Geometria do Espaço-Tempo de um par de Buracos-Negros de Reissner-Nordstrom

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1 Geometria do Espaço-Tempo de um par de Buracos-Negros de Reissner-Nordstrom Hanna Nencka Laurindo Sobrinho Universidade da Madeira Setembro de Introdução No presente trabalho procedemos ao estudo de algumas das características de um sistema de dois buracos negros de Reissner-Nordstrom. Vamos considerar os dois buracos negros como dois centros de massa fixos. Para isso atribuímos a ambos cargas do mesmo sinal de modo que a atracção Newtoniana seja perfeitamente equilibrada pela repulsão Coulombiana. O sistema tem simetria axial, pelo que podemos utilizar a solução de Majumdar-Papapetrou das equações de Einstein-Maxwell. Começamos por introduzir a métrica a utilizar e mostramos que esta reduz-se à solução de Reissner-Nordstrom quando temos apenas um dos buracos negros. Deduzimos as equações das geodésicas com particular destaque para as geodésicas nulas sobre o eixo de simetria. Finalizamos com uma incursão ao interior dos buracos negros, com o objectivo de localizar singularidades e horizontes de acontecimentos. 2-Solução de Majumdar-Papapetrou

2 A solução de Majumdar-Papapetrou é obtida considerando soluções estáticas das equações de Einstein-Maxwell para um espaço-tempo, com simetria axial, cuja métrica, na sua forma mais geral, é dada por onde n e y são funções das coordenadas espaciais x, y e z. No caso em que as equações do problema resultam profundamente simplificadas, obtendo-se a solução de Majumdar-Papapetrou (1 (2) onde U=Exp(y). Podemos escrever a métrica (1) na forma (3) Qualquer U que verifique a equação de Laplace pode ser usado conjuntamente com (3). No entanto, a solução que nos interessa é aquela que representa uma associação de buracos negros. Nesse caso U deve ser derivado do potencial Newtoniano de um par de pontos de massa (4) A adição da unidade tem por objectivo garantir que a métrica seja assimptoticamente plana, obtendo-se assim, para pontos muito afastados dos dois centros de massa, a métrica de Minkowski. 3-Concordância com a solução de Reissner-Nordstrom No caso em que temos apenas um buraco negro os resultados anteriores devem conduzir à solução de Reissner-Nordstrom para buracos negros com carga. Fazendo M 2 =0 obtemos (5) Considerando coordenadas esféricas centradas em M 1 (6)

3 Fazendo a substituição (7) onde r f representa o raio com significado físico, obtemos (8) que de facto corresponde à solução de Reissner-Nordstrom para um buraco negro com carga, sendo neste caso Q 1 =M 1, o que é uma consequência da condição de estabilidade assumida na introdução. Num buraco negro de Reissner-Nordstrom temos de considerar dois horizontes de acontecimentos, normalmente designados por R + e R -. Neste caso temos R + =R - =M 1 o que significa que estamos a lidar com buracos negros de Reissner-Nordstrom extremos. 4-As Geodésicas em coordenadas cilíndricas Consideremos os dois buracos negros, sobre o eixo Z, nas posições z=-1 e z=+1. Logo (9) É conveniente introduzir coordenadas cilíndricas (10) Agora U tem a forma (11) e a métrica (3) escreve-se (12)

4 As equações das geodésicas podem ser derivadas do Lagrangiano (13) onde os pontos representam a diferenciação em ordem a um parâmetro afim. A constância do Lagrangiano conduz ao integral (14) Podemos escalonar o parâmetro afim de tal forma que (15) O facto do Lagrangiano não depender explicitamente das coordenadas t e q, conduz aos integrais (16) (17) Usando os dois últimos resultados podemos eliminar as derivadas ponto de t e q em (14) obtendo-se (18) A partir de (13) e fazendo uso de (16), (17) e (18) obtemos as equações que governam as geodésicas (19) (20)

5 Estes dois resultados devem ser combinados com as derivadas ponto de (21) (22) de modo a termos as equações de Euler-Lagrange. 5-Geodésicas nulas Vamos considerar geodésicas nulas (d=0) num plano meridiano (q=const., Lq=const.). Neste caso as equações (18), (19) e (20) simplificam e temos (23) (24) (25) De seguida consideramos o caso em que um fotão viaja sobre o eixo de simetria do sistema, isto é, sobre o eixo Z com r=0. Assim temos a partir de (23) Vamos tomar apenas a raiz positiva, o que equivale a considerar que o fotão desloca-se no sentido positivo do eixo Z. Fazendo uso de (16) podemos escrever (26) como (26) onde U tem a forma (27)

