Prof. Chico Vieira FÍSICA 1. Tudo Passo a Passo Teoria e Questões em VÍDEOAULAS QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES DA UFPE

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1 Prof. Chico Vieira FÍSICA 1 Tudo Passo a Passo Teoria e Questões em VÍDEOAULAS QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES DA UFPE

2 FÍSICA 1 - PROVA 3 PARTE-1: Momento de Inércia, Torque e Rotação Questão 01 (Cálculo do Momento de Inércia + Energia) Um corpo rígido formado por um aro fino (de massa m = 2,7 kg e raio R = 2,0 m) e uma barra fina (de massa m = 2,7 kg e comprimento L =R/3) está em repouso na vertical, como mostra a figura ao lado. O conjunto começa a girar sem atrito em torno do eixo horizontal que passa pela extremidade inferior da barra. Dados: g = 10 m/s2, (para um eixo perpendicular ao comprimento) e (para um eixo passando pelo diâmetro). a) (1,0) Calcule o momento de inércia da barra em relação ao eixo de rotação descrito na figura. b) (1,0) Calcule o momento de inércia do aro em relação ao eixo de rotação descrito na figura. c) (1,5) Calcule a velocidade angular do sistema quando o mesmo passa pela posição vertical invertida (de cabeça para baixo). Questão 02 (Cálculo do Momento de Inércia + Energia) Uma bola maciça rola suavemente (sem deslizar) a partir do repouso, começando de uma altura H = 9,0 m, até deixar a parte horizontal no fim da pista, a uma altura h = 2,0 m, conforme a figura ao lado.

3 Dado que o momento de inércia de uma bola maciça de massa M e raio R em relação ao centro de massa é ICM = 2MR2/5 e g = 10 m/s2, responda: (a) (1,5) Qual a velocidade do centro de massa da partícula no fim da pista? (b) (1,5) Usando a resposta do item anterior, calcule a que distância horizontal d do ponto A a bola toca o chão. Questão 03 (Cálculo do Momento de Inércia + Energia) Considere a placa quadrada de massa desprezível e lado L = 2,0 m, mostrada na Figura I. Em cada vértice e no centro do quadrado são colocadas partículas de massa m = 3,0 kg. a) (1,5) Calcule os momentos de inércia IA, em relação ao eixo vertical A, e IB, em relação ao eixo horizontal B, conforme a Figura I. b) (1,0) Suponha agora que a placa é suspensa na horizontal e que possa girar em torno do eixo fixo B sob a ação da gravidade, conforme a Figura II. O sistema parte do repouso na horizontal. Calcule sua velocidade angular ao passar pela vertical. c) (1,0) Calcule o módulo do momento angular do sistema ao passar pela vertical. Questão 04 (Cálculo do Momento de Inércia + Energia)

4 Na figura I, duas partículas cada uma com massa 2M/3, estão ligadas uma à outra e a um eixo de rotação em O ( que é perpendicular ao plano da página), por duas hastes finas, cada uma com comprimento L e massa M. O conjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular ω. Dados: o momento de inércia de uma haste fina de comprimento d e massa m, gorando em torno de seu centro de massa é I = md2/12. Medidos em torno do eixo de rotação que passa por O, calcule: a) (2,5) O momento de inércia do conjunto. b) (1,0) A energia cinética do conjunto Questão 05 (Cálculo do Momento de Inércia + Energia) Um corpo rígido que tem a forma da letra H é construído usando-se três hastes finas idênticas, onde cada uma possui comprimento L e massa M. O corpo pode girar livremente em torno de um eixo horizontal E que passa por uma das hastes que compõem as pernas da letra H, conforme mostrado na figura. Suponha que este corpo esteja inicialmente num plano horizontal e seja abandonado a partir do repouso (veja a figura). Nos itens abaixo, expresse seus resultados em função dos dados do enunciado e da aceleração gravitacional g. Dado: momento de inércia de uma haste fina de massa M e comprimento L em relação a um eixo perpendicular à haste que passe por seu centro de massa = ML2/12. a) (1,5) Calcule o momento de inércia deste corpo rígido em relação ao eixo de rotação E. b) (1,5) Quanto vale a velocidade angular do corpo rígido exatamente quando ele passa pela posição vertical? Questão 06 (Cálculo do Momento de Inércia + Energia) Uma casca cilíndrica homogênea e fina tem massa M e raio R. No interior da casca existem três hastes

