SOBRE O CONCEITO DE SIMULTANEIDADE. FOTÓNICA Prof. Carlos R. Paiva UMA INTRODUÇÃO À TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA

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1 5 DEEC Área Científica de Telecomunicações Instituto Superior Técnico FOTÓNIC Prof Carlos R Paiva SOBRE O CONCEITO DE SIMULTNEIDDE UM INTRODUÇÃO À TEORI D RELTIVIDDE RESTRIT

2 essência da teoria da relatividade restrita, formulada pela primeira vez por lbert Einstein em 95, radica na revisão do conceito de simultaneidade De acordo com a transformação de Galileu, o tempo é universal e absoluto, ie, não depende do referencial de inércia em que é medido teoria da relatividade restrita (special relativity) de Einstein, porém, parte de dois postulados que de acordo com a mecânica newtoniana são, pura e simplesmente, irreconciliáveis (ie, contraditórios entre si) P PRIMEIRO POSTULDO: s leis da física são as mesmas em todos os referenciais de inércia [NOT: Este postulado é conhecido como Princípio da Relatividade Um referencial de inércia é um sistema de coordenadas não acelerado] P SEGUNDO POSTULDO: velocidade da luz, no vácuo, é uma constante universal: tem o valor c m s em todos os referenciais de inércia [NOT: O valor numérico de c é, desde 983, um valor exacto por definição De acordo com o SI (em francês: le Système International d unités), o metro passou a ser definido como a distância percorrida pela luz, no vácuo, numa fracção de do segundo] Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página

3 Sejam S e S dois referenciais de inércia (ou sistemas de coordenadas inerciais) em movimento relativo O sistema de coordenadas espaciais de S é constituído pelos três eixos X, Y, Z O sistema de coordenadas espaciais de S é constituído, por sua vez, pelos três eixos X, Y, Z Os eixos são, respectivamente, paralelos ie, X X, Y Y e Z Z Designemos por v a velocidade relativa entre esses dois referenciais S e S dmitamos, ainda, que o movimento relativo se processa, exclusivamente, ao longo dos respectivos eixos X e X Ou seja, de acordo com o boost de Galileu, deverá ter-se (veja-se a figura da página 36): x x vt x x vt y y y y z z z z tt t t última equação t t limita-se a exprimir matematicamente o preconceito newtoniano de que o tempo é universal e absoluto independente, portanto, do sistema de coordenadas inercial em que é medido Daqui decorre, imediatamente, a conhecida lei da adição de velocidades Vejamos Se uma partícula tem uma velocidade u em relação a S, tal que x ut, então o boost de Galileu diz-nos que a velocidade w dessa mesma partícula em relação a S será tal que x wt x vt u t vt u v t u v t w u v Mas então, se a partícula for um fotão que tem velocidade u c em S, esta lei da adição de velocidades implica que a velocidade do mesmo fotão, em S, deveria ser w c v c para v, em contradição com P tarefa de conciliar, numa mesma teoria coerente, P com P, parece condenada ao fracasso Mas essa teoria existe: é a teoria da relatividade restrita de Einstein E o primeiro passo dessa teoria consiste em algo profundo e radical: há que rever o conceito de simultaneidade equação t t do boost de Galileu parte de um princípio que tem de ser questionado: será mesmo o tempo algo de absoluto, independente do referencial considerado? nova teoria não admite qualquer preconceito à partida a saber: o conceito de simultaneidade absoluta é incompatível com P Por outras palavras: se P é verdadeiro (e a experiência diz-nos, inequivocamente, que assim é), então a simultaneidade é necessariamente um conceito relativo depende do referencial de inércia em análise É disso que este texto trata Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página

4 Consideremos um vagão de um comboio que se desloca, em relação à estação, com velocidade v (constante) O comprimento da carruagem é L do ponto de vista do observador O (no interior do compartimento) mas L do ponto de vista do observador O (na estação de comboios) Somos tentados a admitir que se tem L L mas essa admissão deve, também ela, ser questionada O referencial S da estação corresponde ao sistema de coordenadas do observador O Por sua vez, o referencial S corresponde ao sistema de coordenadas do observador interior da carruagem) O (que se desloca no O espaço planar x, ct consiste num plano em que cada ponto é, fisicamente, um acontecimento único que se localiza no ponto x e acontece no instante t trajectória, seja de um ponto material seja de um sinal luminoso ou electromagnético, neste espaço-tempo bidimensional, é designada por linha de universo Duas linhas de universo rectilíneas (movimento uniforme) não paralelas encontram-se sempre num único acontecimento (bem determinado) Esta propriedade é aqui explorada na determinação das coordenadas (quer em S quer em S ) de um dado acontecimento Sejam e a linha de universo da extremidade esquerda da carruagem e e a linha de universo da sua extremidade direita Então, do ponto de vista de O, a linha de universo e é dada pela equação e x vt enquanto que a linha de universo e é dada por e x vt L Sendo m a linha de universo do ponto médio da carruagem, a respectiva equação (também do ponto de vista de O ) será L m x vt Um sinal electromagnético que se propaga no sentido positivo do eixo x é dado pelas equações genéricas (representa-se, como é habitual, por c a velocidade da luz no vácuo constante universal, independente do sistema inercial de coordenadas considerado) Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 3

5 S x ct a S x ct a enquanto que um sinal electromagnético que se propaga no sentido negativo do eixo x é dado pelas equações genéricas S x ct b S x ct b s equações anteriores incorporam, portanto, o postulado P (ie, tem-se c c) dmite-se, para simplificar, que x x quando t t Suponhamos, agora, que no instante t o observador O observa a emissão de um sinal electromagnético a partir de e Como o acontecimento de emissão a partir de e tem coordenadas x, ct em S e coordenadas x, ct ct em S, as respectivas equações de propagação serão S x ct a S x ct a Porém, tanto o sinal electromagnético e m como o sinal electromagnético e m chegam simultaneamente ao observador O situado em m (veja-se a figura da página 5) Com efeito, a emissão proveniente de e é representada pelo acontecimento B cujas coordenadas em S deverão ser x L, ct B B Todavia, no referencial S da estação, as coordenadas de B deverão ser xb, ctb ct Desconhecemos (ainda) os valores de e de t Desconhecemos, também, qual a relação entre os comprimentos L e L Nota Naturalmente que, no caso (como iremos ver, errado) de se considerar que e B são (também) simultâneos em S, então deveria ser (mas não é) t t Seja M um terceiro acontecimento: a recepção, em m, do sinal proveniente de questão central é, portanto, a seguinte: Quais são as coordenadas do acontecimento M não só do ponto de vista de S mas também de S? Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 4

