Esquema do problema Dados do problema

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Jerónimo Mota Canedo
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1 Um reservatório cilíndrico tem por base um espelho esférico côncavo E, cuja face refletora é voltada para o interior do cilindro. O vértice do espelho é o ponto V e seu raio de curvatura vale 16 cm, o eixo principal do espelho é vertical e coincidente com o eixo do cilindro. O interior desse cilindro está cheio de água até uma altura VA = 8 cm. Sobre o eixo do cilindro e acima da água encontra-se um objeto a 0 cm de V. Sendo o índice de refração da água 4/3, determinar a posição da imagem final produzida por refração na água e reflexão no espelho. Esquema do problema figura 1 Dados do problema distância do objeto ao espelho: p = 0 cm; raio de curvatura do espelho: R = 16 cm; índice de refração da água: n = 4 3 ; adotando-se o meio externo como sendo o ar, índice de refração do ar: n 1 = 1. Solução A distância focal do espelho é dada por f = R 1

2 f = 16 f = 8 cm O foco do espelho está situado no ponto A na superfície de separação entre o ar e a água. Usando a propriedade dos espelhos esféricos que diz que todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo principal é refletido passando pelo foco principal do espelho obtemos a situação mostrada na figura. O raio de luz vindo do objeto incide perpendicularmente na superfície de separação ar/água e passa sem sofrer desvio, o raio reflete no espelho em direção ao foco e neste ponto é refratado. O raio refletido incide na superfície de separação formando um ângulo i 1 e é refratado para o meio externo formando um ângulo r 1 com a normal. figura Tomando-se um segundo, este ao incidir na superfície de separação ar/água é refratado em direção ao vértice do espelho, usando a propriedade de que todo raio de luz que incide no vértice do espelho reflete-se de forma simétrica ao eixo principal temos a situação mostrada na figura 3. O raio de luz incide na água formando um ângulo i com a normal e é refratado para dentro da água formando um ângulo r, o raio de luz incide, então, no vértice do espelho com este mesmo ângulo r (estes ângulos são alternos internos). O raio de luz é refletido simetricamente formando um ângulo r e incide na superfície interna da água com este ângulo r (são ângulos são alternos internos) e é refratado para o ar com o mesmo ângulo i com que incidiu na água. figura 3

figura 4 Consideremos o primeiro raio refletido no espelho e refratado para o meio

3 Do cruzamento entre os dois raios ta temos o ponto onde se forma a imagem i. A distância p' é o valor a ser calculado. figura 4 Consideremos o primeiro raio refletido no espelho e refratado para o meio (mostrado em destaque na figura 5), aplicando a Lei de Snell-Descartes (leia-se snél-decárte), temos n sen i 1 = n 1 sen r 1 figura 5 3

4 Fazendo a aproximação senθ tg θ para i 1 e r 1 pequenos, podemos re-escrever a Lei de Snell-Descartes da seguinte forma n tg i 1 = n 1 tg r 1 (I) Atenção: considerando o círculo trigonométrico, para pequenos ângulos o valor do seno medido ao longo do eixo-y é aproximadamente igual ao valor da tangente medida sobre a reta tangente ao círculo trigonométrico e o valor do co-seno medido ao longo do eixo-x é aproximadamente igual a 1 (figura 6). Se tiver dificuldade em entender essa aproximação pense com valores numéricos, por exemplo: para θ = 1 o = 0, radianos sen 1 o = 0,01745 tg 1 o = 0, cos 1 o = 0, figura 6 para θ = 5 o = 0,08766 radianos sen 5 o = 0, tg 5 o = 0, cos 5 o = 0, Da trigonometria temos tg i cateto oposto 1 = catetoadjacente = o f tg r 1 = cateto oposto catetoadjacente = substituindo estes valores na expressão (I), obtemos i p' f o n f = n i 1 p' f i o = n p' f n 1 f (II) Consideremos o segundo raio ele incide na superfície da água a uma distância x do eixo principal do espelho (figura 7),o raio refratado atinge o vértice do espelho refletindo com o mesmo ângulo ( r ). Como o raio é refletido com o mesmo ângulo, ele atinge a interface ar/água à mesma distância x e assim refrata de volta ao ar com o mesmo ângulo i (mostrado em destaque na figura 7). Aplicando a Lei de Snell-Descartes ao raio incidente, temos n 1 sen i = n sen r Usando novamente a aproximação senθ tg θ para i e r pequenos, podemos reescrever a Lei de Snell-Descartes da seguinte forma n 1 tg i = n tg r (III) As tangentes serão dadas por tg i cateto oposto = catetoadjacente = o x p f 4

