Título: CONSTRUÇÃO DOS DIAGRAMAS DE ESPAÇO TEMPO DE UM BURACO NEGRO COM CARGA E SEM ROTAÇÃO UTILIZANDO ROTINAS COMPUTACIONAIS.

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1 Título: CONSTRUÇÃO DOS DIAGRAMAS DE ESPAÇO TEMPO DE UM BURACO NEGRO COM CARGA E SEM ROTAÇÃO UTILIZANDO ROTINAS COMPUTACIONAIS. Autores: Rodrigo Ferreira Santos, Jonathas da Silva Maciel, Ednilton Santos de Oliveira e Luís Carlos Bassalo Crispino. Resumo Este trabalho tem como objetivo mostrar, por meio da utilização do software Mathematica 5.0, a construção de diagramas espaço temporais para a solução de Reissner Nordström das equações de Einstein. Esta solução descreve o espaçotempo ao redor de um buraco negro com carga elétrica e sem rotação. Apresentaremos aqui os diagramas espaço temporais de um buraco negro de Reissner Nordström em coordenadas polares esféricas e em coordenadas de Eddington Finkelstein e o caminho que trilhamos até a obtenção destes diagramas por meio de rotinas computacionais. E mails: jmaciel@ufpa.br, rfsantos@ufpa.br, ednilton@ufpa.br, crispino@ufpa.br. Palavras chave: Espaço tempo, buraco negro, sistemas de coordenadas, Mathematica. 1

2 1 Introdução A teoria da relatividade geral foi formulada por Albert Einstein com o objetivo de generalizar a gravitação newtoniana, levando em consideração os desenvolvimentos da teoria da relatividade especial. A relatividade geral tem por base alguns princípios físicos, dentre os quais os mais conhecidos são o princípio da correspondência e o princípio da equivalência. Esta teoria, assim como a teoria newtoniana, possui um conjunto de equações para a gravitação, apesar de não serem lineares. Por isto, Einstein, ao publicá las, acreditava que não houvesse soluções exatas para tais equações [1]. Entretanto, após alguns meses da publicação das equações da relatividade geral [], em 1916, Karl Schwarzschild obteve a primeira solução exata das equações de Einstein, que descreve como o espaço tempo é modificado pela presença de um ponto singular de massa M, sem carga e sem rotação, localizado na origem do sistema de coordenadas esféricas, de acordo com um observador parado no infinito [3]. Apesar de esta solução ser uma das soluções mais simples das equações de Einstein, por meio desta solução já foi possível a explicação de fenômenos de origem gravitacional que até então a teoria newtoniana da gravitação não conseguia explicar,

3 como por exemplo, a precessão do periélio de mercúrio, e o desvio de raios luminosos perante fortes campos gravitacionais. Após a descoberta da solução de Schwarzschild, no mesmo ano, o engenheiro e físico alemão Hans Reissner conseguiu a primeira solução das equações de Einstein na presença de campos eletromagnéticos e, em 1918, de maneira independente, a solução foi encontrada pelo engenheiro e físico finlandês Gunnar Nordström [4]. Ambos encontraram uma solução que generaliza a solução de Schwarzschild para o caso em que, além da massa M, o buraco negro contenha carga elétrica Q. Esta solução mostra que podem existir três regiões no espaço tempo ao redor de um buraco negro carregado e sem rotação. Entre estas regiões existem dois horizontes de eventos e a luz pode atravessá los sem cair na singularidade espaço temporal. Além disto, mostra se também que o ponto carregado cria uma barreira de potencial onde uma partícula que tente alcançar um dos seus horizontes é naturalmente repelida, ficando presa numa destas regiões [].. O elemento de linha de Reissner Nordström Como no caso da solução de Schwarzschild, a solução das equações de Einstein obtida pelos físicos Hans Reissner e Gunnar Nordström descreve um espaçotempo estático e esfericamente simétrico. Um espaço tempo é dito esfericamente simétrico se, e somente se, ele admitir três vetores de Killing tipo espaço a X cujas X, X = X, órbitas são fechadas e que satisfaçam à condição: [ X 1, X ]=X 3 3 1, [ ] 3