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7 Uma coisa é absolutamente inequívoca: os acontecimentos e B são simultâneos em S pois o sinal electromagnético tem de percorrer o mesmo espaço L quer no sentido e m quer no sentido e m (com a mesma velocidade c ) Ou seja: do ponto de vista de S as coordenadas do acontecimento M deverão ser L L L c xm, ctm c x M O acontecimento M pertence à linha de universo m Por outras palavras: em S as coordenadas x M e ct M têm de obedecer à equação genérica da linha de universo (tal como visto anteriormente) L m x vt E, além disso, o acontecimento M também pertence à linha de universo do sinal luminoso x ct Mas então, tem-se x vt L ct c v t L t L c v M M M M M Logo: S x ct M M S x ct M M cl c v L Por outro lado, o acontecimento M também pertence à linha de universo do sinal luminoso e m Este sinal luminoso tem a equação genérica (como se viu anteriormente) S x ct b S x ct b Logo, infere-se daqui que Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 6

8 c L c L c L S b x b x c v c v c v L L S b x b L xm Podemos resumir a situação relativa ao acontecimento M, dizendo: este acontecimento pertence a três linhas de universo saber: M L L Mm m x vt x M x ct x ct cl M x ct x ct x ct b ct L c v Para determinar as coordenadas dos acontecimentos e B já sabemos que B, S x, ct ct S x ct B, B, S x ct ct S x L ct B B Mas o acontecimento B, além de pertencer à linha de universo do sinal luminoso e m também pertence à linha de universo da extremidade direita e Recorda-se, aqui, esta situação:, e S x vt S x e S x vt L S x L Logo, em particular, tem-se e S S x x Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 7

9 B e S x vt L B S x L B B Portanto, como não só B e mas também B, vem sucessivamente: cl v x ct x ct c x ct c L vt L c v t c L B L c v t v L B B B B c v c v c v t B t vl c v Podemos, portanto, escrever que vl t t t t c v Este intervalo de tempo t é o que separa, no referencial S da estação, os acontecimentos e B que, como se viu, são simultâneos em S (ie, para um observador no interior do comboio): em S o acontecimento B ocorre passado o intervalo de tempo do ponto de vista de O t depois de, ie, B é posterior a Definições Uma equitemp é a linha que une todos os acontecimentos simultâneos, na perspectiva de um dado referencial (uma «equitemp» de S não coincide com uma «equitemp» de S ) Uma equiloc é a linha que une todos os acontecimentos que ocorrem num mesmo local (ponto), na perspectiva de um dado referencial (uma «equiloc» de S não coincide com uma «equiloc» de S ; mas isso já acontecia, também, num boost de Galileu) Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 8

10 Conclusão fundamental: Os acontecimentos e B são simultâneos em S (ie, para o observador O ) mas não são simultâneos em S (ie, para o observador O ) Por outras palavras: as «equitemps» de S não são paralelas às «equitemps» de S Esta conclusão contém o que há de mais essencial em relação à teoria da relatividade restrita de Einstein: o conceito de simultaneidade é um conceito relativo ao contrário da crença (errada), da mecânica de Newton, segundo a qual o tempo seria absoluto e, portanto, a simultaneidade seria (também) um conceito absoluto (ie, independente do referencial considerado) determinação de x B é trivial Vem x vt L L L c v c v c v v L v c L B B Introduzamos, agora, as definições (usuais, em relatividade) dos coeficientes e : v, c Então, podemos reescrever alguns dos resultados já obtidos de acordo com esta notação: v L c L t L t c v c c c L c L L c v c O eixo x é a «equitemp» em S correspondente a ct, ie, é a linha que liga os acontecimentos e B O eixo ct, por sua vez, é a «equiloc» em S correspondente a x ou a x vt, ie, é a Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 9

11 linha de universo e Notem-se, ainda, as seguintes relações geométricas: sendo o ângulo existente entre os eixos ct e ct, é v c tan dado que a equação do eixo ct tanto pode ser escrita quer como x quer como x vt c t ct uma vez que corresponde à linha de universo e Seja, agora, o ângulo existente entre os eixos x e x Nestas condições, tem-se x L, c t cot c t tan B Mas, como c t L, infere-se, ainda, que tan L xb L tan L Logo, como é (também, como visto anteriormente) L, obtém-se tan tan tan Conclusão: O ângulo existente entre os eixos x e x é o mesmo que o ângulo entre os eixos ct e ct Se se designar esse ângulo por, é tan Ver as figuras das páginas 5 e ssim, de acordo com os diagramas das páginas 5 e, o máximo ângulo possível é tan 4 Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página

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13 Este ângulo máximo corresponde à linha de universo x significa que os eixos do referencial S correspondem a: eixo ct «equiloc» x x ct vt c eixo x «equitemp» ct x ct t v ct (de um sinal electromagnético) Isto transformação (ou, com mais rigor, o «boost») de Lorentz deverá ter, assim, a seguinte forma: ct ct x x x ct Com efeito, a transformação é linear (transforma linhas de universo rectilíneas em linhas de universo, também, rectilíneas) e tem de ser tal que Eixo x: ct ct x Eixo ct: x x ct Porém, o sinal tanto pode ser descrito (em S ) por x ct como pode ser descrito (em S ) por x ct Então, depois de substituir estas equações na transformação de Lorentz, obtém-se ct ct t ct ct t pelo que deve ser, necessariamente, t t ssim, vem ct ct x x inversa desta transformação dá (invertendo a matriz anterior) Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página

14 ct ct x x Mas, de acordo com o princípio da relatividade, deveria obter-se (correspondendo a uma simples troca de v por v, ou, a uma simples troca de por ) ct ct x x Isto implica que deverá ter-se já que, para v, terá de ser Portanto, em síntese, um «boost» de Lorentz que corresponde a transformar os eixos x e ct em novos eixos x e ct, tal como indicado (geometricamente) nas figuras das páginas 5 e escreve-se analiticamente como segue: ct ct x ct ct x x x ct x x ct Na forma matricial, tem-se: ct ct ct ct x x x x propósito: como se tem cosh sinh é possível fazer (pois e ) Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 3

15 e e cosh e e tanh tanh ln e e e e sinh Logo, também cosh ln sinh ln Note-se, assim, que cosh sinh cosh sinh det det det det sinh cosh sinh cosh O parâmetro designa-se por rapidez do «boost» de Lorentz Neste pequeno estudo foram analisados, em concreto, três acontecimentos:, B e M Façamos, aqui, uma lista das coordenadas destes três acontecimentos (do ponto de vista de ambos os referenciais S e S ) x x, ct, ct M x M c L L c L L, ct M c v c v x M L L, ct M B c L vc L, B xb L ct L c v c v x L, ct B B Facilmente se prova que a teoria da relatividade desmonta o seguinte mito popular: na teoria da relatividade «tudo é relativo» Com efeito, encontra-se aqui um invariante Qual? Vejamos Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 4