5 homogêneas e finas, cada uma com massa M e comprimento R, arranjadas de acordo com a figura. O sistema (casca + três hastes) é liberado do repouso sobre um plano inclinado (ver figura), onde H = 4R denota a distância vertical do eixo de rotação do sistema à superfície horizontal. Há atrito em toda a trajetória (no plano inclinado e na superfície horizontal) e a casca rola sem deslizar. a) (2,0) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao seu eixo de rotação. (Dados: Momento de inércia de uma casca cilíndrica homogênea e fina, de massa M e raio R, em relação ao seu eixo = MR 2. Momento de inércia de uma haste homogênea e fina, de massa M e comprimento L, em relação ao um eixo perpendicular passando no seu centro = ML2/12.) b) (1,5) Determine a velocidade angular do sistema quando este se encontrar na posição da superfície horizontal ilustrada na figura. Questão 07 (Cálculo do Momento de Inércia + Energia) A figura 2 mostra um disco uniforme, de massa 10, 0 kg e raio 3, 00 m, montado de forma a poder girar livremente em torno de um eixo horizontal, perpendicular ao plano do disco, passando por sua borda no ponto P. Uma partícula de dimensões desprezíveis e de massa 2, 50 kg está colada ao disco no ponto diametralmente oposto ao ponto P. a) (1,0) Calcule o momento de inércia do sistema em torno do eixo de rotação horizontal a que o enunciado se refere. b) (1,5) Se o sistema for abandonado a partir do repouso com o seu centro de massa à mesma altura do eixo de rotação, qual será a velocidade angular do sistema quando ele passar por seu ponto mais baixo? Questão 08 (Cálculo do Momento de Inércia + Energia) Uma bola não uniforme, de massa M e raio R, rola suavemente, a partir do repouso, descendo uma rampa e então passando por um loop circular, de raio r = 48, 0 cm. A figura 3 descreve a situação de interesse. A altura inicial da bola é h = 36, 0 cm. No ponto mais baixo do loop, a intensidade da força normal sobre a

6 bola é de 2, 00Mg. A bola é composta por uma casca esférica externa, de densidade uniforme, que envolve uma esfera central (de densidade uniforme, porém maior do que aquela da casca). Considerando que o momento de inércia de um corpo pode ser expresso na forma geral I = βmr2, determine o valor de β para esta bola em particular (βbola) em função de β para uma bola de densidade uniforme. Questão 09 (Cálculo do Momento de Inércia + Energia) Três hastes de comprimento L e massa M, cada, são conectadas na forma de um triângulo equilátero. O triângulo pode girar livremente em torno de um eixo que passa pelo vértice O, perpendicular ao plano do triângulo. Determine, em função de M, L e g: a) (1,5) O momento de inércia do sistema em relação ao eixo de rotação. b) (1,0) A distância d do centro de massa do sistema ao ponto O, usando a resposta do item a). c) (1,5) Considere que, no instante inicial, o centro de massa do sistema encontra-se na horizontal que passa por O (figura 1). Determine a velocidade angular do triângulo quando o centro de massa passa pela vertical que contém o ponto O (figura 2), sabendo que o mesmo foi liberado a partir do repouso. Questão 10 (Cálculo do Momento de Inércia + Energia) Um pêndulo é formado por duas partículas iguais de massa m = 0,10 Kg cada uma, ligadas por duas hastes rígidas de comprimentos iguais a l = 6,0 cm e massas desprezíveis, conforme a figura. O pêndulo está preso ao teto no ponto P, em torno do qual pode girar livremente. Inicialmente em repouso, o sistema é solto a partir de um ângulo θ = 600 com a vertical. Dados cos(600) = 0,50 e sen(600) = 0,87, calcule:

7 (a) (1,0) a velocidade angular do sistema quando o mesmo passa pela posição vertical; (b) (1,0) a tensão na haste inferior quando o sistema passa pela posição vertical; (c) (1,0) a tensão na haste superior quando o sistema passa pela posição vertical. Questão 11 (Torque e Leis de Newton) Um cilindro sólido, homogêneo, de raio R= 0,10m, desce verticalmente sem deslizar, desenrolando dois fios de massas desprezíveis que estão fixos no teto, conforme a figura. A tensão em cada fio é T=2,0 N. Sabendo-se que o cilindro é solto a partir do repouso e dado ICM (cilindro) = MR2/2, calcule: (a) (1,5) a aceleração do centro de massa do cilindro; (b) (1,0) a massa do cilindro; (c) (1,0) o tempo necessário para que o cilindro complete 2 voltas em torno do seu eixo. Considere π = 3 para efeito de cálculo. Questão 12 (Torque e Leis de Newton) Um bloco de massa 2 kg está preso a um fio ideal enrolado em uma polia (disco homogêneo) de massa 1kg e raio 20 cm. O bloco desliza sobre um plano inclinado, com θ = 37 0, conforme a figura ao lado. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é 0,25. Despreze o atrito no eixo que passa pelo centro de massa da polia. Supondo que o fio não desliza sobre a polia, determine:

8 a) (2,0) O módulo da aceleração do bloco. b) (1,0) A tensão no fio. Questão 13 (Torque e Leis de Newton) A figura mostra as partículas A e B, cada qual com massa m, presas nas extremidades de uma haste rígida de massa desprezível e de comprimento L A + LB, com LA = 20 cm e LB = 80 cm. A haste é mantida horizontalmente sobre o suporte triangular e então solta. Quais são os módulos das acelerações iniciais: a) (1,5) da partícula A? b) (1,0) da partícula B? Questão 14 (Torque e Leis de Newton) A figura a seguir mostra duas partículas 1 e 2, ambas de massa m, presas nas extremidades de uma barra unidimensional rígida, de massa desprezível e comprimento L. A barra é livre para girar em torno do eixo passando no ponto de contato com o suporte, de direção perpendicular ao plano da página inicialmente, a barra é mantida horizontalmente em repouso por um dispositivo externo ( não mostrado na figura). No instante t = 0, o dispositivo libera a barra, considere que, em t=0, as forças que a barra exerce nas partículas têm direção horizontal.

9 a) (1,0) Em t = 0, calcule o torque (modulo, direção e sentido) de cada força agindo na partícula 1 e na partícula 2, em relação ao ponto de contato da barra com o suporte. b) (1,0) Em t = 0, calcule os módulos das acelerações tangenciais da partícula 1 e da partícula 2. c) (1,0) Suponha, agora que a barra é uma haste unidimensional uniforme, de massa M e comprimento L, em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa e é perpendicular ao seu comprimento:. Questão 15 (Torque e Leis de Newton) Um objeto de peso 50,00 N é amarrado ao extremo livre de uma corda ideal enrolada num disco rígido de raio R = 0,25 m e massa M = 2,50 kg, como mostrado na Figura 2. O disco pode girar em torno de um eixo que passa pelo seu centro geométrico. O objeto é solto a partir do repouso, a 5,06m do solo. a) (1,0) Determine a tensão da corda e a aceleração de descida do corpo. b) (1,0) Encontre a velocidade do corpo no momento em que chega ao solo. c) (1,0) Encontre o módulo do momento angular do sistema todo em relação ao eixo de simetria do disco logo antes do bloco chegar ao solo. Dados: 80,96 = 81 = 9. O momento de inércia de um disco homogêneo de massa M e raio R em relação ao eixo de simetria é ICM = 0,50(MR2). Questão 16 (Torque e Leis de Newton) A figura 2 ilustra um cilindro maciço e uniforme de massa 2m e raio R, que pode girar em torno de seu eixo principal E, apoiado em suportes sem atrito. Um fio ideal, de massa desprezível, enrolado ao cilindro, está preso a um bloco de massa m, situado sobre um plano inclinado sem atrito, de inclinação θ em relação à horizontal. O módulo da aceleração da gravidade no local e g. Com o