4 1 [ ] 3, X X X = []. Esta condição nos possibilita determinar uma forma canônica para o elemento de linha escrito no sistema de coordenadas polares esféricos, a saber ( θ θ φ ) ν λ ds = e dt e dr r d + sin d., (.1) sendo que ν = ν ( t,r ) e λ = λ ( t,r ). Como a solução é para o caso estático, ν ( r ) ( r ) λ = λ. ν = e Para encontrarmos o elemento de linha correspondente à solução de Reissner Nordström, primeiro tomemos a seguinte equação: R ab =8 T ab, (.) na qual R ab é o tensor de Ricci e Tab é o tensor energia momento, que, em regiões livres de fontes, onde somente o campo eletromagnético está presente, é dado por: 1 cd 1 cd Tab = g FacFbd g abfcd F. 4π + 4, (.3) sendo g ab a métrica que descreve o espaço tempo e F ab o tensor de Maxwell que descreve o campo eletromagnético. Tomando a equação de Maxwell em regiões livres de fontes,? = 0, (.4) F ab a 4

5 lembrando que o campo é gerado por uma partícula pontual carregada e admitindo que ela esteja na origem do sistema de coordenadas, concluímos que o campo é do tipo eletrostático e radial. Sendo assim, o tensor de Maxwell assume a seguinte forma: Fab ( ) = E r? ?? ???.? ???? ? (.5) Reunindo as equações (.1) e (.5) em (.4), obtemos a expressão do campo elétrico gerado pela partícula pontual. Esta é dada por: ( ) E r 1 q ( ν + λ ) = e. (.6) r Admitindo que a solução é assintoticamente plana, quando r tende para o infinito o campo eletrostático tende ao resultado clássico, isto é, ( ) ν + λ = 0 assintoticamente. q E r para r e portanto r Substituindo agora as equações (.1), (.3) e (.6) em (.) quando os índices são a = b = 0 e a = b = 1, obtemos: ν& + & λ = 0, (.7) na qual o ponto denota diferenciação relação a r. Obtemos assim que ν + λ = 0 quando r. Juntando este resultado com (.6), concluímos que ν + λ = 0 para qualquer r. A equação em que a = b =, na expressão (.), leva a: 5

6 m q e ν = 1 +. (.8) r r Usando (.8) e que ν + λ = 0, obtemos: e λ 1 m q = 1 +, r r (.9) sendo que m em (.7) e (.8) é uma constante de integração. Substituindo as equações (.8) e (.9) em (.1), obtemos o elemento de linha de Reissner Nordström, que é: = ds 1 m r q dt r 1 m r q r 1 dr r d sin d (.10) Quando q = 0, esta equação se reduz ao elemento de linha de Schwarzschild e, assim, identificamos m como sendo a massa geométrica, que em um sistema de unidades que não seja o natural é m = GM / c, sendo G é a constante universal da gravitação, M a massa do corpo e c a velocidade da luz no vácuo. Com este elemento de linha, podemos analisar o espaço tempo de Reissner Nordström ETR N e encontrar as equações de movimento para partículas que viajam nesse espaço tempo. 3 ETR N 6

7 3.1 Em coordenadas polares esféricas Primeiro, analisemos o elemento de linha de Reissner Nordström, que em coordenadas esféricas é dado por (.9). A partir das componentes da métrica do elemento de linha do ETR N, podemos encontrar as regiões que delimitam o espaçotempo. Para isso basta tomar g = m q 00 0, o que implica que 1 + = 0 r r e, assim, estas superfícies, denominadas horizontes, são dadas por: 1 r ± =m± m q (3.1) De (3.1) percebemos que o espaço tempo é dividido em três regiões para o caso em que q m, caso este ao qual nosso trabalho estará voltado. Estas regiões são: I, para r r, II, em r < r < r+ e III, na qual 0 r r. A separação destas regiões é feita por hipersuperfícies nulas (tipo luz), que estão localizadas em r=r e r=r. A situação em r=r é semelhante ao caso de Schwarzschild em r= m. Nas regiões I e III, as coordenadas t e r são do tipo tempo e do tipo espaço, respectivamente, mas elas mudam seus papéis na região II, fazendo com que nós observássemos que a solução é estática nas regiões I e III, porém na região II ela passaria a não ser mais estática. O sistema de coordenadas polar esférico não é o mais adequado para descrever os fenômenos que ocorrem nessa região. Por isso, usaremos as Coordenadas Avançadas de Eddington Finkelstein. 3. Encontrando as geodésicas do ETR N em coordenadas polares esféricas. 7