16 transformação (passiva) de coordenadas para um mesmo acontecimento é, como se viu, a transformação de Lorentz De acordo com esta transformação: ct ct x x Consideremos, agora, dois acontecimentos quaisquer P e Q Tem-se então: ct ct ct P P Q ctq, x x x P P Q xq Daqui resulta, sucessivamente, que S PQ c tp tq xp xq c tp tq xp xq xp xq c tp tq c tp tq xp xq P Q P Q c t t x x o que mostra a invariância da quantidade real (positiva, negativa ou nula) S PQ pliquemos, então, esta invariância do intervalo de espaço-tempo aos dois acontecimentos B e Vem, neste caso, L L S L B Logo, a partir desta equação, é possível relacionar os comprimentos L com L Vem sucessivamente L L L L L Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 5

17 donde se tira, finalmente, que L L L L L Note-se que, nesta última equação, se tem sempre L L Por essa razão este efeito é conhecido por contracção do espaço Neste caso, isto significa que para o observador O o comprimento L do vagão é menor do que o respectivo comprimento L para o observador O Sublinhe-se o seguinte: não se trata, aqui, de qualquer espécie de ilusão ou, sequer, do facto de um observador estar «certo» e do outro estar «errado» Na verdade, ambos os observadores estão a realizar medidas correctas Simplesmente, em consequência da relatividade do conceito de simultaneidade, o comprimento do vagão depende efectivamente do referencial em que é medido Da mesma forma é possível inferir-se, aqui, a dilatação do tempo Vejamos como Seja T o intervalo de tempo que, do ponto de vista do observador O, decorre entre a emissão do sinal electromagnético no acontecimento e a sua recepção no acontecimento M O objectivo consiste, então, em determinar o correspondente intervalo de tempo T entre esses mesmos dois acontecimentos mas agora do ponto de vista do observador O Mais precisamente: tem-se L T t t c M Pretende-se, então, determinar a relação de T com o intervalo de tempo T, tal que L T t t c M Para este efeito podemos usar a já determinada expressão da contracção do espaço, que determina que se tem L L, Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 6

18 e, assim, inserir esta última relação em L L T L c c c Mas então, como se viu atrás T L c, donde se infere que T T T T onde se introduziu o chamado factor de Bondi Sublinhe-se, contudo, que esta não é a expressão da dilatação do tempo tal como é denominada na teoria da relatividade O resultado anterior (do factor de Bondi) poderia ser directamente inferido da invariância do intervalo: L L S L B Se se substituir, nesta última equação,, L c T L c T, obtém-se, sucessivamente, L c T L L c T T T T T T T Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 7

19 De forma a estudar a (verdadeira) dilatação do tempo há que levar a cabo uma outra operação (ou experiência conceptual) diferente: vamos admitir que, assim que o sinal emitido (no acontecimento ) por e atinge a linha de universo m (acontecimento M ), ele é instantaneamente reflectido de volta para a linha de universo e, aí chegando no (novo) acontecimento C (ver figuras das páginas 5 e ) Na chamada dilatação do tempo, é necessário comparar o tempo total T x, que decorre em S (entre a emissão e a recepção do sinal luminoso na mesma linha de universo e ), com o correspondente tempo T y (decorrido do ponto de vista de S ) Ou seja: trata-se de comparar o tempo decorrido entre os acontecimentos e C do ponto de vista dos dois referenciais Sublinhe-se que, neste caso, o tempo T x decorre em S sempre no mesmo ponto espacial x (ie, na mesma «equilococ» neste caso em x correspondente ao eixo ct que coincide com a linha de universo e ) Obviamente que o problema é trivial do ponto de vista de S, pois tem-se T L c x T questão que se coloca é a seguinte: determinar o intervalo de tempo T y que decorre, em S, entre os acontecimentos e C Este tempo é, no entanto, fácil de calcular Basta ter em consideração que o acontecimento C resulta da intersecção entre o sinal luminoso e a linha de universo e Recordando, aqui, que e x vt cl v x ct x ct c vem então c L c L c xc vty cty c v Ty Ty L c v c v c v C vc L L c L L, C y xc vty ct ct c v c v x, ct ct L C C x Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 8

20 Logo, tendo em consideração que (pela contracção do espaço) L L, vem c c c L Ty L L L c v c v c c T x T T T T y x x x Esta última expressão é que traduz, de facto, o efeito conhecido em teoria da relatividade por dilatação do tempo Note-se que, usando sinais electromagnéticos, a determinação do factor (de Bondi) é mais natural do que o factor (da dilatação do tempo) relação entre eles é dada por Tem-se apenas para Para vem Para vem Nota Final De acordo com as equações de Maxwell, a velocidade da luz no vácuo é dada por c ssim, o conceito de éter (ie, de um meio em relação ao qual a luz se propaga no mesmo sentido que dizemos que o som se propaga num meio material como é o caso do ar) é supérfluo (já que nenhuma experiência física consegue detectar a existência de um «vento» de éter) Neste sentido, esta equação implica, de facto, o postulado P Ou seja: as equações de Maxwell são a única teoria física (denominada electrodinâmica clássica), anterior à teoria da relatividade restrita, a permanecer incólume ao contrário da mecânica newtoniana a esta revisão conceptual Com efeito, Einstein apresentou a sua teoria (da relatividade restrita) como logicamente decorrente da electrodinâmica de Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 9

21 Maxwell, a saber: a electrodinâmica clássica é teoria física que compatibiliza P com P Hoje, porém, sabemos mais: existem na natureza 4 interacções fundamentais (gravitacional, electromagnética, nuclear forte e nuclear fraca) e, à excepção da gravitação (que implica a generalização da teoria da relatividade restrita na forma de teoria da relatividade geral), as outras três interacções fundamentais obedecem à teoria da relatividade restrita chamada teoria quântica do campo (quantum field theory) revela uma harmonia perfeita entre a mecânica quântica e a teoria da relatividade restrita Existe, contudo, um problema (ainda) em aberto: como conciliar a teoria da relatividade geral com a mecânica quântica relativista numa TOE (theory of everything) se é que uma tal teoria existe e é possível? chamada teoria das supercordas (superstring theory) não é, actualmente, uma teoria física aceite ela constitui, apenas, uma hipótese de trabalho (no âmbito de outras teorias físico-matemáticas, igualmente possíveis, mas também problemáticas) Comentário teoria da relatividade restrita é, hoje, totalmente pacífica e aceite por toda a comunidade científica reconhecida (ie, de mainstream) Nem sempre assim foi: veja-se o caso notável de Herbert Dingle (89 978), alguém que chegou a ser presidente da Royal stronomical Society (entre 95 e 953), que até publicou um livro de «divulgação», em 9, sobre «relatividade» (intitulado Relativity for ll) e que é hoje um facto pacífico, nunca conseguiu entender do que tratava realmente esta teoria: veja-se, eg, o seguinte comentário: Mas isso não significa que a teoria da relatividade restrita não cause, nos estudantes especialmente nos mais atentos e inteligentes muitas interrogações É essa a marca da genialidade de lbert Einstein ( ) Sublinhe-se que, ainda hoje, existem (muitas) pessoas (quiçá, até, cientistas de outras áreas, que fazem pouco uso da física) que embora (até) conheçam as equações da transformação de Lorentz (aliás como o próprio Lorentz, quando as escreveu antes de Einstein) não conseguem entender o (verdadeiro) significado físico do que elas encerram Por essa razão, é fundamental que os primeiros passos de um neófito (da relatividade restrita) não sejam dados através da simples dedução das fórmulas de Lorentz No início, tem de se apelar à compreensão física nunca à manipulação (cega) de equações, de forma automática (ie, seguindo simples regras algébricas), sem se atender (primeiro) ao profundo significado físico que está por detrás da matemática matemática fundamental de resto é (até) bastante básica e simples (acessível, Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página