10 bloco inicialmente em repouso, à altura h, o sistema começa a mover-se. Dados: o momento de inércia do cilindro em questão é dado por I = mr2. a) (1,0) Fazendo uso das leis de Newton para translação e rotação, calcule a aceleração do bloco. b) (1,0) Fazendo uso das leis de Newton para translação e rotação, calcule a tensão no fio. c) (1,5) Calcule a velocidade do bloco ao atingir o ponto P, localizado na base do plano inclinado. Questão 17 (Torque e Leis de Newton) Uma esfera maciça de raio R e massa m, inicialmente em repouso no ponto A, rola sem deslizar ao longo de toda a superfície ABC mostrada na figura (sem nunca perder o contato com ela). Apenas o trecho AB é retilíneo, fazendo um ângulo θ com a horizontal. A diferença de altura entre A e C é h, e a aceleração gravitacional é g. Deixe suas respostas indicadas em termos dos dados do enunciado. Dado: momento de inércia de uma esfera maciça de massa m e raio R em relação a um eixo que passe por seu centro de massa = 2mR2/5. a) (1,0) Escreva as equações decorrentes da segunda lei de Newton (nas formas translacional e rotacional) para a esfera no trecho AB. b) (1,5) Obtenha os módulos da aceleração do centro de massa da esfera e da força de atrito no trecho AB. c) (1,0) Calcule a velocidade angular da esfera ao passar pelo ponto C. Questão 18 (Torque e Leis de Newton) Dois blocos, de massas m1 = 1, 0 kg e m2 = 2, 0 kg, estão conectados por uma corda de massa desprezível que passa pela borda de um disco uniforme de massa M = 2, 0 kg e raio R = 0, 50 m. O disco pode girar sem atrito em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu centro perpendicularmente ao plano do papel, conforme a figura. A corda não desliza na borda do disco. O sistema é abandonado a partir do repouso.

11 a) (1,5) Escreva a 2ª lei de Newton (na forma translacional ou rotacional, conforme o caso) para m1, m2 e M, explicitando as forças e torques que atuam no sistema. b) (2,0) Encontre o módulo da aceleração dos blocos, a tensão T 1 na corda à esquerda e a tensão T 2 na corda à direita. Dado: g=10,0 m/s2. Questão 19 (Torque e Leis de Newton) Na figura 1, um bloco de massa m está conectado por um fio a um outro bloco de massa m. O fio tem massa desprezível e passa, sem deslizar, pela borda de uma polia. A polia consiste de um cilindro maciço de raio R e massa M. O atrito do bloco de massa m com o plano e da polia com seu eixo podem ser desprezados. Forneça as respostas em termos dos dados do enunciado e da aceleração da gravidade, g. a) (1,0) Partindo do repouso, qual é a velocidade angular ω adquirida pela polia após o bloco de massa m cair de uma altura h? b) (1,5) Qual é a aceleração da massa m? c) (1,0) Quais são os valores das tensões nas cordas que puxam os blocos de massas m e m, respectivamente? Questão 20 (Torque e Leis de Newton) Um corpo formado por uma barra homogênea, de massa mb = 3 kg e comprimento L = 2 m,e por um disco, de massa md = 4 kg e raio R = 1 m, pode girar em torno de um eixo que passa pelo ponto O (na junção da barra e do disco) e é perpendicular ao plano da página. O corpo é mantido em repouso na horizontal, como vemos na figura. Considere g = 10 m/s2.

12 a) (0,5) Calcule o momento de inércia da barra em relação ao eixo que passa pelo ponto O. Dado: b) (0,5) Calcule o momento de inércia do disco em relação ao eixo que passa pelo ponto O. Dado: c) (1,0) Calcule o módulo do torque resultante que age sobre o corpo no momento em que o corpo é solto. d) (1,5) Calcule o módulo da aceleração adquirida pelo ponto A (extremidade direita do disco) no momento em que o corpo é solto. Indique também a direção e sentido dessa aceleração. Questão 21 (Torque e Leis de Newton) Uma roda, de massa 2,0 kg e raio 0,1 m, encontra- se inicialmente (t = 0) em repouso sobre uma superfície horizontal (ver figura). O centro de massa da roda coincide com o seu centro. A roda é puxada por uma força horizontal de módulo F = 10,0 N, aplicada no seu centro, e passa a rolar sem deslizar. O seu centro desloca-se em linha reta, com aceleração constante de módulo 2,0 m/se. a) (1,0) Esboce um diagrama identificando todas as for cas que atuam na roda, indicando o seu ponto de aplicação. b) (1,5) Com base em cálculos de segunda lei de Newton, determine o momento de inércia da roda em relação ao seu eixo de rotação. c) (1,0) Calcule o deslocamento angular da roda até o instante t = 3,0 s. Questão22 (Torque, Leis de Newton e Energia) Um disco é liberado a partir do repouso do alto de uma superfície inclinada de altura h = 5 m (medida desde o solo até o ponto mais baixo do disco como mostrado na figura) e rola suavemente sem deslizar até a parte mais baixa da superfície. No primeiro trecho, a superfície é

