Prof. V ictor Brasil Elementos de Física - Turma de 6 horas 2018/2

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Prof. V ictor Brasil Elementos de Física - Turma de 6 horas 08/ Exercícios L8 Gabarito: Resposta da questão : a) A resolução é simples, bastando lembrar que a imagem produzida pelo espelho plano e o objeto tem a mesma distância ao espelho plano, como demonstrado no desenho abaixo: Então, a distância, em metros, entre I P e I C, é: d = d = 8 m b) Com os dados da figura, distância do objeto ( do ) e a distância da imagem ( ) usar a equação de Gauss para determinarmos a distância focal ( f. ) = + = = f = 4 m f di do f 4 f 4 di, podemos De acordo com o enunciado, o aumento linear ( A ) será igual a 3 da altura do menino, assim podemos relacionar a expressão do aumento linear da imagem com a equação de Gauss: A = di = di di = do do 3 do 3 Aplicando na equação de Gauss: 3 = + = + = = do = 8 m f di do 4 do do 4 do do 4 do 3 Página de 8

2 Resposta da questão : No diagrama abaixo, foi utilizado conhecimentos de trigonometria para determinar o ângulo de incidência do raio luminoso do meio para o meio. Usando a Lei de Snell juntamente com a definição de índice de refração, podemos relacionar as velocidades da luz em cada meio: n sen θ = n sen θ sen θ sen θ v sen θ v c = = n = v v sen θ v Assim, substituindo os valores: m s v sen θ 5 8 v = = v =, 0 m s sen θ Resposta da questão 3: a) De acordo com a Lei de Snell: n sen β = n sen θ 4 sen β = 0,8 sen β = 0,6 3 b) Considerando a figura, podemos identificar triângulos retângulos que serão úteis para a resolução com o auxílio da trigonometria. Da trigonometria: Página de 8

3 sen θ = 0,80 cosθ = 0,80 4 sen θ cosθ = 0,60 tan θ = = 0,60 3 sen β = 0,80 cosβ = 0,60 3 sen β cosβ = 0,60 tan β = = 0,80 4 Ainda temos que: cateto oposto à α tan α =, então: cateto adjacente à α d' tan θ= d' = x' tan θ x' d' tan β = d' = x tan β x Juntando as duas equações temos: x tan β d' = x' tan θ= x tan β x' = = = x' =,5 m tan θ Logo, a distância procurada é: d = x x' d =,5 d = 0,875 m Resposta da questão 4: Como a espessura das camadas é muito menor que o raio do planeta, podemos considerar as superfícies que separam as camadas como paralelas. Pela Lei de Snell, temos: n sen30 = n sen θ (I) 0 k+ k+ Condição para reflexão total: nk senθk + = senl = sen θk + = (II) nk+ 0,9 Como o índice de refração decai 0% a cada camada: k+ nk+ = 0,9 n 0 (III) Substituindo (II) e (III) em (I), vem: k+ 9 n0 = 0,9 n0 = 0,9 0 Aplicando log em ambos os lados da equação: k 9 log = log log = k ( log9 log0) 0 ( ) 0,3 = k 0,95 k = 6 k Portanto, haverá reflexão total da 6ª para a 7ª camada, e o raio alcançará uma altitude máxima de 7 km. Resposta da questão 5: a) Devido à diferença entre os índices de refração entre o vidro e o ar, pela Lei de Snell- Descartes, o raio de luz que incide com ângulo não nulo sofre desvio que pode ser observado pela mudança entre os seus ângulos de incidência e refração. Página 3 de 8

4 b) Adotando c c 3 0 n = v = = v n,5 8 v = 0 m s 8 c = 3 0 m s, temos: 8 Resposta da questão 6: a) Analisando a figura (a) obtêm-se os seguintes dados: p a ; p' = 0cm. Aplicando a equação dos pontos conjugados: 0 ' = + = + f = p f p ' a =,0 cm. a p f a ' pa Da figura (b), pb = 50 cm. Aplicando novamente a equação dos pontos conjugados: ' pb f ' = + p ' b = = = pb =,083 cm. f p p p f b b b Calculando o deslocamento sofrido pela lente: ' b ' a d = p p =,083,0 d = 0,083 cm b) Dados: c = 3 0 m s; λ =.050 nm = m; Δt = 70 fs = 70 0 s. Da equação fundamental da ondulatória obtém-se o período da onda. 9 λ c = = T = 3,5 0 s T = 3,5 fs. T Calculando o comprimento do pulso emitido: L = c Δt = L = 0 0 m. Página 4 de 8

