Aula 18. Teoria da Relatividade Restrita (1905) Física Geral IV - FIS503. Parte I

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1 Aula 18 Teoria da Relatividade Restrita (1905) Parte I Física Geral IV - FIS503 1

2 Documentário - National Geographic

3 Nesta aula: Relatividade das velocidades Próxima aula: Efeito Doppler da Luz Momento Relativístico Energia Relativística 3

4 Invariância de Galileu Princípio de relatividade: As leis fundamentais da Física são as mesmas em todos os sistemas de referência inerciais, isto é, a forma das equações física não pode depender do estado de movimento de um observador. Em outras palavras: dois observadores que se movem com velocidade uniforme, um relativamente ao outro, devem formular as leis da natureza exatamente da mesma forma. Em particular, nenhum observador em um referencial inercial pode distinguir entre repouso absoluto e movimento absoluto. Não existe movimento absoluto, mas apenas movimento relativo (de um observador relativamente a um outro. De acordo com Maxwell "todos" os fenômenos ópticos e elétricos propagavam-se em um meio. Assim, parecia ser possível determinar o movimento "absoluto" em relação 4 ao éter e, portanto, refutar o princípio de Galileu.

5 O que são referenciais inerciais?? Definimos um referencial inercial como sendo um sistema de referência em que vale a Lei da Inércia (1a. Lei de Newton): um corpo sobre o qual atua uma força externa total nula move-se com velocidade constante; Um referencial acelerado em relação a um referencial inercial não é inercial; 5

6 As transformações de Galileu Antes de Einstein os físicos supunham que as coordenadas espaciais e temporais estivessem relacionadas segundo a transformação de Galileu: xʹ = x vt tʹ = t dxʹ dx = v dt ʹ dt vs ʹ = vs v vs ʹ, vs 6

7 Os postulados No final do século XIX duas questões foram de fundamental importância no desenvolvimento da teoria da relatividade restrita: i) Ao contrário das leis de Newton da mecânica, as equações de Maxwell do eletromagnetismo não são invariantes segundo as transformações de Galileu 1 u ( x, t ) u ( x, t ) =0 c t x xʹ = x vt t ʹ = t 1 u~ ( xʹ, t ʹ) v u~ ( xʹ, t ʹ) v u~( xʹ, t ʹ) =0 1 c c xʹ t ʹ t ʹ c xʹ X 7

8 Os postulados i) Postulado da relatividade: As leis da física devem ser exatamente as mesmas se descritas por observadores em diferentes referenciais inerciais. Não existe um referencial inercial privilegiado (referencial absoluto). ii) Postulado da velocidade da luz: A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor em todas as direções e em todos os referenciais inerciais ( a velocidade da luz é independente da velocidade da fonte). Esta é a velocidade máxima com que qualquer tipo de informação pode ser transmitida. 8

9 Simultaneidade Einstein observou que o único conceito físico real envolvido na nossa noção intuitiva de tempo era o de simultaneidade: Todos os nossos julgamentos com respeito ao tempo são sempre julgamentos de eventos simultâneos. Se eu digo: Este trem chega aqui às 7 horas, estou querendo dizer algo como: O ponteiro pequeno do meu relógio indicar 7 horas e o trem chegar aqui são eventos simultâneos. Mas como podemos saber se dois eventos que ocorrem em lugares diferentes, tais como P1 e P, são simultâneos? 9

10 Simultaneidade Se tivermos dois relógios sincronizados em P1 e P, poderemos dizer que temos eventos simultâneos se a posição dos seus ponteiros for a mesma: t1 = t. Mas como colocar dois relógios nos pontos distantes P1 e P, e ter certeza de que eles estão sincronizados? 10

11 Simultaneidade Método 1: Os dois relógios podem ser sincronizados em P1 e um deles, posteriormente, transportado até P. Mas um relógio é um sistema físico (pêndulo, relógio atômico ). Logo, não podemos garantir que a marcha do relógio não seja afetada pelo transporte de P1 até P. 11

12 Simultaneidade Método : Enviando um sinal de P1 a P. Se a velocidade do sinal é v e l é a distância entre P1 e P, então no momento que o sinal chega a P ajustamos: l t = t1 + v Mas como sabemos que a velocidade do sinal é v? Precisaríamos saber o intervalo de tempo que o sinal leva para propagar-se entre dois pontos distantes; e essa medida pressupõe a existência de relógios sincronizados em pontos distantes. 1

13 Simultaneidade Conclusão: Ao contrário da simultaneidade de eventos que ocorrem no mesmo ponto, a simultaneidade de eventos em pontos distantes não tem nenhum significado a priori: ela tem de ser definida por uma convenção apropriada. 13