13 retilínea e forma um ângulo θ = 30º com a horizontal, como mostrado na figura. Dados: o momento de inércia do disco homogêneo com relação a um eixo que passa pelo centro de massa é ICM = MR2/2, onde M é a massa do disco e R é seu raio. Considere g = 10 m/s2. a) (1,5) Calcule a aceleração do centro de massa do disco quando ele ainda se encontra no trecho retilíneo na superfície. b) (1,5) Determine a velocidade do centro de massa quando o disco atinge a parte mais baixa da trajetória Questão 22 (Movimento Circular + Força e Torque) Uma roda pode girar ao redor de um eixo passando no seu centro, de direção perpendicular aos seus raios. A roda é uniformemente acelerada a partir do repouso, até atingir a velocidade de 200,0 rpm em 0,50 s. Ela é mantida com esta velocidade durante 2,0s. Em seguida, a roda é desacelerada, também uniformemente, durante 1,50s até parar. a) (1,0) Calcule o deslocamento angular total da roda, em radianos, desde o instante inicial até o repouso final. b) (0,5) Calcule o numero de rotações efetuadas pela roda desde o instante inicial até o repouso final. c) (1,0) Calcule a velocidade angular media da roda desde o instante inicial até o repouso final. d) (1,0) Calcule as acelerações angulares dos movimentos acelerado e retardado. Questão 23 (Movimento Circular + Força e Torque) Uma roda pode girar ao redor de um eixo passando no seu centro, de direção perpendicular aos seus raios. A roda é uniformemente acelerada a partir do repouso, até atingir a velocidade de 200,0 rpm em 0,50 s. Ela é mantida com esta velocidade durante 2,0s. Em seguida, a roda é desacelerada, também uniformemente, durante 1,50s até parar. a) (1,0) Calcule o deslocamento angular total da roda, em radianos, desde o instante inicial até o repouso final.

14 b) (0,5) Calcule o numero de rotações efetuadas pela roda desde o instante inicial até o repouso final. c) (1,0) Calcule a velocidade angular media da roda desde o instante inicial até o repouso final. d) (1,0) Calcule as acelerações angulares dos movimentos acelerado e retardado. Questão24 (Movimento Circular + Força e Torque) Uma partícula P está presa a uma haste rígida de comprimento R= 0,20 m e descreve uma trajetória circular no plano horizontal xy. A haste faz um ângulo θ com o eixo x (vide Figura 1), de acordo com a seguinte função horária: θ(t) =7π(t + t3)/20, com t dado em segundos e θ em radianos, de acordo com a convenção de que deslocamentos angulares são positivos no sentido anti-horário. Nos itens abaixo, todos os vetores devem ser escritos em termos dos vetores unitários î e ĵ. Em seus resultados, deixe π e quaisquer frações indicados (isto é, não os substitua por seus valores decimais aproximados). a) (1,0) No intervalo de tempo de 0,00 s a 2,00 s, qual foi a distância percorrida pela partícula P? Expresse o vetor posição da partícula P (em relação à origem O) no instante t=2,00 s. b) (1,0) Calcule a velocidade angular ω da haste e o vetor velocidade do ponto P no instante t=2,00 s. c) (1,5) Calcule a aceleração angular α da haste e o vetor aceleração da partícula P no instante t=2,00 s.. Questão 25 (Movimento Circular + Força e Torque) A figura mostra dois discos que podem girar em torno de seus centros independentemente. No instante t = 0, as retas de referência dos dois discos têm a mesma orientação (como mostrado no desenho); o disco A já está girando com uma velocidade angular constante ωa = 3π rad/s e o disco B parte do repouso com uma aceleração angular constante de 0,5 π rad/s2. (a) (1,0) Em que instante t as duas retas de referência têm o mesmo deslocamento angular θ? (b) (1,5) Qual será o primeiro instante t, após t = 0, para o qual as duas retas de referência estão paralelas com a linha que une o centro dos dois discos? (c) (1,5) Considere agora que o deslocamento angular do disco B varia no tempo com θb(t) = t3-2t onde θb(t) está em radianos. Em qual instante a velocidade angular de B é igual à velocidade angular de A?