8 As geodésicas são curvas ao longo das quais devem se dar os movimentos das partículas livres de forças em um dado espaço tempo. Estas curvas são encontradas aplicando se o método variacional para geodésicas, que se trata, basicamente, do uso das equações de Euler Lagrange []. Vamos considerar que o movimento da partícula se limite apenas ao longo da coordenada radial. Dessa forma, =cte., =cte, de modo que d =d =0. Estamos interessados em geodésicas nulas, que são as curvas correspondentes à linha de mundo do fóton. Isto implica que ds =0, e, portanto, o elemento de linha (.9) torna se: 1 m q m q ds = 1 + dt 1 + dr = 0. r r r r (3.) Diferenciando (3.) com relação a um parâmetro afim u, definido por []: d s 0, du = temos: L & s = 1 m r q r & t 1 m r q 1 r r & =0. (3.3) Utilizando as equações de Euler Lagrange, podemos encontrar as geodésicas tipo luz. Fazendo isto, obtemos: 8

9 d L du &t L t =0, (3.4) que resulta em: d r r r r =0. (3.5) du r &t Integrando, obtemos: k 1 r &t= r r r r. (3.6) Tomando (3.6) e substituindo em (3.3), encontramos: &r=±k 1. (3.7) Os sinais positivo e negativo em (3.7) correspondem ao tipo da geodésica nula. Se for positivo, temos a geodésica de saída, que são geodésicas para as quais o fóton caminha no sentido em que r cresce, e se for negativo temos geodésicas de entrada, cujo sentido é oposto ao das geodésicas de saída. As equações acima mostram que t = t(r), então: dt dr = dt du du dr = &t &r. (3.8) dt dr =± r r r r r. (3.9) Integrando a equação (3.9) com relação a r, obtemos: 9

10 t= r ln r r r ln r r r cte r r r r (3.10) e t= r ln r r r ln r r r cte, r r r r (3.11) sendo que a equação (3.10) corresponde às geodésicas de entrada, que chamaremos aqui de outgoing e a equação (3.11) corresponde às geodésicas de saída que chamaremos aqui de ingoing. Podemos concluir a partir de (3.10) e (3.11) que as linhas de mundo dos fótons são curvas no ETR N. As constantes de integração servirão para formar as congruências nulas []. Dessa maneira, podemos criar os gráficos de t versus r no Mathematica 5.0. A seguinte rotina foi introduzida: 10

11 m = 6; q = 5.7;! r + = m + m - q ; r - = m - m - q ; r + outgoing = Log@Abs@r - r Hr + D- + - r - ingoing =- outgoing; r - Hr + - r - Log@Abs@r - r - D+ r; P1 = Plot@8outgoing + 50, ingoing + 40, outgoing + 40, ingoing + 30, outgoing + 30, ingoing + 0, outgoing + 0, ingoing + 10, outgoing + 10, ingoing + 5, outgoing, ingoing, outgoing - 10, ingoing - 5, outgoing - 0, ingoing - 10, outgoing - 30, ingoing - 0, outgoing - 40, ingoing + 50, outgoing - 50, ingoing + 60<,8r, 0, r <, PlotRange TextStyle Ticks 80, 30<, AxesLabel 8"r", "t"<, 8FontFamily "Times", FontSize 14<, Axes Automatic, 8r -, "r=r - "<, None<D; P = Plot@8outgoing + 50, ingoing + 40, outgoing + 40, ingoing + 30, outgoing + 30, ingoing + 0, outgoing + 0, ingoing + 10, outgoing + 10, ingoing + 5, outgoing, ingoing, outgoing - 10, ingoing - 5, outgoing - 0, ingoing - 10, outgoing - 30, ingoing - 0, outgoing - 40, ingoing - 30, outgoing - 50, ingoing + 50<, 8r, r , r <, PlotRange TextStyle Ticks 80, 30<, AxesLabel 8"r", "t"<, 8FontFamily "Times", FontSize 14<, Axes Automatic, 8r -, "r=r - "<,8r +, "r=r + "<, None<D; P3 = Plot@8outgoing + 50, ingoing + 40, outgoing + 40, ingoing + 30, outgoing + 30, ingoing + 0, outgoing + 0, ingoing + 10, outgoing + 10, ingoing + 5, outgoing, ingoing, outgoing - 10, ingoing - 5, outgoing - 0, ingoing - 10, outgoing - 30, ingoing - 0, outgoing - 40, ingoing - 30, outgoing - 50, ingoing - 40<, 8r, r , r + + 5<, PlotRange TextStyle Ticks 80, 30<, AxesLabel 8"r", "t"<, 8FontFamily "Times", FontSize 14<, Axes Automatic, 8r +, "r=r + "<, None<D; Show@8P1, P, P3<, AxesLabel Axes Automatic, Ticks 8"r", "t"<, TextStyle 8r -, "r=r - "<,8r +, "r=r + "<, None<D; 8FontFamily "Times", FontSize 14<, O resultado fornecido pelo Mathematica 5.0, foi: 11

