 t)a 1 + a t = v 0 a 1 + (a 1 + a )t Como v 0 e a 1 são positivos, a equação v a = 0 não possui solução para t > 0. (ii) Se o vetor velocidade for paralelo ao vetor aceleração, o produto vetorial v a se anula. Até o instante t = t c, v a = [(v 0 + a 1 t)î + a tĵ] (a 1 î + a ĵ) = (v 0 + a 1 t)a ˆk a1 a tˆk v a = v 0 a ˆk. Portanto, o produto vetorial v a permanece constante e diferente de zero para 0 t t c. 1

2 Questão a) valor = (0,8 pontos) No bloco superior agem três forças : (1) o peso, P 1 = m 1 g k, exercida pela Terra; () a força externa, k, exercida pelo agente externo; (3) a tensão no topo da corda, T k, exercida pela corda. Na corda temos também três forças : (4) o peso : PC = M g k, exercida pela Terra; (5) a tensão no topo da corda, +T k, exercida pelo bloco superior; (6) a tensão no fundo da corda, T k, exercida pelo bloco inferior. inalmente sobre o bloco inferior agem duas forças : (7) o peso : P = m g k, exercida pela Terra; (8) a tensão no fundo da corda, +T k, exercida pela corda. b) valor = (0,6 pontos) As equações de Newton são : m 1 a 1 = m 1 g T + m a = m g + T M a C = Mg + T T

3 c) valor = (0,3 pontos) Denotamos a aceleração commum aos três corpos por a =a 1 =a = a C. Com a massa total = m 1 + m + M, obtemos : a = g + d) valor = As tensões são obtidas como : T = m + M ; T = m e) valor = A tensão no meio da corda T (1/) pode ser calculada ao considerar o bloco inferior mais a metade da corda como um corpo só de massa m := m + M/. Com a aceleração a calculada acima, escrevemos a equação de Newton para esse bloco engordado : m a = m g + T (1/), donde : T (1/) = m Como a corda é homogênea, podemos admitir que a tensão varia linearmente entre o topo e o fundo da corda de modo que no meio temos T (1/) = T + T = m 3

4 Questão 3 a) valor = (1,5 pontos) A força de atrito é uma força não-conservativa onde a energia dissipada é dada por E = W fat. Como o coeficiente de atrito cinético não é constante, a força de atrito cinético também não o é ao longo do deslocamento da massa m. Portanto, W fat f at S. De fato, poderíamos a princípio obter o trabalho por W fat = d+s f at d s mas não sabemos 0 a priori a dependência do coeficiente de atrito µ c com a posição do bloco. No entanto, o teorema do trabalho-energia cinética nos diz que: K = W total K = W el + W Peso + W N + W fat Como as forças Normal e Peso são constantes e atuam durante todo o deslocamento o trabalho de cada uma delas é dado por: W N = N S = 0, já que o deslocamento é perpendicular à força Normal. W P = P S = mg(d + s)senθ A força elástica da mola não é constante durante o deslocamento s em que atua, e o seu trabalho é dado por: W el = 1/ks. De acordo com os resultados de W N, W Peso e W el, e como K = 0: Como E = W NC = W fat < 0, W fat = W Peso + W el = mg(d + s)senθ 1 ks E = 1 ks mg(d + s)senθ < 0 b) valor = (1,0 pontos) Como o bloco se encontra em equilíbrio nesta situação, a segunda lei de Newton para o eixo que passa ao longo do plano inclinado(veja o referencial indicado na figura), com a tendência do bloco deslizar para cima, nos diz que: elmax f at,e mgsenθ = 0 ks µ e mgcosθ mgsenθ = 0 µ e = ks mgsenθ mgcos θ ks > mgsenθ pois µ e > 0 4

5 Questão 4 a) valor = (1,0 pontos) A energia mecânica conserva-se pois não há forças dissipativas agindo sobre a criança: a normal N não realiza trabalho e a força-peso P é uma força conservativa. (0,3 pontos) As energias mecânicas nos pontos A e B são: E A = mgr e E B = mvb / + mgrcos θ. Como a energia mecânica conserva-se E A = E B : (0,3 pontos) mv B + mgr cos θ = mgr v B = gr(1 cosθ). (1) b) valor = (0,8 pontos) Na direção OB a componente da força resultante é a força radial rad (apontando para o centro); considerando ˆr no sentido de O para B: radˆr = P cos θˆr + Nˆr mv B R = mg cos θ N. () igure 1: Diagrama de forças c) valor = (0,7 pontos) A criança perde o contato com o domo esférico no ponto em que a força normal se anula. azendo N = 0 na Eq. () temos mv R = mg cos θ e isto implica que v = gr cosθ. Igualando esta expressão com a Eq. (1) temos gr cos θ = gr gr cosθ cos θ = 3, (3) a altura que a criança cai é h = R cos θ, portanto, (0,3 pontos) h = 3 R 5