Lista de exercícios. ( r B r A ).

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1 Lista de exercícios 1. Consideremosumamoladecomprimentonaturall 0. Fixamosumadas extremidadesepuxamosaoutraporumaforçaf. Sejalocomprimento finaldamola. Háumcertolimitededistensão-quedependedomaterial queconstituiamola-atéoqualvalealeidehook, f =k(l l 0 ), onde k é a constante da mola. Na expressão acima há informação apenasdaintensidadedaforça. Sejam r A e r B osvetoresposiçãocorrespondentes aos pontos extremos da mola. A força que está aplicada nopontob é f B = k(l l 0 ) e AB, naqual e AB éovetorunitárionadireçãodopontoaparaopontob. Temos, 1 e AB = r B r A ( r B r A ). Jáque r B r A =l, temos f B = k l l 0 l ( r B r A ). (a) Considere 3 pontos fixos no plano, P A, P B e P C, cujos vetores posição são r A, r B,e r C,respectivamente. Seja r o vetor posição deumcorpoq,queestáligadoaostrêspontosp A,P B ep C por molasdeconstantesk 1,k 2 ek 3, ecomprimentosnaturaisl 0 1, l 0 2 e l 0 3,respectivamente(vejaafiguraabaixo). P A Q r A r r C P C O r B P B 1

2 Expresseaforça f queestáatuandonoobjetoqemtermosdos vetores posição. (b) Expresseacondiçãoqueovetorposição rdevesatisfazerparaque o corpo Q esteja em equilíbrio. (c) Suponhatodasasmolasmuitopequenasdetalformaqueoscomprimentos naturais sejam desprezíveis.se todas as constantes de molasãoiguais,qualéaposiçãodeequilíbrio? (d) Ainda supondo os comprimentos naturais desprezíveis, que condição as constantes de mola devem satisfazer para termos a posição de equilíbrionocentrodamassadotriângulop A -P B -P C? 2. Encontre a constante de mola equivalente nos casos abaixo. Em outras palavras, se desejássemos substituir em cada caso abaixo todas as molasporumaúnica,qualdeveriasersuaconstantedemolaparaque forças de mesma magnitude provoquem o mesmo deslocamento? A) k 1 k 2 B) k 1 k 2 C) k 1 k 2 k 3 3. Obtenhaaforçaf necessáriaparapuxaroobjetoo atéaposiçãox, como ilustrado na figura abaixo. As duas molas são idênticas e têm constantedemolakeocomprimentonaturall 0. 2

3 l 0 x f l 0 4. Doiscorposdemassasm 1 em 2 estãoligadosporumamola(cujamassa é desprezível) de comprimento natural nulo e constante de mola k(veja a figura abaixo). Não existe nenhuma outra força atuando. m 2 m 1 r 1 r 2 O (a) Sejam r 1 e r 2 osvetoresposiçãodoscorposm 1 em 2,respectivamente. Escreva as equações diferenciais(equação de movimento) paraosvetores r 1 e r 2. (b) Definimosovetormomentodocentrodemassapor P =m 1 v 1 +m 2 v 2, 3

4 onde v 1 = d r 1 dt, v 2 = d r 2 dt. Mostrequeesteéumvetorconstantenotempo. (c) Discuta o movimento do vetor posição do centro de massa do sistema definido por R= m 1 r 1 +m 2 r 2 m 1 +m Considere um problema análogo ao anterior mas, agora, com 3 corpos ligadopor3molasdeconstantesdemolak 12,k 23,ek 31. z m 2 m 1 k 12 r 2 k 23 r 1 k 13 O r 3 m 3 y x (a) Sejam r 1, r 2 e r 3 osvetoresposiçãodoscorposm 1,m 2 em 3,respectivamente. Escreva as equações diferenciais(equação de movimento)paraosvetores r 1, r 2 e r 3. (b) Definimosovetormomentodecentrodemassapor P =m 1 v 1 +m 2 v 2 +m 3 v 3 4