14 Simultaneidade Definição apropriada da simultaneidade (Einstein) : Um evento ocorrendo na posição P1 e no tempo t1 é simultâneo a um evento na posição P, no tempo t, se sinais luminosos emitidos em P1 e t1, e em P e t, encontram-se no ponto médio entre P1 e P. P1 P 14

15 Simultaneidade Considerando-se também a constância da velocidade da luz, chegamos ao critério para determinarmos o tempo: Se um sinal luminoso é emitido em P1, no instante t1, todos os eventos que ocorrem em pontos P, no instante t, a uma distância l de P1, ocorrem num instante: l t = t1 + c Observe que este é o Método de sincronização de relógios, mas agora utilizando a velocidade da luz (c), que postula-se ser a mesma em todos os referenciais. 15

16 Simultaneidade Sincronização de relógios através de um pulso de luz x A relatividade da simultaneidade A simultaneidade não é um conceito absoluto mas sim relativo, que depende do movimento do observador. Dois observadores em movimento relativo, em geral, não concordam quanto a simultaneidade de dois eventos. 16

17 A relatividade da simultaneidade No momento em que a nave de Maria passa pela de João, dois meteoritos chocam-se com ambas. Vamos supor que a luz proveniente dos dois eventos (Azul e Vermelha) tenha como ponto de encontro justamente a posição de João (centro da nave) Logo, para João, os dois eventos são simultâneos A A V V A Para Maria, o evento da direita ocorre antes que o da esquerda 17

18 A relatividade da simultaneidade No momento em que a nave de Maria passa pela de João, dois meteoritos chocam-se com ambas. Vamos supor que a luz proveniente dos dois eventos (Azul e Vermelha) tenha como ponto de encontro justamente a posição de João (centro da nave) Logo, para João, os dois eventos são simultâneos A A V V A Para Maria, o evento da direita ocorre antes que o da esquerda 18

19 A relatividade do tempo D v Δt

20 A relatividade do tempo Δt = Δt0 1 v c = γ Δt0 onde o fator de Lorentz é dado por: γ 1 1 β dilatação temporal!!! β v c 0

21 A relatividade do tempo Observe que consideramos uma situação particular: de que para um dos observadores os dois eventos ocorrem no mesmo local. De um modo geral o intervalo de tempo entre dois eventos depende da distância entre os eventos, tanto no espaço quanto no tempo, ou seja, as separações temporais e espaciais estão interligadas (o que temos é o espaço-tempo). Quando dois eventos ocorrem no mesmo ponto, em um referencial inercial, o intervalo de tempo entre os eventos, medido neste referencial, é chamado intervalo de tempo próprio ou tempo próprio. O intervalo de tempo em qualquer outro referencial é sempre maior que o tempo próprio. Exemplo: O relógio que você carrega em seu pulso, mede o seu tempo próprio. 1

22 Múon (µ) É uma partícula elementar similar ao elétron (e) com uma carga -1e e uma massa ~ 00 me. É uma partícula instável, com uma vida média de, µs. Sabemos que são produzidos na alta atmosfera por raios cósmicos a uma altitude de ~10 km.

23 A relatividade do tempo (Exemplos) a) Decaimento dos Múons Tempo de vida dos múons em laboratório (estacionários) : Estes múons também são criados na alta atmosfera, pelo bombardeio de raios cósmicos. Sem a relatividade diríamos que eles seriam capazes de percorrer apenas : Entretanto, considerando a relatividade, temos: Ø Isto é explicado pelo fato destes múons chegarem à superfície da Terra com uma velocidade vµ= 0,998 c! 3

24 A relatividade do tempo (Exemplos) b) Relógios Macroscópicos Em 1977 J. Hafele e R. Keating transportaram quatro relógios atômicos, portáteis, duas vezes em volta da terra, em aeronaves convencionais. Confirmaram a dilatação do tempo, conforme as previsões das teorias da Relatividade (Restrita e Geral), dentro de uma margem de erro de 10%. Alguns anos mais tarde, um experimento mais preciso foi realizado e a confirmação ocorreu dentro de uma margem de erro de 1%. 4

25 A relatividade do comprimento Definimos como comprimento próprio (ou comprimento de repouso), L0, o comprimento no referencial em que o corpo encontra-se em repouso. Num referencial em que o corpo está movendo-se com um velocidade v, na direção do seu comprimento, a medida do seu comprimento resultará num valor: L0 L= = 1 β L0 γ ( Contração de Lorentz-Fitzgerald ) Logo, o comprimento medido em um referencial em relação ao qual o corpo esteja se movendo (na direção da dimensão que está sendo medida), é sempre menor que o comprimento próprio, L0. 5

26 A relatividade do comprimento Medindo o comprimento de uma plataforma v t L0 t1 L0 João: L0 = v Δt Δt = t t1 Comprimento de repouso Δt = γ Δt0 6