15 . PARTE-2: Momento Angular Questão 01 (Conservação do Momento Angular) Um disco uniforme de raio R = 0,50 m e massa M = 3,0 kg gira com velocidade angular ω0 = 9,0 rad/s em torno de um eixo que passa a uma distância d = 0,25 m do seu centro de massa (veja a figura). Não há atrito no eixo, que é perpendicular ao plano do disco. Uma pedra de dimensões desprezíveis e massa m = 1,0 kg encontra-se no centro do disco. Dado: Idiscocm = MR2/2 (para um eixo perpendicular ao plano do disco). a) (1,0) Calcule o momento de inércia do sistema (disco + pedra) em torno do eixo de rotação. b) (1,0) Considere que a pedra escorrega até parar na borda do disco, a uma distância R + d do eixo de rotação. Determine a velocidade angular final ωf do sistema.

16 c) (1,0) Qual é o módulo do torque constante que deve ser aplicado de forma que o sistema atinja o repouso após 0,25 s, a partir da situação do item (b)? Questão 02 (Conservação do Momento Angular) Um homem está no centro de uma plataforma em forma de disco, de massa 5, 00 kg e raio 2,0 m, com os braços estendidos horizontalmente e tendo em cada uma das mãos um tijolo de massa 4, 00 kg. O sistema todo está girando com 0, 40 rad/s. A distância dos tijolos ao eixo de rotação é de 1,0 m, o momento de inércia do homem vale 6, 0 kg m 2. Em certo instante, o homem flexiona os braços, trazendo os tijolos até 50 cm do eixo de rotação. Neste movimento, o homem diminui seu momento de inércia para 4, 0 kg m2. Calcule: a) (1,0) O módulo do momento angular do sistema antes de o homem flexionar os braços. b) (1,5) A velocidade angular do sistema depois que o homem flexiona os braços. Questão 03 (Conservação do Momento Angular) Um menino de massa m = 50,0 Kg está parado ao lado de um carrossel de massa M = 400 kg e raio R = 3,00 m. O carrossel gira livremente com velocidade angular ω 0 = 0,500 rad/s. Atraído pelo brinquedo, o menino salta radialmente (em direção ao centro), passando a girar junto com o carrossel, na sua borda. Considere o carrossel como um disco uniforme (ICM = MR2/2). Calcule. (a) (1,0) o módulo do momento angular do carrossel antes do salto do menino; (b) (1,0) a velocidade angular do conjunto após o salto do menino (c) (1,5) a variação da energia cinética do sistema e interprete seu resultado.

17 Questão 04 (Conservação do Momento Angular) Uma barata, de massa m, encontra-se sobre a borda de um disco uniforme, de massa 4m, que pode girar livremente em torno do seu centro, como um carrossel. Inicialmente, a barata e o disco giram juntos, com uma velocidade angular de 0, 240 rad/s. A barata caminha, então, até a metade da distância ao centro do disco, parando neste ponto. a) (1,5) Qual é, então, a velocidade angular do sistema barata-disco? b) (1,0) Qual é a razão K/K0 entre a nova energia cinética do sistema e a sua energia cinética inicial? c) (0,5) O que é responsável pela variação na energia cinética do sistema? Questão 05 (Conservação do Momento Angular) As figuras A e B a seguir mostram a vista superior de um disco que pode girar sem atrito sobre uma superfície horizontal, em torno do eixo de rotação vertical passando no seu centro O. Os raios interno e externo do disco valem R1 e R2 = 2R1, respectivamente, e a as massa é M. Inicialmente (figura A), o disco gira com velocidade angular ω0. Inicialmente (figura A), o disco gira com velocidade angular ω 0, com um gato, de massa m = M/4, posicionado na sua borda externa. a) (1,0) Calcule, nesse caso, o momento angular do sistema disco-gato em relação ao eixo de rotação vertical do sistema. Expresse a sua resposta em função de M, R 1 e ω0. Dado: momento de inércia do disco em relação ao eixo de rotação: I = M(R12 + R22)/2. b) (0,5) O gato então rasteja em direção à borda interna do disco, lá permanecendo (figura B). Nesta nova condição, calcule o momento de inércia do sistema disco-gato em relação ao eixo de rotação vertical do sistema. Expresse a sua resposta em função de M e R1. c) (1,0) Obtenha a nova velocidade angular do sistema, em função de ω 0. Justifique a utilização do princípio físico considerado na solução deste item. d) (1,0) Considere, agora, R1 = 1,0 m, M = 11,0 Kg e ω 0 = 8,0 rad/s. Calcule de quanto varia a energia cinética do sistema disco-gato após o bichano alcançar a borda interna. De onde vem (ou para onde vai) esta diferença de energia?