5 onde v 1 = d r 1 dt, v 2 = d r 2 dt, v 3 = d r 3 dt, Mostrequeesteéumvetorconstantenotempo. (c) Discuta o movimento do vetor posição do centro de massa do sistema definido por R= m 1 r 1 +m 2 r 2 +m 3 r 3 m 1 +m 2 +m ConsidereoproblemaacimanocasodeNmassas. (a) Quantas molas são necessárias para ligar todas as massas entre si. (b) Escreva as equações de movimentos para cada uma das massas. (c) Mostrequeovetormomentodecentrodemassaéumvetorconstante. (d) Discuta o movimento do vetor posição do centro de massa do sistema. 7. A constância do vetor momento de centro de massa não é exclusiva de forças tipo mola. Por exemplo, para forças eletrostáticas, podemos mostrartambémqueovetormomentodecentrodemassaseconserva no tempo. Qual é a propriedade mais geral qua as forças precisam satisfazer para que haja a conservação do vetor momento de centro de massaemumsistemaformadoporn corpos interagindoentre si, e na ausência de qualquer força externa? Expresse sua afirmação em linguagem matemática e demonstre que de fato o vetor momento de centro de massa se conserva no tempo. 8. Vamos estudar o movimento de uma massa puntiforme deslizando num plano inclinado. (a) Sejam x(t) e y(t) as coordenadas X e Y da massa no instante t. Supondo que não haja nenhum atrito, escreva a equação de movimento para cada coordenada(não esqueça que além da força gravitacional existe uma de contato da partícula com o plano). 5

6 (b) A força normal da superfície é uma incógnita. Assim, não podemos diretamente resolver as equações diferenciais. Por outro lado, o fatodequeamassasempreestánasuperfícieemcontato,impõe uma relação entre as coordenadas x e y. Expresse esta relação. (c) Usando a relação do item b) nas equação do item a)obtenha a força normal exercida pela superfície. Calcule o módulo da força normal,t. (d) Utilizando o valor de T obtido acima em uma das equações do item a), obtenha a equação de movimento e resolva-a. (e) Calculeotempoqueamassalevaparachegaraotérreo(y=0), tendoelasidolargadanoponto(0,y 0 ). Estetempovariaquando amassadoobjetoédiferente? (f) Calculeaenergiacinéticaqueamassapossuiaoalcançarotérreo. (g) Refaça todos os itens acima quando existe um atrito na superfície do plano proporcional à velocidade de deslizamento. 9. Considere uma montanha russa cuja altura y seja função da distância horizontalx,digamosy=f(x)(vejaafiguraabaixo).suponhaqueo vagão parta da posição (0,y 0 ) com velocidade inicial nula e se mova sempre ao longo do trilho sem atrito. (a) Noponto(x,y=f(x)),obtenhaovetorunitárionormalaotrilho. (b) Escrevaasequaçõesdemovimentoparaascoordenadasxey. (c) Qualéaenergiacinéticadovagãonoponto(x,y)? (d) Acoordenadayésempredeterminadaapartirdex, y=f(x). Derivando temporalmente a relação acima, expresse a componente ydavelocidadeemtermosdexedx/dt. (e) Expresseacomponentey daaceleraçãoemtermosdex,dx/dte d 2 x/dt 2. (f) Expresseomódulodaforçanormaldotrilhonovagãocomofunção dex. 10. CalculeaintegraldelinhanoplanoX Y f d r C 6

7 y M y 0 y=f(x) O x x f Figure 1: 7

8 y (0,1) (1,1) (0,0) (1,0) x Figure2: CasoA quando f = = ( ) fx f y ( x 2 +y 2 xy ) para os seguintes caminhos ilustrados abaixo. Todos os caminhos partem daorigem(0,0)echegamaoponto(0,1). (dica: Useaexpressãoparamétrica,x=cosθ, y=sinθparaoúltimo caso) SeopotencialV éumafunçãoapenasdomódulode r,ouseja V =V ( r ), prove que a força correspondente sempre está na direção radial, ou seja, f // r. 13. Calcule o potencial gravitacional da Terra devido à força gravitacional do Sol, f Sol Terra = G M M r 2 e r. 8

9 y (0,1) (1,1) (0,0) (1,0) x Figure3: CasoB y (0,1) x 2 +y 2 =1 (0,0) (1,0) x Figure4: CasoC 9