27 A relatividade do comprimento Medindo o comprimento de uma plataforma v Δt0 t L0 t1 v L L0 João: L0 = v Δt Δt = t t1 Comprimento de repouso Maria: L = v Δt0 7

28 A relatividade do comprimento Medindo o comprimento de uma plataforma v Δt0 t t1 v L L0 João: L0 = v Δt Δt = t t1 Maria: L = v Δt0 Δt = γ Δt0 L v Δt0 = L0 v Δt L= L0 γ = 1 β L0 8

29 As transformações de Galileu Antes de Einstein os físicos supunham que as coordenadas espaciais e temporais estivessem relacionadas segundo a transformação de Galileu: xʹ = x vt tʹ = t dxʹ dx = v dt ʹ dt vs ʹ = vs v vs ʹ, vs 9

30 As transformações de Lorentz Equação da esfera em coordenadas retangulares: x +y +z =r Se a esfera se expande com a velocidade da luz, após um tempo t, temos que seu raio será: r = ct Assim: x +y +z =c t 30

31 As transformações de Lorentz O espaço e o tempo em diferentes referenciais devem sofrer modificações para que a luz se propague com a mesma velocidade, c, em todos eles. Se um sinal luminoso é emitido em O=O =0 em t=t =0, a sua frente de onda deve se propagar com a mesma velocidade, c, em ambos os referenciais. Portanto, devemos ter: x +y +z =c t (x ') + (y') + (z') = c (t ') x + y + z c t = (x ') + (y') + (z') c (t ') 31

32 As transformações de Lorentz P = ( x, y, z, t ) Pʹ = ( xʹ, yʹ, zʹ, t ʹ) y yʹ! v = v xˆ O x z Frentes de ondas esféricas xʹ Oʹ zʹ x + y +z c t Invariante de Lorentz! 3

33 As transformações de Lorentz Para que se tenha frentes de ondas esféricas, com velocidade c, nos dois sistemas de coordenadas, pode-se demonstrar que as medidas de tempo e espaço nos dois sistemas de coordenadas devem satisfazer as Transformações de Lorentz: xʹ = γ ( x vt ) ; yʹ = y ; zʹ = z v t ʹ = γ (t x) c Para v << c temos γ 1 e a transformação de Lorentz reduz-se à transformação de Galileu. A transformação pode ser invertida se trocarmos o sinal de v e os índices linha: x = γ ( xʹ + vt ʹ) ; v t = γ (t ʹ + xʹ) c 33

34 As transformações de Lorentz Se, no referencial S, dois eventos estão separados por uma diferença de coordenada Δx ; e ocorrem em dois instantes de tempo separados por Δt, no referencial S teremos: Δxʹ = γ (Δx vδt ) ; v Δt ʹ = γ (Δt Δx) c Vemos que as noções de espaço e tempo, como entes independentes, não têm mais sentido; o que temos é um ente único: o espaço-tempo. Podemos também inverter as transformações acima: Δx = γ ( Δxʹ + vδt ʹ) ; v Δt = γ (Δt ʹ + Δxʹ) c 34

35 As transformações de Lorentz Simultaneidade Se dois eventos ocorrem no mesmo instante no sistema S, mas em pontos distantes, temos: S : Δt ' = 0 e Δx ' 0 v S : Δt = γ (Δt ʹ + Δxʹ) c v Δt = γ Δx ʹ c Eventos simultâneos em S não são simultâneos em S, se ocorrem em pontos distintos. 35

36 As transformações de Lorentz Dilatação do tempo Vamos supor que dois eventos ocorram no mesmo local em S, mas em tempos diferentes, então: S : Δx ' = 0 e v S : Δt = γ (Δt ʹ + Δxʹ) c Δt ' 0 Δt = γ Δt ʹ (Este é o exemplo do relógio de luz, onde intervalo de tempo próprio.) Δt ' = Δt0, o 36

37 As transformações de Lorentz Contração das distâncias Se uma régua está em repouso no sistema S o seu comprimento próprio é L0 = x. No sistema S a régua passa com uma velocidade v, e o seu comprimento x é determinado pela posição dos seus dois extremos num mesmo instante, então: Δt = 0 Δxʹ = γ (Δx vδt ) Δx = Δx' γ = L0 γ 37

38 As transformações de Lorentz Vimos, no exemplo dos múons, que estes chegam a Terra com v 0,998c. No referencial do múon, a distância percorrida é medida no mesmo instante, assim: Δt = 0. Logo, no seu referencial, os 10,4 km percorridos na atmosfera (no referencial da Terra) são vistos como: Δx ' = γ (Δx vδt) Δx ' L0 Δx = = = 0, 66km γ γ Esta é justamente a distância que o múon é capaz de percorrer, em seu referencial, antes de decair: 38

39 Nesta aula: Relatividade das velocidades Próxima aula: Efeito Doppler da Luz Momento Relativístico Energia Relativística 39