massa do corpo: m; constante elástica da mola: k.

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1 Um corpo, de massa m, está preso a extremidade de uma mola, de constante elástica k, e apoiado sobre uma superfície horizontal sem atrito. A outra extremidade da mola se encontra presa em ponto fixo. Afasta-se o corpo da posição de equilíbrio e libera-se o corpo. Determine: a) A equação de movimento do corpo; b) A velocidade em função da massa m, da constante elástica k, da amplitude A e da distância x entre o corpo e o ponto de equilíbrio da mola; c) O módulo da velocidade máxima; d) A aceleração em função da massa m, da constante elástica k e da distância x entre o corpo e o ponto de equilíbrio da mola; e) O módulo da aceleração máxima; f) A energia cinética; g) A energia potencial; h) A energia total. Dados do problema massa do corpo: m; constante elástica da mola: k. Esquema do problema Adota-se um sistema de referência com sentido positivo para a direita. O bloco é deslocado e solto a força elástica da mola fará com que retorne à posição de equilíbrio, a velocidade estará apontando no sentido contrário do referencial e aumentando em módulo no sentido da posição de equilíbrio (figura 1). Solução figura 1 a) Aplicando a. a Lei de Newton F = m d x (I) temos que a única força que atua no bloco é a força elástica da mola ( F E ), dada por F E = k x (II) o sinal de negativo na força elástica representa que ela atua contra o sentido do deslocamento do bloco (atua no sentido de restabelecer o equilíbrio). Substituindo a expressão de (II) em (I), obtemos k x = m d x m d x k x = 0 esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de. a Ordem. Dividindo toda a equação pela massa m, temos 1

2 d x k m x = 0 fazendo a definição 0 k m, escrevemos d x 0 x = 0 a solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições x = e t d x = e t d e t 0 e t = 0 e t 0 = 0 0 = 0 e t 0 = 0 = 0 = 0 1, = ± 0 i x = e t a solução será x = C 1 e 1 t C e t x = C 1 e 0 i t C e 0 i t onde C 1 e C são constantes de integração, usando a Relação de Euler (leia-se óiler) e i θ = cos θi sen θ x = C 1 cos 0 ti sen 0 t C cos m 0 t i sen 0 t x = C 1 cos 0 ti C 1 sen 0 tc cos 0 t ic sen 0 t coletando os termos em seno e co-seno, temos x = C 1 C cos 0 t i C 1 i C sen 0 t x = C 1 C cos 0 t i C 1 C sen 0 t definindo duas novas constantes α e β em termos de C 1 e C, ficamos com C 1 C e i C 1 C x = cos 0 t sen 0 t (IV) multiplicando e dividindo esta expressão por x = x = cos 0 t sen 0 t cos 0 t sen 0t

3 fazendo as seguintes definições A, cos φ e sen φ x = A cos φ cos 0 t sen φ sen 0 t Observação: lembrando da seguinte propriedade trigonométrica oos a b = cosa cos bsena senb x = A cos 0 t φ b) A velocidade é dada por v = d x derivação de x = A cos 0 t φ a função x( t ) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo d x [ut ] = d x com xu = cos u e ut = 0 t φ, assim as derivadas serão d x = sen u = sen 0t φ e = 0 d x = A [ sen 0t φ. 0 ] = 0 A sen 0 t φ v = 0 A sen 0 t φ (V) sendo o seno dado por cos θsen θ = 1 senθ = 1 cos θ v = 0 A 1 cos 0 t φ v = 0 A [ 1 cos 0 t φ ] (VI) escrevendo a solução do item (a) na forma cos 0 t φ = x A cos 0 t φ = x A (VII) 3

4 substituindo a expressão (VII) em (VI) e a definição de 0 feita acima, temos v = k m A v = k m A 1 x A A x A v = k m A x c) Na solução do item (b) analisando o termo entre parênteses A x temos que x é sempre positivo, portanto este termo terá um valor máximo para x = 0, assim o módulo da velocidade máxima será v máx = k m A 0 v máx = k m A v máx = A k m d) A aceleração é dada por derivando a expressão (V) do item (b), temos a = d v derivação de v = 0 A sen 0 t φ a função v( t ) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo d x [ut ] = d x com v u = sen u e ut = 0 t φ, assim as derivadas serão d v = cos u = cos 0t φ e = 0 d v = 0 A [ cos 0 t φ. 0 ] = 0 A cos 0 t φ a = 0 A cos 0 t φ comparando esta expressão com a solução do item (a) e com a definição de 0 obtemos feita acima, 4

5 a = k m A cos 0t φ x a = k m x e) A aceleração máxima ocorre para o valor máximo de x que ocorre quando a amplitude é máxima, ou seja, x = A, assim a máx = k m A f) A energia cinética é dada por E C = mv (VIII) substituindo a expressão (V) em (VIII) E C = m 0 A sen 0 t φ E C = m 0 A sen 0 t φ substituindo a definição de 0 feita acima, temos E C = m 0 A sen 0 t φ E C = m k A sen 0 t φ m E C = k A sen 0 t φ g) A energia potencial elástica é dada por E P = k x (IX) substituindo a solução do item (a) na expressão (IX) E P = k [ A cos 0 t φ ] E P = k A cos 0 t φ 5

6 h) A energia total será dada pela soma dos resultados dos itens (f) e (g) E T = E C E P E T = k A sen 0 t φ k A cos 0 t φ E T = k A [ sen 0 t φ cos 0 t φ ] da Trigonometria temos que cos θsen θ = 1, assim obtemos E T = k A 6