10 Exercício: Expresse a energia potencial do sistema composto pelo Sol, pela Terra epormartecomofunçãodosvetoresposiçãodosol r,daterra r e demarte, r M. (a) Escreva as 3 equações de conservaçãopara as 3 incógnitas, p (f) 1, p (f) 2 eψ,emtermosdem 1,m 2,v 0 eθ. (b) Usandoas2equaçõesdeconservaçãodemomento,elimineaincógnitaψ (dica: usesin 2 ψ+cos 2 ψ =1)eobtenhaumarelação entrep (f) 1,p (f) 2 eθ. (c) Usando o resultado acima e a equação de conservação de energia, elimineaincógnitap (f) 2 emostrequevaleaequação ( ) 1 ( ) ( 2 p (f) p (f) 1 P 0 cosθ+ m 2 m m 2 ondep 0 =m 1 v 0. m 2 1 m 1 ) P 2 0 =0, (d) Aequaçãoacimaéumaequaçãodesegundograuemp (f) 1. Para corresponderaumprocessodecolisãoreal,p (f) 1 deveserumnúmero real. Ouseja,asraísesdestaequaçãodesegundograudevemser reais. Usandoisto, demostrequeovalordecosθ devesatisfazer uma desigualdade. (e) Do resultado acima, demonstre que existe um ângulo máximo de espalhamento quando m 1 > m 2, e expresse este ângulo máximo emtermosdem 2,m 1. (f) Demonstrequeparam 1 m 2,nãohárestriçãoparaoângulode espalhamento θ. (g) Param 1 m 2,mostreque p (f) 1 P 0, e interprete seu resultado. (h) Param 1 m 2,discutaosvaloresdeθedep (f) 1. (i) Para m 1 = m 2, obtenha p (1) f como função de θ e discuta o seu resultado. (j) Param 1 =m 2,obtenhaoânguloψcomofunçãodeθecomente. 14. Mostre que quando duas esferas rígidas de mesma massa se chocam frontalmente, elas trocam seus momentos completamente. Ou seja, se inicialmente uma dela estava em repouso(o alvo), após a colisão frontal, oprojétilpáraeoalvosaicommomentoexatamenteigualaoinicial do projétil. 10

11 z m 2 m 1 k 12 r 2 k 23 r 1 k 13 O r 3 m 3 y x Figure 5: 15. Noreferêncialdolaboratório, duaspartículasdemassam 1 em 2 têm velocidades v 1 e v 2, respectivamente. Os vetores posição são r 1 e r 2. Vamos introduzir a mudança de variáveis, 1 R = (m 1 r 1 +m 2 r 2 ), m 1 +m 2 r = r 1 r 2. (a) Invertaarelaçãoacimaeexpresse r 1 e r 2 emtermosde Re r. (b) Expresse as seguintes quantidades em termos de R, r e suas derivadas. T = 1 ( ) 2 2 m d r ( ) 2 dt 2 m d r2 2, dt d r 1 P = m 1 dt +m d r 2 2 dt. 16. Considere 3 corpos interagindo entre si via molas.a partir das equações de movimento para cada massa, prove que o momento linear total e o momento angular total, P = p 1 + p 2 + p 3 L= L 1 + L 2 + L 3 11

12 l Figure 6: são constantes do movimento. 17. Ummeninoestágirandocomvelocidadeangularωumapedrademassa m,amarradaporumacordadecomprimentol(vejaafiguraabaixo). (a) Qualéavelocidadelineardapedra? (b) Qualéaforçacentrífugaqueomeninosenteemseudedo? (c) Aforçaqueatuanapedraécentral? Porque? (d) Seelereduzocomprimentodacordapelametade,qualéanova velocidade angular da pedra? E quanto à velocidade linear? 18. Quando umobjeto se move numplano, o vetor r varre uma área no planodomovimento. SejaS(t)aáreavarridapelovetor r(t)decerto instantet 0 àt(vejaafiguraabaixo). (a) Mostre que ds dt = 1 2m L z. A quantidade ds dt é chamada de velocidade areolar. 12

13 y r(t) S(t) r(t 0 ) O x Figure 7: (b) Mostreque,paraummovimentosobaaçãodeumaforçacentral,a velocidade areolar é constante. A constância da velocidade areolar domovimentodosplanetasfoidescobertoporkeplerem1608eé conhecida como segunda lei de Kepler. 19. Calculeomomentodeinérciaemtornodoeixoz nosseguintescasos. DenoteamassadoobjetoporM. (a) Umdisconoplanox yderaiorcomcentrodemassanaorigem e densidade de massa homogênea. (b) UmquadradodearestaRnoplanox ycomcentrodemassana origem e densidade de massa homogênea. (c) Umtrianguloequiláterodearestaanoplanox ycomcentrode massa na origem e densidade de massa homogênea. (d) Umanelfinode raiornoplanox y comcentrodemassana origem e densidade de massa homogênea. (e) Umabarranoplanox y,comcomprimentol,centrodemassa na origem e densidade de massa homogênea. (f) Umabarraigualadecima,massemmassa,ecomumamassaM presa em sua extremidade. (g) Uma casca esférica homogênea fina e de raio R com centro na origem. 13