22 inclusivamente, a alunos do ensino secundário que dominem a álgebra linear mais elementar) Isto não significa que os alunos do ensino secundário tenham todos eles a maturidade intelectual suficiente para entender o que está realmente em causa Sugestão Sugere-se que se entenda, do ponto de vista estritamente geométrico (no sentido da geometria sintética e não da geometria analítica), a afirmação contida na legenda da figura da página Mais concretamente: os comprimentos CM e MB são iguais Porquê? Porque a linha de universo (ver agora a figura da página 5) intersecta três linhas de universo e, m, e que são paralelas entre si e equidistantes, ie, a distância entre e e m é a mesma que a distância entre m e e (em qualquer dos dois referenciais considerados) DEND: Para uma abordagem mais rápida e intuitiva relatividade do conceito de simultaneidade é, graficamente, muito simples de entender se, ao contrário do texto precedente, não for procurada uma quantificação precisa dessa relatividade É dessa forma gráfica (e qualitativa/intuitiva) de revelar a relatividade da simultaneidade que trata esta adenda Centremos, então, a nossa atenção sobre a figura da página O acontecimento M ocorre, do ponto de vista de S, a uma distância da linha de universo e (que liga os acontecimentos e C ) dada por L, ie, x L Coloca-se, agora, a seguinte questão: sobre a «equiloc» M x de S (ie, sobre a linha de universo e ) onde é que se situa o acontecimento N que, em S, é simultâneo com M? Por outras palavras: onde é que e intersecta a «equitemp» de S que passa em M? resposta é imediata: o acontecimento N situa-se, sobre e, a meia distância entre os acontecimentos e C Justificação: o tempo que o sinal electromagnético demora (em S ) a ir do acontecimento até ao acontecimento M é o mesmo que o tempo que o sinal electromagnético demora (também em S ) a ir do acontecimento M ao acontecimento C e que é L t t t t t t c M C M C ssim, N tem de ter, em S, as seguintes coordenadas: Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página

23 x, ct L N M Em conclusão: «equitemp» de S, que passa por M, é uma linha recta paralela ao eixo x que intersecta e em N a meia distância entre e C Mas, por outro lado, é evidente que do ponto de vista de S os acontecimentos N e M não são simultâneos (já que a linha que liga estes dois acontecimentos não é paralela ao eixo x ) Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página

24 Nesta adenda aos apontamentos anteriores discute-se, mais pormenorizadamente, a construção das linhas «equiloc» e «equitemp» para uma dado observador inercial O Para fixar ideias vamos considerar que o observador em questão se desloca, em relação ao LB (laboratório), com uma velocidade normalizada v c 3 Se designarmos por y ct a linha de universo deste observador (ie, a sua «equiloc»), podemos escrever no referencial do LB que esta linha de universo corresponde à equação y x,, em que, portanto, se tem 3 Vamos, ainda, considerar que existe um acontecimento que, no referencial do LB, tem coordenadas x, y com y ct dmitamos que se tem x e y 3 Começamos por perguntar: qual é a «equitemp» de O que contém o acontecimento? Por outras palavras: qual é o acontecimento R que é do ponto de vista de O simultâneo com o acontecimento? resposta encontra-se nas Figs e da página seguinte No instante t (acontecimento P ) é enviado um sinal electromagnético de O para Neste acontecimento o sinal é instantaneamente reflectido de volta para O aí chegando no instante t (acontecimento Q ) Então, o acontecimento R simultâneo com localiza-se sobre a linha de universo O a meia distância dos acontecimentos P e Q (Fig ) Com efeito, o tempo gasto pelo sinal electromagnético no percurso (de ida) P é idêntico ao tempo gasto no percurso (de volta) Q Por essa razão, o instante (para o observador O ) do acontecimento R é t R tal que c t ct ct R Na Fig indica-se, ainda, o acontecimento B que tal como e R também pertence à mesma «equitemp» O do observador O notação traduz o facto de que por definição a «equiloc» O é ortogonal à «equitemp» O Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 3

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26 Podemos, agora, determinar no referencial do LB as coordenadas dos acontecimentos P e Q da Fig O acontecimento P pertence ao sinal electromagnético de equação y x a enquanto que o acontecimento Q pertence ao sinal electromagnético de equação y x b Como o acontecimento se encontra na intersecção destes dois sinais, vem y x a a y x y x b b y x pelo que, como x e y 3, vem a, 5 b Mas então, como os acontecimentos P e Q pertencem à «equiloc» O cuja equação é y x, infere-se que a x y x a P P P yp xp a yp donde, como 3, x y P P, nalogamente, obtém-se b x y x b Q Q Q yq x b y Q Q Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 5

27 5 xq, 4 5 yq 4 É agora possível determinar todas as coordenadas dos acontecimentos assinalados na Fig do ponto de vista do observador O Designemos essas coordenadas por x, y para as distinguir das coordenadas x, y relativas ao referencial do LB Obviamente, a «equiloc» das Figs e, correspondente a y x em relação ao LB, escreve-se agora x Pelo acontecimento passa a «equiloc» x passar a «equiloc» x x enquanto que, pelo acontecimento B, deverá x (Fig ) Qual é o valor de x? Facilmente se responde a esta questão se se tiver em consideração que o percurso do sinal electromagnético de x (acontecimento P ) até x x (acontecimento ) leva o mesmo tempo que o percurso inverso de x x (acontecimento ) até x (acontecimento Q ) Logo x ct ct Porém, como e R pertencem à mesma «equitemp» de O, infere-se que y y y ct ct B R Recorda-se, aqui, que xp xq xr Falta, portanto, determinar os valores de ct e ct para se poder, finalmente, calcular as coordenadas x, y do ponto de vista de O Porém, a geometria do espaço-tempo de Minkowski não é euclidiana Mais precisamente: a unidade de comprimento ao longo da «equiloc» O não é idêntica à unidade de comprimento do LB; o comprimento unitário ao longo de O deverá valer um valor (desconhecido, por enquanto) em termos da unidade do LB Nestas condições, podemos calcular em termos de os valores de ct e de ct ssim, vem sucessivamente Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 6