6 (28) Integrando (27) obtemos (29) onde K é uma constante de integração. No gráfico da fig1 está representada a linha do universo do fotão descrita por (29) para os 3 casos: z<-1; -1<z<1; z>1. fig1-linha do Universo para o fotão sobre o eixo de simetria do sistema. 6-Fotão equidistante dos dois buracos negros Consideremos um sistema de dois buracos negros de Reissner-Nordstrom com a mesma massa M e separados por uma distância 2a como se mostra na fig2. fig 2 Consideremos também um fotão viajando sobre o eixo X. Como as massas dos dois buracos negros são iguais então o fotão deve manter-se sobre o eixo X. Para esta situação a métrica (3) escreve-se

7 (30) com (31) A partir de (30) temos Vamos tomar apenas a raiz positiva, o que equivale a considerar o fotão a viajar no sentido ascendente do eixo X. Integrando (32) logo obtemos (32) (33) onde K é uma constante de integração. Se no instante t=0 o fotão estiver na origem dos eixos então K=0. No gráfico da fig3 está representado o resultado (33) no caso em que a=1, K=0 e M assume vários valores. fig 3-Linha do Universo do fotão equidistante dos dois buracos negros, em função da respectiva massa, quando os dois têm a mesma massa No gráfico da fig4 está representado o resultado (33) para várias distâncias de separação entre os buracos negros, com M=1 e K=0.

8 fig 4-Linha do Universo do fotão equidistante dos dois buracos negros, em função da distância de separação entre estes, quando os dois têm a mesma massa 7-Singularidades e horizontes A solução de Majumdar-Papapetrou na sua forma geral (3) não nos fornece qualquer informação sobre o horizonte de acontecimentos do sistema. Para obtermos tal informação comecemos por considerar (3) em coordenadas esféricas (34) centradas em M 1 como se mostra na fig5. fig 5-Coordenadas esféricas centradas no buraco negro de massa M 1 O ângulo j é medido em relação ao eixo de simetria axial e por isso podemos considerar sem qualquer problema j=0. Pela figura temos que (35) e portanto

9 (36) Logo temos (37) (38) É possível mostrar que o ponto r 1 =0 é uma singularidade aparente. Para isso vamos seguir Hartle e Hawking. Seja a transformação de coordenadas onde a função F é tal que (39) (40) Para simplificar a escrita vamos considerar (41) Substituindo (39) e (41) em (38) obtemos (42) Atendendo a que (43) (44)

10 (45) resulta (46) Podemos então concluir que quando r 1 tende para zero a métrica é perfeitamente regular. Assim sendo, faz sentido estender a métrica (38) aos valores negativos de r 1. A extensão pode fazer-se sem qualquer problema até que a função U(r 1,q1), definida por (37), se anule, caso no qual voltamos a ter uma singularidade, desta vez real. Para mostrar esse facto, podemos avaliar um invariante como F ab F ab e mostrar que este diverge para U=0. Resulta como uma consequência da solução de Majumdar-Papapetrou que (47) Como no caso geral grad(u) não deve ser necessariamente nulo, concluímos que, para U=0, o resultado anterior diverge, pelo que, a singularidade correspondente é real. A interpretação física dos dois resultados anteriores é a seguinte O ponto r 1 =0 representa na realidade uma superfície: o horizonte de acontecimentos do buraco negro de massa M 1. A superfície U=0 representa na realidade um ponto: a singularidade do buraco negro de massa M 1. Isto torna-se particularmente claro quando consideramos apenas um dos buracos negros. Assim façamos M 2 =0 e consideremos a substituição em que r f é o raio com significado físico como já havíamos considerado em (7). Assim (48) (horizonte de acontecimentos) (49) (singularidade) (50) Um corpo viajando inicialmente no universo exterior aos dois buracos negros, seguindo uma trajectória que o leve a r 1 =0, penetrará a partir dai num novo universo interior ao buraco negro de

11 massa M 1, "detendo-se" na singularidade representada pela superfície U=0. fig 6-Extensão da métrica aos valores negativos de r 1. Encontrando uma transformação de coordenadas adequada, talvez possamos dar uma visão mais realista do problema que a apresentada nas figuras e no texto anteriores. e r 2. Nota: Todo o estudo feito neste capítulo em relação a M 1 e r 1 é logicamente aplicável a M 2 Bibliografia Chandrasekhar, S The mathematical theory of black holes. Oxford: Clarendon Press Chandrasekhar, S Proc. R. Soc. Lond. A421,