18 Questão 06 (Conservação do Momento Angular) Um disco de massa M e raio R está girando com uma velocidade angular ω0 preso a uma haste que fura o disco através do eixo perpendicular passando pelo seu centro. Um segundo disco com massa três vezes maior que o primeiro e de mesmo raio, inicialmente em repouso, é acoplado à mesma haste de modo que o conjunto passa a girar com uma mesma velocidade angular, como mostra a figura ao lado. Dados: O momento de inércia do disco uniforme em relação ao eixo que passa pelo centro de massa é I CM = MR2/2; o momento de inércia da haste é desprezível. a) (1,5) Determine a velocidade angular ω do sistema composto pelos dois discos em termos da velocidade angular ω0. b) (1,5) Que percentagem da energia cinética de rotação inicial é perdida devido à adição do segundo disco? Para determinar a percentagem de energia perdida utilizar a expressão [(Ki-Kf)/Ki] x 100% onde Ki e Kf as energias cinéticas inicial e final respectivamente

19 Questão 07 (Conservação do Momento Angular) A figura 3a representa dois discos rígidos, ambos de raio R, que têm um eixo de rotação comum (eixo z). Inicialmente o disco de massa M tem velocidade angular 3ω, enquanto que o disco de massa M/2 tem velocidade angular ω, ambas no mesmo sentido. Posteriormente, os discos são trazidos um em direção ao outro ao longo do eixo z e colocados em contato até se unirem rigidamente e adquirirem uma velocidade angular comum, como ilustrado na figura 3b. Sabe-se que tal velocidade comum é obtida graças ao atrito entre as superfícies em contato. Nestas circunstâncias, calcule: a) (1,5) a velocidade angular do conjunto; b) (1,5) a energia dissipada devido ao atrito entre os discos. Questão 08 (Conservação do Momento Angular) Um disco de raio R e massa 8m0 gira com velocidade angular ω0 no sentido anti-horário, em torno do eixo fixo, E. O eixo E passa pelo plano do disco a uma distância R/2 do seu centro, paralelo a este plano, conforme a figura. Um projétil de massa m0 e velocidade v0 incide perpendicularmente ao disco, atingindo sua borda e aderindo ao disco após a colisão. DADO: O momento de inércia de um disco de massa M e raio R é Icm = MR2/4, para um eixo passando por um diâmetro. a) (1,0) Calcule o momento de inércia do disco em relação ao eixo E; b) (1,0) Determine o módulo do momento angular (i) L d, do disco, e (ii) Lp, do projétil em relação ao eixo E imediatamente antes da colisão; c) (1,0) Calcule a velocidade angular do conjunto disco + projétil, logo após a colisão. Questão 09 (Conservação do Momento Angular)

20 Um disco homogêneo, de raio R e massa 12m 0, gira no sentido anti-horário, com velocidade angular constante ω0, em torno de um eixo fixo E, que tangencia as borda no ponto P (veja figura 3). Um projétil de massa m0 é disparado com velocidade constante v 0, e incide perpendicularmente ao disco, atingindo o seu centro. Sabe-se que tal projétil adere ao disco após a colisão. Despreze efeitos de atrito e resistência do ar. Dados: O momento de inércia de um disco de raio r e massa M, que gira em torno de seu diâmetro é Mr2/4. (a) (1,0) Calcule o momento de inércia do disco, em relação ao eixo E. (b) (1,0) Calcule o momento angular individual do (i) disco e do (ii) projétil, em relação ao ponto P, imediatamente antes da colisão. (c) (1,0) Calcule a velocidade angular final do conjunto (disco + projétil), logo após a colisão. Questão 10 (Conservação do Momento Angular) 8) Um tubo oco horizontal transparente gira sem atrito em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro de massa. Dentro do tubo existem duas esferas iguais, de raio desprezível e 0,010 kg de massa cada uma. Inicialmente, cada esfera está conectada ao eixo de rotação por um fio de massa desprezível e comprimento s = 0,10 m e o sistema todo gira com velocidade angular ω 0 = 5,0 rad/s. Num dado instante os fios se rompem e as esferas ficam presas nas paredes das extremidades do tubo. Sabendo que o momento de inércia do tubo em relação ao eixo de rotação vale 2, kg m2 e que seu comprimento é D = 0,40 m, determine: a) (1,0) o módulo do momento angular inicial do sistema, em relação ao ponto O (sobre o eixo de rotação) indicado na figura; b) (1,5) a velocidade angular final do sistema; c) (1,0) a variação da energia cinética do sistema. Questão 11 (Conservação do Momento Angular)