28 ct x y ct x y P P Q Q,, xr, y c t ct ct x y x y R R Q Q P P x ct ct x y x y y ct ct x y x y Q Q P P Q Q P P Para os valores numéricos considerados, vem:,, ct ct xq yq xp yp 5, 4 8 Para calcular o coeficiente há que ter em consideração a hipérbole de calibração que passa pelo acontecimento equação desta hipérbole, no referencial do LB, é dada por H c t x c y x y y c Para calcular o valor de y basta substituir na equação anterior as coordenadas do acontecimento dadas para o referencial do LB: x y 9 5 y c 3 4 Esta hipérbole intersecta a linha de universo O, dada por y x, no acontecimento S x, y S S tal que (ver Fig 3 na pág 9) Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 7

29 y xs, xs xs y y ys xs Calculando numericamente, obtém-se: 5 xs 4 5 xs ys y OS LB LB 3 5 OS 4 ys 4 Mas, por outro lado, tem-se na verdadeira métrica de Minkowski o valor y c y OS OS LB que, numericamente, corresponde a 5 ssim, obtém-se: 5 9 ct x, 8 ct y 4 8 Note-se que, portanto, esta métrica depende exclusivamente do declive Este factor de conversão só faz sentido, naturalmente, quando Para (sinal electromagnético) vem No outro extremo, quando (caso do LB), obtém-se De seguida vai-se analisar, geometricamente, o significado do acontecimento S sobre a linha de universo O Para isso, porém, há que considerar a Fig 3 Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 8

30 Em primeiro lugar considera-se um novo observador (inercial) P a que pertence o acontecimento das Figs e O acontecimento O resulta da intersecção entre O e P Faremos, doravante, O, para todos os observadores incluindo o referencial do LB Note-se que a linha de universo do observador P corresponde, no referencial do LB, à equação y x Para os valores numéricos considerados, vem y x 3 Há ainda a necessidade de introduzir um terceiro observador o referee que se designará por R Este terceiro observador árbitro está sempre colocado a «meio» caminho entre os dois Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 9

31 observadores O e P no seguinte sentido: os sinais electromagnéticos emitidos pelo árbitro R, num certo instante (acontecimento U da Fig 3), em direcção quer a O quer a P são reflectidos (acontecimento S de O e acontecimento de P ) e voltam simultaneamente ao observador árbitro R (acontecimento V da Fig 3) Do ponto de vista do observador P o acontecimento tem coordenadas, ct c lém disso, como se viu anteriormente, do ponto de vista do observador O tem-se, por outro lado, P, c tp ct, R, ct R, S, c ts ctx e Q, c tq ct factor de Bondi, facilmente se verifica que Então, introduzindo o t t t t Note-se, também, que tt t t t t nalogamente, sendo o factor de Bondi entre O e P e o factor de Bondi entre O e R, vem ainda t t t t tx t t t tx tt t t t t t t tx tx t t t t t x x onde se considerou que, do ponto de vista de O, se tem c t ct R, se tem U e V, ctu ct, ctv ct S, S x e, do ponto de vista de Mas então, infere-se que t t t x Note-se, também, que t 4 t Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 3

32 e ainda t tx t t t tx Portanto t t t t lém disso, vem t t t t t t t t t t t t t t t t t t x t x t Para os valores numéricos considerados, confirma-se o valor de y c já obtido anteriormente: 5 y c ct ct Este último resultado expressa o chamado teorema de Minkowski: o comprimento O é, na métrica não euclidiana do espaço-tempo de Minkowski, idêntico ao comprimento OS Na Fig 3 da pág 9 tem-se, de acordo com este teorema, O OS c TEOREM DE MINKOWSKI O OS c ct ct Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 3

33 Seja v c a velocidade normalizada relativa do observador P em relação ao observador O Logo, como v x y c t c, vem t x ct ct t y ct ct t t Daqui infere-se que, inversamente, Para os valores numéricos considerados, vem ct 9, ct Também se tem, 4, em que v c tanto representa a velocidade relativa (normalizada) do árbitro R em relação ao observador O como a velocidade relativa (normalizada) do observador P em relação ao árbitro R Na pág 35 representam-se na Fig 4: os vários observadores, o LB, a hipérbole de calibração e os acontecimentos S e Note-se que, no LB, o acontecimento x, y U tem coordenadas U U x y y x x y y y x x U S P S P U S P S P Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 3

34 de modo que a equação da trajectória, no LB, do referee será y y 3 x, 3 U xu Para os valores numéricos considerados, vem: 5 xu 4 y 5 U 3 5 xu 5 yu 4 Em síntese: no referencial do LB, o observador O é descrito pela equação y ct x, o observador P é descrito pela equação y ct x e, finalmente, o referee R é descrito pela equação y ct 3 x Numericamente, tem-se: 3 5 3,, Ou seja: v v v ,, 3 c c c 3 Note-se, a propósito, o seguinte: usando a composição de velocidades de Einstein, é possível confirmar os valores obtidos para, e De acordo com o esquema LB tem-se Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 33

35 Como, no exemplo numérico considerado, 9 e 3, resulta efectivamente 3 Na mesma linha de raciocínio, obtém-se Para vem então, como não podia deixar de ser, 9 Obviamente que, de forma análoga, se tem, Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 34

36 Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 35

37 Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 36

38 Vai-se, agora, apresentar uma primeira dedução da transformação de Lorentz Tal como se disse atrás, a transformação de Lorentz só deve ser apresentada e deduzida depois de uma primeira parte exclusivamente dedicada ao estudo da relatividade do conceito de simultaneidade (sem artifícios matemáticos desnecessários, que apenas podem desviar a atenção da essência física do problema) Como sempre considera-se, aqui, a chamada configuração «standard» dos eixos dos dois referenciais de inércia S, S que se encontram em movimento relativo com velocidade v c origem O do sistema de eixos S,, X Y Z coincide com a origem O do sistema de eixos S X, Y, Z quando t t Um dado acontecimento é descrito em S através das coordenadas ct, x, y, z Esse mesmo acontecimento é descrito em S através das coordenadas ct, x, y, z transformação de Lorentz relaciona, entre si, as coordenadas de S com as de S Usam-se, nesta primeira dedução, os dois postulados explicitados (logo) na página Uma vez que o movimento relativo apenas deve relacionar os eixos espaciais X com X, deverá ter-se (tal como na transformação de Galileu): y y, z z Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 37

39 configuração «standard» dos eixos implica, desde logo, que tem de ser x x vt x x vt Isto significa que se deverá procurar uma transformação da forma x x vt x ct x x vt x ct onde os coeficientes, são desconhecidos (por enquanto) NOT Poder-se-ia admitir uma transformação mais complicada Porém, se for possível chegar a uma solução em coerência com esta hipótese, o problema pode considerar-se resolvido Comecemos por aplicar o postulado P (princípio da relatividade) De acordo com este postulado deverá ter-se pois, no espaço livre e ilimitado (homogéneo e isotrópico), nada distingue os dois sistemas de coordenadas a não ser o facto das duas velocidades relativas serem diametralmente opostas (enquanto que O vê O afastar-se para a direita, O vê O afastar-se para a esquerda) NOT transformação de Galileu corresponde ao caso particular em que se tem, simplesmente, Como se verá adiante corresponde, para, a considerar-se c ssim, tem-se, x x ct x x ct Vai-se aplicar, agora, o postulado P (invariância da velocidade da luz no vácuo) Se um laser emitir um feixe luminoso descrito, em relação a S, pela equação x ct, o mesmo feixe luminoso terá de ser descrito, em relação a S, pela equação x ct Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 38