12 t r=r - r Fig.: 3.1 t r Fig.: 3. t r Fig.: 3.3 t r=r - r=r + r Fig.: 3.4 1

13 Os gráficos das figuras (3.1), (3.) e (3.3) mostram o comportamento das geodésicas para cada região. Na figura (3.4), temos a descrição de todo o espaço tempo. Na região I ( r + < r < ) observamos que, para valores muito grandes de r, o espaçotempo assemelha se ao de Minkowski. Percebemos ainda que, pelos cones de luz, qualquer partícula que tenda a entrar no buraco negro, parece levar um tempo infinito para alcançar o ponto r=r, da mesma forma como acontece para Schwarzschild em r= m. Na região II ( r < r < r+ ) todos os cones de luz estão orientados para a região III ( 0 r r ) e é na região II onde ocorre a inversão das coordenadas t e r, ou seja, a coordenada t passa a ser do tipo espaço e coordenada r passa a ser do tipo tempo. Isso faz com que pensemos que ocorre a quebra do princípio da causa e efeito, pois os cones de luz possibilitam que os fótons andem para trás no tempo. Como podemos ver, cada região parece estar desconectada da outra, devido aos cones de luz nesses gráficos terem orientações bem diferentes. Ressaltamos que isto se dá devido ao sistema de coordenadas adotado, que não é o melhor para descrever o espaço tempo considerado como um todo. 3. ETR N em coordenadas avançadas de Eddington Finkelstein. Como já foi citado, pelo fato de termos anteriormente plotado gráficos usando o sistema de coordenadas naturais (t, r, θ, φ), surgiram se algumas anomalias que distorcem o entendimento físico do problema. Para podermos melhorar a estrutura do diagrama e com isso dar uma visão física mais adequada, usaremos as coordenas avançadas de Eddington Finkelstein. Neste sentido, fazemos uma mudança na coordenada temporal, de tal maneira que as geodésicas de entrada sejam retas. 13

14 3..1 Encontrando as geodésicas para o ETR N em coordenadas avançadas de Eddington Finkelstein. Nosso objetivo agora é encontrar transformações de coordenadas de forma que as geodésicas nulas de entrada sejam linhas retas. Definimos então as seguintes transformações de coordenadas usando (3.10) []: t =t r ln r r r ln r r r r r r. (3.1) Deste modo, as geodésicas nulas de entrada são dadas por: t = r cte. (3.13) Como podemos perceber, a expressão (3.13) corresponde a retas, que fazem um ângulo de 135º com o semi eixo positivo de r. Partamos agora em busca das geodésicas nulas de saída. Para isto, diferenciando (3.1), temos: d t =dt { r r r r r r r r r } dr. (3.14) Substituindo (3.14) no elemento de linha de Reissner Nordström (.9), encontramos um novo elemento de linha para a nova coordenada t, que é: = ds 1 m r q r d t 4 m r q r d t dr 1 m r q dr r d r sin d. (3.15) 14

15 Através de (3.15), podemos, de forma análoga, como foi visto na seção encontrar as geodésicas nulas de saída. Para isto, usando o método variacional para geodésicas, obtemos: m q dt 1+ = r r dr m q 1 + r r. (3.16) Integrando (3.16) temos: t =r m q r r r r ln m ln r r r r r r cte. (3.17) Estas são as geodésicas nulas de saída. Com as geodésicas nulas encontradas, podemos então construir o gráfico t versus r. A seguinte rotina foi introduzida: m = 5; q = 4.5;! r + = m + m - q ; r - = m - m - q ; outgoing = r + m Log@Abs@Hr - r +LHr - r -LD+ m - q - r + Log AbsAr r + - r - r - r - E; ingoing =- r; PlotA8outgoing, outgoing + 15, outgoing - 15, outgoing + 30, outgoing - 30, outgoing + 45, outgoing - 45, outgoing + 60, outgoing - 60, ingoing, ingoing + 15, ingoing + 30, ingoing + 45, ingoing + 60, ingoing + 75<,8r, 0, 15<, PlotRange 80, 50<, AxesLabel 9"r", "t - "=, Ticks 8r -, "r=r - "<,8r +, "r=r + "<, None<E; 15