5 O número de comprimentos de ondas contidos num pulso é: 7 L 0 0 n = = n = 0. λ Resposta da questão 7: a) O foco está no ponto médio entre o centro de curvatura do espelho e seu vértice, sendo assinalado na figura abaixo: b) Determinação gráfica da imagem com no mínimo dois raios notáveis, suas reflexões com seus respectivos prolongamentos: c) Para determinar o tamanho da imagem, usamos a equação de Gauss e sua relação com o aumento: = + = + = = di = 7,5 cm f di do 5 di di 5 di i di i ( 7,5 ) A = = = i = 5 cm o do 3 Portanto, a imagem tem 5 cm de altura. Resposta da questão 8: a) Da figura, obtemos: i p ' 3h p ' = = p ' = 60 cm o p h 0 3 = + = = = f p p ' f 0 60 f f = 30 cm b) Para a face convexa, f = 30 cm, logo: Página 5 de 8

6 3 = + = + = f p p ' 30 0 p ' p ' 60 = p ' = cm p ' p ' A = = p 0 A = 0,6 Resposta da questão 9: a) Nota-se que tanto a imagem produzida pela lente objetiva quanto a imagem produzida pela lente ocular são reais, para tanto, há necessidade de lentes convergentes nos dois casos. As lentes divergentes possuem somente um tipo de imagem (virtual, direita e menor). Nota-se que a imagem (i) é real, invertida e menor e a imagem (i), virtual, direita e maior. b) A ampliação é dada pela razão entre a distância focal da objetiva (f ob ) e a distância focal da ocular (f oc ). Utiliza-se a equação de Gauss para obter a distância focal da ocular (f oc ). ob = + f d d oc i i Do esquema dado: d = 5 cm i di = 30 cm (imagem virtual) Substituindo: 6 5 = + = = foc = 6 cm foc 5 cm 30 cm 30 cm foc 30 cm Então, podemos calculara a ampliação (A) : f A = f f ob oc = 0 cm 0 cm A = A = 0 6 cm Resposta da questão 0: a) O resultado é dado por: 8 π π 6mm. b) O ponto próximo para a visão de uma pessoa que apresenta a variação da vergência de,5 di, ou seja, uma pessoa com hipermetropia é expressa pela Equação de Gauss ajustada para a vergência: V = d N d H Onde: V = vergência em dioptrias (di) que significa o inverso da distância focal da lente em metros; d é a distância mínima de visão para um olho normal; N d é a distância mínima de visão para um olho hipermetrope. H Substituindo os valores e calculando d H, temos: Página 6 de 8

7 ,5 m = = 4 m,5 m =,5 m dh = 0,667 m 0,5 m d d d H H H Resposta da questão : Aplicando a Lei de Snell, é possível encontrar o valor no ângulo θ ( θ ) ( θ ) n sen = n sen = sen sen( θ ) = θ = 30 ( θ ) Com o valor deste ângulo, pela análise do triangulo destacado, é possível achar o valor da distância D. tg ( θ ) D = 3 3 D = 4 4 D = D = 3 D,3mm ( θ ) ( θ ) sen D = = sen Resposta da questão : a) Dados: nar = ; nágua =. Da Fig, se h = d θ = 45. Página 7 de 8

8 Comentário: vale a pena ressaltar que a imagem do alvo (A) não se forma no ponto A. Limitamo-nos a dar a resposta esperada pelo examinador, sem causar polêmica. Aplicando a lei de Snell na Fig : nar sen θi = nágua sen θr sen 45 = sen θ r = sen θr sen θr = θr = 30. Ainda na Fig, no triângulo retângulo A BC: x x 3 x tg θ r = tg 30 = = h h 3 h 3 x = h. 3 b) A figura ilustra o lançamento. No referencial mostrado na figura, as componentes da velocidade inicial são: v0 v0x = v0 cos 60 v0x = -v0 3 v0y = v0 sen 60 v0y = Página 8 de 8