40 Logo, após substituir estas duas últimas equações de propagação nas equações de transformação, obtém-se, respectivamente,, ct ct ct ct Multipliquemos (ordenadamente) estas duas últimas equações: c t t c t t Daqui se infere porque deverá ser quando v a seguinte conclusão: Falta, então, determinar de que forma o tempo se transforma Comecemos pela equação x x ct x ct ct x x, vem ainda Logo, de pois de substituir na última equação x x ct ct x x x x ct ct x ct ct x Porém, atendendo a que infere-se, ainda, que Logo, é também possível escrever ct ct x ct ct x Deixa-se como exercício para o leitor demonstrar, de forma análoga, que se obteria (também) ct ct x Por simetria, esta última equação obtém-se da anterior substituindo Em síntese: Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 39

41 ct ct x ct ct x x x ct x x ct v, y y y y c z z z z Note-se que a uma onda electromagnética esférica em S da forma x y z c t corresponde, em S, a onda electromagnética (também esférica) x y z c t validade simultânea destas duas equações revela que tal é, de facto, incompatível com a transformação de Galileu (verifique porquê) transformação de Lorentz permite, desde já, demonstrar como corolário a seguinte invariância: c t x y z c t x y z Como y y e z z, basta provar que (invariância do intervalo de espaço-tempo ou, mais simplesmente, invariância do intervalo) c t x c t x Vejamos tendendo a que ct x ct x x ct, vem sucessivamente ct ct x como se pretendia demonstrar x Nas páginas 3 e 4 introduziu-se o parâmetro da rapidez qui vai-se elaborar um pouco mais sobre este conceito Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 4

42 Comecemos por reescrever a transformação de Lorentz na forma matricial: ct ct x x transformação inversa corresponde, então, a ct ct x x Como cosh, sinh, tanh, vem sucessivamente sinh cosh ct ct x ct cosh ct x x x ct x sinh ct x ct cosh sinh ct x sinh cosh x pelo que sinh sinh ct x cosh ct x ct x e ct x ct x cosh ct x ct x e ct x ct x ct x ct x ct x c t x c t x Ou seja: a introdução da rapidez permite uma demonstração mais elegante da invariância do intervalo Esta invariância desempenha, em relatividade restrita, um papel fundamental Com base nela pode afirmar-se que a geometria do espaço-tempo de Minkowski não é euclidiana O plano x, ct tem uma métrica hiperbólica NOT O plano euclidiano x, y tem uma métrica euclidiana: a distância D, tal que D x y, é invariante numa rotação O plano hiperbólico, o intervalo, tal que ct x ct tem uma métrica hiperbólica: x, é invariante num «boost» de Lorentz forma quadrática, é definida positiva Porém, a forma quadrática Q x, ct Q D x y mas também não é definida negativa Com efeito, tem-se: (i) Q, se ct x ; (iii) Q, se ct x não é definida positiva Q, se ct x ; (ii) Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 4

43 Vai-se, agora, apresentar uma segunda dedução da transformação de Lorentz Esta dedução deve-se ao matemático e cosmólogo Sir Hermann Bondi (99 5); tem a vantagem de fazer intervir o factor de Bondi, de que se falou anteriormente (primeiro na página 7 e, mais extensamente, no segmento sobre «equilocs» e «equitemps») Trata-se, portanto, de uma dedução com um maior conteúdo físico-geométrico do que a anterior (essencialmente analítica) Consideremos, em primeiro lugar, a Fig 3 da página 9 o observador O associamos o sistema de coordenadas S Como y y e z z Por sua vez, ao observador, apenas iremos considerar as coordenadas, O associa-se o novo sistema de coordenadas S x, ct S x ct Comecemos por, em relação à Fig 3 da página 9, determinar as coordenadas em S do acontecimento Tal como se viu anteriormente, tem-se ct ct ct x ct ct, Daqui resulta ct x ct, ct x ct Mas, introduzindo o factor de Bondi, deverá ter-se t t, t t, donde t t NOT utilização do mesmo factor nas duas equações anteriores deve-se ao postulado P (princípio da relatividade) Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 4

44 Portanto, infere-se que ct ct x ct ct x Seja v c a velocidade relativa de S O em relação a S O Obtém-se então x v t ct Sublinhe-se o seguinte: aqui v a O Logo, conclui-se que c representa a velocidade relativa do observador O em relação ct x ct x Note-se que, para, é sempre Para vem e, para, vem Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 43

45 Consideremos, agora, a nova figura anexa (no início da página 4) Trata-se de determinar, nesta nova figura, as coordenadas do (novo) acontecimento, aí representado, quer em relação a S O quer em relação a S O Será x, ct referencial S (observador O ) e x, ct no referencial S (observador então, com esta nova figura, vem no O ) De acordo, S ct ct ct ct ct ct S x ct ct x ct ct Daqui infere-se, portanto, que S ct x ct ct x ct S ct x ct ct x ct Notemos, no entanto, que sendo v c a velocidade relativa de S em relação a S vem: t t, t t, Mas então: ct x ct ct ct x, ct x ct ct ct x Uma primeira consequência deste resultado é a invariância do intervalo saber: ct x ct x ct x c t x ct x c t x Uma segunda consequência é a própria transformação de Lorentz Com efeito, vem: ct ct x x x ct Para terminar a nossa dedução falta, apenas, fazer alguns cálculos simples:, Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 44

46 ssim, vem ct ct x ct ct ct cosh sinh ct x x ct x x x sinh cosh x o que termina a nossa demonstração Na figura seguinte apresenta-se o correspondente diagrama de Minkowski Note-se que se tem cosh, sinh tanh Deste modo, a relação entre a rapidez e o factor de Bondi é a seguinte: Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 45

47 tanh ln ln, e Para vem e Para vem e Para vem e Para vem e Para vem e Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 46

48 Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 47

49 Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 48

50 Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 49

51 Nesta secção vai-se deduzir a lei de composição (ou adição) de velocidades em relatividade restrita Considera-se, em primeiro lugar, a simples composição de velocidades na mesma direcção E, neste caso, usa-se o conceito de rapidez (ver páginas 3, 4, 4 e 44) Tal como se viu na página 4 tem-se ct x e ct x ct x e ct x em que ln ln Nestas expressões apenas se considera o movimento relativo entre S e S caracterizado pela velocidade relativa v c Vamos, agora, considerar uma situação (ligeiramente) mais complexa tal como se indica no diagrama seguinte v u S S S Esta situação pode, também, ser analisada na seguinte perspectiva alternativa S w S Em termos da transformação de Galileu a relação entre as duas situações é bastante simples Vem, como se viu na página, w u v Porém, como também se viu, este resultado é incompatível com o postulado P [sobre a invariância da velocidade da luz (no vácuo)] Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 5