tg r cateto oposto = cateto adjacente = x f substituindo estes valores na expressão (III), obtemos o x n 1 p f = n x f (IV) figura 7 Considerando o raio refletido pelo espelho ele incide na interface

5 tg r cateto oposto = cateto adjacente = x f substituindo estes valores na expressão (III), obtemos o x n 1 p f = n x f (IV) figura 7 Considerando o raio refletido pelo espelho ele incide na interface ar/água a uma distância x do eixo principal do espelho,o raio refratado desvia-se de um ângulo ( i - mostrado em destaque na figura 7). Aplicando a Lei de Snell-Descartes ao raio refletido, temos n senr = n 1 seni Usando novamente a aproximação senθ tg θ para i e r pequenos, podemos reescrever a Lei de Snell-Descartes da seguinte forma n tg r = n 1 tgi (V) As tangentes serão dadas por tgi cateto oposto = catetoadjacente = i x p' f tg r cateto oposto = cateto adjacente = x f substituindo estes valores na expressão (V), obtemos 5

6 n x f = n 1 i x p ' f (VI) Re-escrevendo a expressão (IV) da seguinte forma n 1 f o x = n x p f n 1 f o n 1 f x = n x p n x f n 1 f o = n x p n x f n 1 f x colocando x em evidência do lado direito da igualdade, obtemos n 1 f o = x n p n f n 1 f (VII) Re-escrevendo a expressão (VI) da seguinte forma n x p' f = n 1 f i x n x p' n x f = n 1 f i n 1 f x n x p' n x f n 1 f x = n 1 f i colocando x em evidência do lado esquerdo da igualdade, obtemos x n p ' n f n 1 f = n 1 f i n 1 f i = x n p' n f n 1 f (VIII) Dividindo (VIII) por (VII), temos n 1 f i n 1 f o = x n p' n f n 1 f x n p n f n 1 f simplificando o termo n 1 f do lado esquerdo da igualdade e x do lado direito ficamos com i o = n p ' n f n 1 f n p n f n 1 f (IX) Igualando as expressões (II) e (IX), temos n n 1 p' f f = n p' n f n 1 f n p n f n 1 f multiplicando em cruz n p' f n p n f n 1 f = n 1 f n p' n f n 1 f n p' n f n p n f n 1 f = n 1 f n p' n f n 1 f n p p' n f p' n 1 n f p ' n pf n f n 1 n f = n 1 n f p' n 1 n f n 1 f simplificando os termos n 1 n f p' e n 1 n f de ambos os lados da igualdade n p p' n f p' n pf n f = n 1 f n p p' n f p' = n 1 f n pf n f colocando n p ' em evidência do lado esquerdo da igualdade e n f do lado direito,obtemos p' n p f = n 1 f f n p f p' = n 1f f n p f n p f 6

7 p' = n 1f n p f f n p f n p f como n p f = 1 o cálculo de p' será dado por n p f p' = n 1 f n p f f substituindo os dados do problema e o valor do foco calculado, temos p' = p' = p' = p' = 3 8 p' = 11 A imagem se formará a 11 cm do vértice do espelho ou a p' f = 11 8 = 3 cm acima da água. 8 7

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