9 Na horizontal, o movimento é uniforme, com x0 = 0. d d x = x0 + v0x t d = v0x t t = t =. v0 v0 Na vertical, o movimento é uniformemente variado, com a = - g. a v 0 3 d g d g 4 d 0 0y v 0 v0 v0 y = y + v t + t d = d = 3 d 3 d d v 0 v ( ) ( + ) g d g d g d 3 = = = v 3 d v = g d 3 +. Resposta da questão 3: a) Dados: D = 0 cm; razão focal, r = 9; comprimento do telescópio, L = 9, m. Do enunciado: fob fob r = 9 = fob = 938 cm. D 0 O esquema a seguir representa a imagem conjugada por um telescópio refrator. Notemos que a imagem real de um objeto impróprio fornecida objetiva (I) forma-se no foco imagem dessa lente (F ob). Essa imagem deve estar à distância p da ocular, entre ela e seu foco objeto (Foc).A distância (L) entre as duas lentes, que é o comprimento do tubo, deve ser: L = f + p ob O caso limite, mínimo comprimento do tubo, ocorre quando os dois focos coincidem, ou seja, p = foc. Nesse caso: L = f + f ob oc Porém, de acordo com o enunciado, o comprimento do tubo (9, m) é menor que a distância focal da objetiva (9,38 m), mostrando que os dados estão inconsistentes, tornando impossível a resolução final desse item. b) O aumento visual (ampliação angular) (G) é dado pela razão entre as distâncias focais da objetiva e da ocular, mas esse item também torna-se impossível de ser resolvido, uma vez Página 9 de 8

10 que foi impossível determinar a distância focal da ocular. Caso fosse possível, a expressão é: fob G =. f oc Resposta da questão 4: a) Dados: P0 = 4 W; d = m; π = 3; θ = 60. Combinando as expressões dadas: I = I0 cos θ P0 4 P 0 I = cos θ = cos 60 = I 0 4π d 4 3 = = 8 4π d I = 0,5 W / m. b) Dados: θb = 60 ; θb + θr = 90 ; n =. θb + θr = θr = 90 θr = 30. Na lei de Snell: 3 n sen θb = n sen θr n sen 60 = n sen 30 = n n = 3. Resposta da questão 5: a) ANTES: DEPOIS: H 0cm H.d = 0D D d H 5cm H.d = 5(D + 5) D 5m d 0D = 5(D 5) 0D = 5D 5 5D = 5 Página 0 de 8

11 D = 45m b) A imagem irá diminuir. Observe a justificativa: H h H.d = h.d D d H.d h = D Note que para H e D constantes a h é diretamente proporcional a d, ou seja se d diminui h também diminui. Vale salientar que apesar da imagem diminuir ela ficará mais nítida sobre a tela, uma vez que, a mesma intensidade luminosa será projetada em uma área menor, aumentado a nitidez. Resposta da questão 6: a) A correção da miopia é feita com lente divergente que tem vergência (V) negativa. Assim, da tabela dada: V = -3,00 di. A distância focal (f) é o inverso da vergência. f = = = m f = 0,33m V 3 3 b) Como o olho do míope é alongado, a imagem forma-se antes da retina. Se o objeto está distante, ele é impróprio, enviando para os olhos um feixe cilíndrico. OBS: A distância relativa da lente aos olhos proposta pelo examinador está exageradamente fora de escala, dificultando a elaboração da figura II. Resposta da questão 7: a) Justificando com um desenho. A figura mostra a posição da Lua relativamente à Terra e ao Sol, em dois tipos de eclipse do Sol: total e anelar. Nessa figura nota-se que o eclipse anelar do Sol ocorre quando a Lua está mais afastada do observador, ou seja, a Lua está no apogeu. Página de 8

12 b) Dados: RS = 0, km; RL =, km, ds = km. Da semelhança de triângulos na figura: d R R 0,7 6 6 d S d 50 0, = = d = 3 6 L S,75 0 0,7 0 d = 3, km. Resposta da questão 8: a) Aplicando Pitágoras no triângulo OMP, destacado da figura dada. c = a + L c = a + L. Nessa mesma figura: a a sen = =. c a + L Aplicando a lei de Snell: n sen = n sen n sen = n a. a + L Elevando ao quadrado ambos os membros: a nsen = n n a nsen a nsen L a + L = + n n sen a = n sen L ( ) nsen L nsen L nsen L a = = = n n sen n sen n sen n n n n n sen L a =. n n sen n Página de 8