14 20. ConsidereorolamentosemdeslizamentodeumaboladeraioRnuma ladeira conforme mostrado na figura abaixo, E trans E rot (a) A velocidade angular ω e a velocidade do movimento do centro de massa estão relacionados quando não há deslizamento entre a bolaealadeira. Obtenhaarelação. (b) Estabeleça a conservação de energia e obtenha a velocidade do movimento translacional como função da coodenada y(altura) da bola. (c) Se duas bolas de raios diferentes são largadas simultaneamente, qual chega ao solo primeiro? (d) Obtenha a razão entre a energia translacional e a energia rotacional. Verifique que esta razão é independente do tempo. (a) ConsidereduasmassasiguaisM ligadasporumamolacujamassa e cujo comprimento natural são despre iveis(veja a figura abaixo). Aconstantedamolaék. Osistemaestágirandoemtornodocentrodabarra,O,comvelocidadeangularω. 14

15 M l l O M i. Calcule a energia total do sistema. ii. Calcule o momento angular do sistema. iii. Determine o comprimento da mola. iv. Quandoaconstantedamolaédobrada,oqueacontececom osistema? (b) Um patinador roda, comseus braços esticados, no gelo com velocidade angular ω. Sua energia de rotação é eseumomentoangularé E rot = 1 2 I 0ω 2, L=I 0 ω, naquali 0 éomomentodeinérciadopatinadorcomseusbraços esticados. Suponha que o patinador encolha os braços enquanto rodaeque,comisso,seumomentodeinérciasereduzaparai. I <I 0. Consequentemente, a velocidade angular mudará para ω. Ao usarmos a conservação de momento angular, temos I 0 ω=i ω, donde ω = I 0 I ω. (1) 15

16 Por outro lado, se impusessemos a conservação da energia rotational, teríamos 1 2 I 0ω 2 = 1 2 I ω 2, e consequentemente ω = I0 I. (2) Naturalmente, as Eqs.(1) e (2) fornecem diferentes valores para ω.qualéarespostacorreta? Porque? (c) Considereomovimentodeumobjetoemtornodaorigem,soba açãodeumaforçacentral f. i. Mostre que o momento angular se conserva. ii. Quais são as consequências importantes da conservação do momento angular para o movimento de uma planeta em torno do Sol? (d) Considere o processo de colisão entre duas bolas de bilhar, A e B.Suponhaqueacolisãosejaelásticaequenãohajaatritodas bolas com a mesa. Despreze, ainda, efeitos de rotação das bolas. Asduasbolastêmmesmamassa,M,eraio,R. AbolaA,inicialmente com velocidade V 0, colide com a bola B, inicialmente em repouso. A distância entre os centros das duas bolas perpendicularàdireçãodavelocidadeinicial V 0 éb(b<2r),comoilustrado no desenho esquerdo da Fig. abaixo. Sejam V A e V B osvetoresdevelocidadesapósacolisãodasbolas 16

17 Figure 8: AeB. θeϕsãoseusânguloscomrelaçãoàvelocidadeincidente (desenho da direita). i. Escreva as leis de conservação do momento e de energia do sistemaemtermosdevetores, V 0, V A ev B,ededuzaovalor dasomadosângulos,θ+ϕ(dica: calculeoprodutoescalar entre V A ev B usandoasleisdeconservação). ii. Afiguraabaixoilustraaconfiguraçãodasduasbolasnoinstante da colisão no referencial do centro de massa(cm).expresse oângulodeespalhamentodabolaanosistemadecentrode massa,θ cm emtermosdeber. iii. Expresse os módulos das velocidades inicial e final, VA cm e V A cm dabolaaemtermosdev 0 eobtenhaarelaçãoentreos ângulos,θ cm eθ. (e) Um ioiô está sendo puxado por um fio enrolado nele, em cima de uma superfície horizontal, sem deslizar, conforme mostrado na figura abaixo 17

18 Calculeaaceleraçãotranslacionaldocentrodemassadoioiôea forçadeatritof queatuaneleemfunçãodatensão,t. (f) Expliqueomecanismodeprecessãodeumpiãosobaaçãodeum campo gravitacional constante. 18