52 Vejamos, então, qual a (nova) perspectiva da transformação de Lorentz sobre esta simples composição de velocidades Façamos, por definição, v c ct x e ct x ct x e ct x u c & ct x e ct x ct x e ct x w c e, ainda, ct x e ct x ct x e ct x tendo-se considerado, portanto, ln, ln, ln Inversamente, tem-se (página 44) tanh, tanh, tanh Mas então, como facilmente se verifica, deverá também escrever-se ct x e ct x e e ct x e ct x ct x e ct x e e ct x e ct x ou seja, esta composição de velocidades corresponde, simplesmente, à seguinte soma: Daqui resulta, portanto, que tanh tanh Infere-se, então, que tanh tanh, tanh tanh tanh ou seja Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 5

53 u v w uv c Esta última expressão corresponde, portanto, à lei da composição de Einstein de velocidades (no caso mais simples, em que u e v são colineares) Por vezes, escreve-se (simbolicamente): w u v u v uv c Note-se, desde já, que lim u v u v c Ou seja: quando se faz c na lei de Einstein recupera-se a lei da composição de velocidades de Galileu-Newton lém disso, esta nova lei como não poderia deixar de ser é compatível com o postulado P Com efeito, se u c, então c v c v w c v c c v, c v c mesmo no caso em que (também) v c (ie, tem-se c c c ) NOT Deve, porém, salientar-se que, quando u c v c v w c v c c v c v c c, se obtém desde que se considere v c Por exemplo, para v c, obtém-se (também) w c c c Mas os casos w c c e w c c conduzem a indeterminações Com efeito, estes dois últimos casos poderão ser interpretados como pertencentes à mesma onda electromagnética caso em que c c c c Vai-se, agora, deduzir um caso mais geral Vamos admitir que ux, uy, uz u em S, com Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 5

54 x u t, y u t, z u t x y z s correspondentes componentes, em S, serão u ux, uy, uz Mais uma vez admite-se uma configuração «standard» (como se ilustra na figura da página 36) situação física é a seguinte: uma partícula tem uma velocidade (vectorial) u 3, em relação ao sistema inercial S, e pretende- 3 se conhecer a velocidade (vectorial) u, dessa partícula, em relação ao sistema inercial S que se move em relação a S (tal como se indica na figura da página 36) Os dois diagramas seguintes ilustram esta situação u= u,,,, x u y u z u u partícula x u y u S S z S S v S Notemos, desde já, a relação entre esta (nova) nomenclatura e a dos diagramas da página 45: nos diagramas desta página u e u correspondem, respectivamente, a w e u nos diagramas da página 45; mais precisamente ux w e ux u Comecemos, então, por definir x u t, y u t, z ut x y z Vamos, neste caso, utilizar as seguintes expressões para a transformação de Lorentz: uv x x x vt x u x x v t u t ux v t c y y y uy t uv x z z z u uy t u z t yt c v uv x t t x t t uv x c c uz t u zt c Comecemos por verificar que, da primeira equação, resulta: uxv ux v ux v u x u x c uv x c Porém, antes de prosseguir, sublinhe-se a seguinte equivalência que faz uso da equação anterior: Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 53

55 v u x v v u x v ux v c c c uxv u xv uv x c c c c Esta última equação permite, agora, obter com facilidade as restantes duas equações de transformação Vem então: uxv uy uxv uz uy uy, u z uz c uxv c uxv c c ssim, em síntese, obtém-se: ux v uy uz ux, uy, uz uv x uxv uxv c c c Estas fórmulas podem facilmente reduzir-se ao caso elementar anteriormente já deduzido Com efeito, façamos (ver a correspondência entre os diagramas das paginas 45 e 48): uy u z, u ux e w u Infere-se, assim, que x u v w uv c Este resultado coincide, de facto, com o resultado obtido anteriormente por intermédio do conceito de rapidez e aplica-se como se referiu então ao caso particular das velocidades colineares Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 54

56 Frequentemente, para facilitar os cálculos, faz-se c Isto corresponde a considerar as mesmas unidades para espaço e tempo Por exemplo: (i) o tempo é medido em segundos e o espaço em segundos-luz; (ii) ou então, o espaço é medido em metros e o tempo em metros-luz Um segundo-luz é a distância x, percorrida pela luz (no vácuo), no intervalo temporal t s: x segundo-luz m Um metro-luz é o intervalo temporal t durante o qual a luz, ao propagar-se no vácuo, percorre uma distância x m : t metro-luz s s Na figura anexa da página seguinte mostra-se o diagrama de Minkowski nestas unidades ditas unidades geométricas Consideremos, então, um acontecimento xt, hiperbólico, pelo vector (unidades geométricas): Este acontecimento é representado, no plano r e e t x Os vectores unitários e, e referencial tem-se x, t B constituem uma base deste espaço de Minkowski Num outro e, então, r t f x f Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 55

57 B f f onde, agora, o mesmo vector é descrito na nova base, Sublinhe-se que todos estes vectores são unitários e ortogonais: e e f f & e e f f Neste sentido, podemos escrever: (i) e e ; (ii) f f O facto de, no anterior diagrama de Minkowski, parecer que o ângulo entre f e f não é um ângulo recto é, apenas, uma ilusão: devemos notar que a geometria associada ao plano hiperbólico (e, consequentemente, ao diagrama de Minkowski) não é euclidiana métrica não é euclidiana: o comprimento dos vectores e e f é unitário pois as extremidades respectivas pertencem à mesma hipérbole de calibração cosh cosh t t t x ou xsinh xsinh nalogamente, o comprimento dos vectores e e f é (também) unitário já que as extremidades respectivas pertencem à mesma hipérbole de calibração Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 56

58 sinh sinh t t x t ou x cosh x cosh Num boost de Lorentz, tem-se t t cosh sinh t cosh, tanh x x sinh cosh x sinh e, inversamente, t t cosh sinh t x x sinh cosh x Como é sabido, tem-se exp cosh sinh exp cosh sinh cosh sinh Esta última equação corresponde ao teorema de Pitágoras no plano hiperbólico Daqui infere-se que r t x f f t x f x t f e f cosh sinh f f f t x f f e f sinh cosh f te xe e, inversamente, f e cosh sinh e f e sinh cosh e Portanto t x t e x e t e x e t e t x e e x e r e e e e te xe e, analogamente, Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 57