13 Fig. Aplicando Pitágoras no triângulo OMP da Fig., destacado da figura dada. c = a + L c = a + L. Nessa mesma figura: a a sen = =. c a + L Fig. No triângulo OMQ da Fig., também destacado da figura dada: b tan = b = L tan. L b) Dados: n =, n = 3, α = 60º, L = 3 cm; sen 60º = 3 e cos 60º =. Repetindo as expressões deduzidas no item anterior e substituindo os valores dados: n sen L 3 a = a = = = n n 3 sen 3 4 n 3 a = 4 cm. b = L tan b = 3 tan 60 = 3 3 b = 6 cm. Da Fig.: D = b a = 6 4 D = cm. Resposta da questão 9: Dados: nar = ; nágua =,3; Na figura a seguir: ângulo de incidência. (90 ) ângulo de refração. Página 3 de 8

14 a) Da figura acima, no triângulo APC: 0,9 tg = = 0,9. Da tabela dada, = 4. b) Aplicando a lei de Snell: nágua sen = nar sen (90 ) (,3) (0,67) = () sen (90 ) sen (90 ) = 0,87. Recorrendo novamente à tabela dada: 90 = 60 = 30. c) Da figura acima, no triângulo ABI: y y tg= tg 30= y = 0,9 (0,58) x 0,9 y = 0,5 m. Resposta da questão 0:.. Os triângulos sombreados são semelhantes, portanto: d' f d f = d' = d f f Resposta da questão : a) Para um material convencional, o raio incidente e o raio refletido estão no mesmo meio, Página 4 de 8

15 em quadrantes adjacentes (raio B); o raio incidente e o refratado estão em meios diferentes, em quadrantes opostos (raio D). Assim, para um metamaterial, a trajetória é a do raio E. Dados: = 60 ; = 45 ; n =,8. n sen = n sen,8 = n n,8 =,4 n,9. C b) Dados: =,0 0 N.s e =,5 0 6 N.m C Substituindo valores na expressão dada: v = v = εμ = = , v =,0 0 8 m/s. Como n = c v, vem: n = n =,5. Resposta da questão : dl = c.t = ,3 = 3,9.0 8 m cos = dl/ds ds = dl /cos = 3,9.0 8 /,6.0-3 =,5.0 m A figura a seguir contém o solicitado. É bom lembrar que todo raio incidente pelo foco principal de um espelho côncavo reflete paralelamente ao eixo principal do espelho. Pelo princípio da reversibilidade é verdadeiro também que o raio que incide paralelamente ao eixo principal reflete pelo foco principal do espelho. Página 5 de 8

16 Resposta da questão 3: Dados: A = 50 ; ( δ ) mín = 30. Pelo gráfico, vemos que, quando se trata de desvio mínimo os ângulos de incidência e de emergência são iguais. ( ) = =. mín Substituindo valores na expressão dada: ( δ ) = θ + θ A = = = ( ) mín A = 40. Resposta da questão 4: a) Observe a figura abaixo Na passagem do laser do ar para a camada de proteção podemos aplicar Snell: = = = 3 o narsen30 nsen,5sen sen 8 + = + = = = sen cos cos cos cos sen R 3, tg = = = = R = = 0,3 mm cos, r 0 V = V.r =.r = = = 5 r b) Resposta da questão 5: Página 6 de 8

17 Calculando d : ( ) d = = 600 d = 40cm 30 3 Portanto: sen = = 40 4 Observe que d = 50cm (triângulo Pitagórico) 40 4 Por outro lado: sen = = 50 5 Snell: n A.sen = n B.sen 3 4 Feixe (n A).. 4 = 5 (n ). = 6,07 A Feixe (n A ).sen = n B.sen90 (n A ). = (n A ) =, Resposta da questão 6: Dados: v = 00 m/s; λ = 4 cm = 0,04 m; senθ = 0,8 e senθ = 0,5. a) Aplicando a equação fundamental da ondulatória: v 00 v = f f = = f = Hz. 0,04 Como a frequência não se altera, pois só depende da fonte emissora: f = f = Hz. b) Aplicando a Lei de Snell: v sen v 0,5 = = v sen 00 0,8 v = 5 m / s. c) A distância entre duas frentes de ondas consecutivas é o comprimento de onda (d = λ ), aplicando novamente a equação fundamental: v 5 v = d f d = = d = 0,05 m =,5 cm. f d) Aplicando novamente a lei de Snell: n sen n 0,8 = = n =,6 n. n sen n 0,5 Página 7 de 8

18 Resposta da questão 7: Observe a figura a seguir: Resposta da questão 8: Observe a figura a seguir: Página 8 de 8