21 Uma haste homogênea de massa 300 g e 1 m de comprimento está presa no seu centro pelo pino P, em torno do qual pode girar sem atrito no plano horizontal. Uma bala de massa 50 g é disparada e acerta a haste a uma distância d = 0,4 m do ponto P, com uma velocidade de 4 m/s. A bala atravessa a haste e segue com velocidade de 3 m/s. Determine: a) (1,0) O módulo do momento angular da bala, em relação ao ponto P, imediatamente antes da colisão. b) (1,0) A velocidade angular com que o bastão gira imediatamente após a colisão. c) (1,0) A variação da energia cinética entre os instantes imediatamente após e antes da colisão. Questão 12 (Conservação do Momento Angular + Conservação da Energia) A figura mostra uma haste de massa M = 3 kg e comprimento H = 4 m disposta verticalmente, e que se encontra inicialmente em repouso. A haste está pivotada na extremidade superior (ponto O) em torno da qual pode girar sem atrito. A haste é atingida a uma distância d = 3 m do ponto O (conforme figura) por uma massa de modelar de massa m = 1 kg que se desloca horizontalmente para a direita com velocidade escalar v no momento da colisão. Após a colisão, a massa de modelar permanece grudada na haste. O momento de inércia da haste em relação ao seu centro de massa é I CM =ML2/12. Considere que a massa de modelar pode ser tratada como uma partícula e g = 10 m/s2. a) (0,5) Qual é o momento de inércia do sistema (haste + massa) em relação ao eixo de rotação após a colisão? b) (1,0) Qual é a velocidade angular ω do sistema, em função de v, imediatamente após a colisão? c) (1,0) Qual é a razão entre a energia cinética do sistema após a colisão e a energia cinética da massa de modelar imediatamente antes da colisão? d) (1,0) Qual deve ser o valor de v para que o maior ângulo possível entre a haste e a vertical seja 900?

22 Questão 13 (Conservação do Momento Angular + Conservação da Energia) Uma barra delgada e uniforme de comprimento L = 1,00 m e massa M = 3,00 kg gira no plano do papel em torno de um eixo que passa por sua extremidade superior presa ao teto (ver Figura 3). Quando a barra passa pela posição mais baixa colide com um pequeno pedaço de massa de modelar de m = 1,00 kg que fica grudada na sua extremidade. A velocidade angular da barra imediatamente antes da colisão é ω 0 = 2,00 rad/s. Desconsiderando qualquer atrito da massa de modelar com a superfície horizontal, calcule: a) (1,0) O momento de inércia da barra Ibarra e do conjunto barra + massa Iconjunto em relação ao eixo de rotação que passa pela extremidade superior da barra presa ao teto; b) (1,5) A velocidade angular do conjunto barra + massa imediatamente após a colisão c)(1,0) O deslocamento vertical h do pedaço de massa antes do conjunto parar momentaneamente pela primeira vez. Dados: o momento de inércia da barra com relação ao eixo passando pelo centro de massa é: ICM=(1/12)ML2, sendo M a massa da barra e L seu comprimento.

23 Questão 14 (Definição de Momento Angular) A expressão r (t) = 4, 0t2 î (6, 0t2 + 2, 0t3 ) ˆj dá posição de uma partícula, de massa igual a 2, 0 kg, em relação a um sistema de coordenadas xyz (r em metros e t em segundos). a) (1,5) Em notação de vetores unitários e partindo da definição do torque τ resultante, determine a expressão para o τ (t) atuando sobre a partícula, em relação à origem, e quantifique esta grandeza no tempo t = 1, 0 s. b) (1,0) Em notação de vetores unitários e partindo da definição do momento angular L, determine a expressão para o L (t) da partícula, em relação à origem, e quantifique esta grandeza no tempo t = 1, 0 s. c) (1,0) Use a segunda lei de Newton, em sua forma angular, para demonstrar que os resultados obtidos nos itens anteriores são coerentes entre si, para um tempo arbitrário t. Há possibilidade de o torque total atuando sobre a partícula ser nulo (caso positivo, determine em que instante de tempo)?

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