59 t x t x t x f f f f t t x x t f x f r f f f f f f f f dmitamos, então, que se fará sempre: e f Daqui resulta, imediatamente, que a invariância do intervalo r t x t x impõe e f Infere-se, portanto, que cosh sinh f e f e f e f e No plano hiperbólico existem três tipos distintos de vectores Vejamos (com ) ) Vectores do tipo tempo (a dá-se o nome de tempo próprio que é um invariante): r c f c cosh e sinh e r c r c Isto corresponde a fazer ct x c cosh c sinh c t x c Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 58

60 ) Vectores do tipo espaço (a dá-se o nome de comprimento próprio que é um invariante): r f sinh e cosh e r r Isto corresponde a fazer ct sinh x cosh x c t 3) Vectores do tipo luz (com ): r f f exp e e r r Isto corresponde a fazer ct exp x exp c t x Existe, assim, uma novidade absoluta em relação ao caso euclidiano: há vectores não-nulos que têm, não obstante, um comprimento nulo (os vectores do tipo luz com ) Registe-se, ainda, o seguinte facto muito importante: um qualquer vector do tipo tempo é sempre ortogonal a outro qualquer vector do tipo espaço justificação é imediata: f f f f E mais: dois vectores do tipo-luz são mutuamente ortogonais (incluindo dois vectores do tipo-luz idênticos) e e e e e e e e e e Note-se, porém, que Com efeito: e e e e e e Ou seja: os vectores u e e e u e e não são ortogonais porque vectores seriam ortogonais) u u e e e e e e (em métrica euclidiana estes dois Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 59

61 definição formal da matriz da métrica hiperbólica adoptada é a seguinte: e e e e f f f f e e e e f f f f G det G métrica não se altera num boost de Lorentz em que e f & e f contracção do espaço e a dilatação do tempo são, assim, meras consequências do teorema de Pitágoras no plano hiperbólico Comecemos por considerar a figura anexa da página seguinte Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 6

62 Nesta última figura ilustra-se a dilatação do tempo e a contracção do espaço Consideremos um relógio, estacionado em x, que mede um intervalo de tempo (em S ) O T f Para um observador em S, que vê o relógio em andamento, o tempo decorrido entre os acontecimentos O e é o mesmo que entre os acontecimentos O e B dado que e B pertencem à mesma «equitemp» de S ssim, o correspondente tempo medido por um relógio em x é dado por OB T e Sendo o ângulo hiperbólico entre OB e O, é tanh B OB Consequentemente, tem-se B T e O triângulo OB é rectângulo (o ângulo recto encontrase indicado através de um ponto) Neste triângulo, tem-se então O OB B T f T e T e T T e T e T T T T T T que revela, deste modo, a dilatação do tempo Consideremos, agora, uma régua de comprimento próprio L, ie, tal como medido no referencial em que a régua se encontra em repouso Seja OP Le No referencial S, que observa a régua em movimento, há que medir as duas extremidades da régua ao longo de uma única «equitemp» de S : o eixo x (correspondente a t ) O comprimento medido é, portanto, OQ L f Ora, neste caso, é tanh PQ OP O triângulo OPQ é rectângulo (o ângulo recto encontra-se indicado através de um ponto) Neste triângulo, tem-se então OQ OP PQ Lf L e L e L L e L e Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 6

63 L L L L L L que revela, deste modo, a contracção do espaço dilatação do tempo e a contracção do espaço, embora reais (ie, mensuráveis por cada observador) são, contudo, recíprocos Vejamos, agora, o que significa essa reciprocidade Consideremos, então, a nova figura anexa da página seguinte Nesta figura embora não pareça a olhos treinados na geometria euclidiana existem, novamente, dois triângulos rectângulos O triângulo OB é rectângulo porque o ângulo B é recto (resulta da intersecção entre uma «equitemp» e uma «equiloc» do referencial S ) nalogamente o triângulo OPQ é rectângulo porque o ângulo P é recto hipotenusa de OB é o lado O ; a hipotenusa de OPQ é o lado OQ Um relógio, estacionário em x, mede um intervalo de tempo (em S ) O Te Para um observador em S, que vê este relógio em movimento, o tempo decorrido entre os acontecimentos O e é o mesmo que entre os acontecimentos O e B dado que e B pertencem à mesma «equitemp» de S ssim, para um relógio em x, o tempo decorrido entre os acontecimentos O e é OB T f Logo, como tanh B OB, Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 6

64 infere-se que T f B Consequentemente, O OB B T e T f T f T T f T f T T T T T T donde se infere a dilatação do tempo Consideremos, agora, uma régua de comprimento próprio L, ie, tal como medido no referencial em que a régua se encontra em repouso Seja OP Lf No referencial S, que observa a régua em movimento, há que medir as duas extremidades da régua ao longo de uma única «equitemp» de S : o eixo x (correspondente a t ) O comprimento medido é, portanto, OQ L e Ora, neste caso, é tanh PQ OP Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 63

65 O triângulo OPQ é rectângulo (o ângulo recto encontra-se indicado através de um ponto) Neste triângulo, tem-se então OQ OP PQ Le L f L f L L f L f L L L L L L que revela a contracção do espaço Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 64

66 lista bibliográfica que, aqui, se apresenta encontra-se agrupada em três secções distintas separação entre cada um destes grupos baseia-se, essencialmente, no respectivo grau de sofisticação matemática O primeiro grupo (elementar) tem como público-alvo os alunos universitários do primeiro ciclo (fase inicial da licenciatura ou, até mesmo, os melhores alunos do ensino secundário) O segundo grupo (intermédio) destina-se a alunos universitários do segundo ciclo (alunos de mestrado ou na fase terminal do primeiro ciclo) Finalmente, o terceiro grupo (avançado) destina-se a alunos do terceiro ciclo universitário correspondente, portanto, a alunos de doutoramento ou, nalguns casos até, de pós-doutoramento Note-se, porém, que apenas se incluem nesta lista os livros dedicados, exclusivamente, à teoria da relatividade restrita Excluem-se, portanto, os livros sobre relatividade geral que (apenas) abordam, nos primeiros capítulos, a relatividade restrita Termina-se esta lista com uma colectânea de artigos originais (incluindo os de lbert Einstein) Nível Elementar ndrew M Steane, The Wonderful World of Relativity Precise Guide for the General Reader Oxford: Oxford University Press, Hermann Bondi, Relativity and Common Sense New pproach to Einstein New York: Dover Publications, 98 republication of the original (964) edition N David Mermin, It s bout Time Understanding Einstein s Relativity Princeton, NJ: Princeton University Press, 5 Edwin F Taylor and John rchibald Wheeler, Spacetime Physics Introduction to Special Relativity, Second Edition New York: W H Freeman and Company, 99 Tevian Dray, The Geometry of Special Relativity Boca Raton, FL: CRC Press, Domenico Giulini, Special Relativity First Encounter Years Since Einstein Oxford: Oxford University Press, 5 David Bohm, The Special Theory of Relativity London: Routledge, 996 Carlos R Paiva, DEEC IST, Fevereiro de 5 Página 65