16 O resultado fornecido pelo Mathematica 5.0, foi: t - r=r+ r=rr Fig.: 3.5. Agora nós temos o gráfico que corresponde às coordenadas avançadas de Eddington Finkelstein. Como podemos observar, um sinal luminoso não pode escapar da região II para a região I, o que nos mostra que a superfície r=r é um horizonte de eventos, e qualquer partícula que atravesse essa região tende à singularidade intrínseca ( r = 0 ). Na região II os cones de luz estão orientados em direção à singularidade r = 0, e, portanto, qualquer partícula que esteja na região II se moverá necessariamente para o centro. Na região III os cones de luz não estão inclinados para o centro e conseqüentemente as partículas não caem necessariamente na singularidade. 3.3 ETR N em coordenadas atrasadas de Eddington Finkelstein As coordenadas atrasadas de Eddington Finkelstein correspondem à solução oposta a das coordenadas avançadas. Esta solução matemática, que descreve o que chamamos de buraco branco, é importante para a construção dos digramas de Kruskal e Penrose, a partir dos quais se especula a existência dos chamados buracos de minhoca [1]. 16

17 3.3.1 Encontrando as geodésicas para o ETR N em coordenadas atrasadas de Eddington Finkelstein. Podemos encontrar a solução reversa no tempo definindo uma nova transformação de coordenadas. Partindo de (3.11), definimos esta transformação como: r+ ln( r r+ ) r ln( r r+ ) t t = t + ( r r ) ( r r ) %. (3.18) + + Sendo assim, as geodésicas nulas de saída são agora retas que formam um angulo de 45º em relação ao semi eixo positivo de r e são dadas pela relação: %t=r cte. (3.19) diferenciemos (3.18): Encontremos agora as geodésicas nulas de entrada. Para isto, r( r r ) r r dt% + + = dt dr ( r r+ )( r (3.0) r ) Substituindo (3.0) no elemento de linha de Reissner Nordström (.9), encontramos um novo elemento de linha para a nova coordenada t ~, que é: = ds 1 m r q r d t % 4 m r q r d %t dr 1 m r q dr r d r sin d. (3.1) 17

18 Finalmente, por meio de (3.1), podemos, de forma análoga ao que foi feito em Reissner Nordström, e para a coordenada de Eddington Finkelstein encontrar as seguintes geodésicas nulas de entrada: %t= r m q r r ln r r r r m ln r r r r cte. (3.) Dessa forma as geodésicas de entrada são dadas pela expressão (3.) e as de saída por (3.19). de t ~ versus r. A partir das expressões (3.19) e (3.), podemos então construir o gráfico A seguinte rotina foi introduzida: q = 4.5;! r + = m + m - q ; r - = m - m - q ; outgoing = - r - m Log@Abs@Hr - r +LHr - r -LD- m - q - r + Log AbsAr E; r + - r - r - r - ingoing = r; PlotA8outgoing, outgoing + 15, outgoing + 30, outgoing + 45, outgoing + 60, outgoing + 75, outgoing + 90, outgoing + 105, ingoing, ingoing + 15, ingoing + 30, ingoing + 45, ingoing + 60, ingoing + 75<,8r, 0, 15<, PlotRange Ticks 8r +, "r=r+"<,8r -, "r=r- "<, None<E; 80, 50<, AxesLabel 9"r", "t - "=, O resultado fornecido pelo Mathematica 5.0, foi: 18

19 t - r=r+ r=rr Fig.: 3.6. A figura acima mostra como as geodésicas nulas se comportam segundo a coordenada atrasada de Eddington Finkelstein. 4 Considerações finais A solução de Reissner Nordström, como mencionado anteriormente, é a solução das equações de Einstein que descreve o espaço tempo de um buraco negro com carga elétrica. Devemos ressaltar, no entanto, que é mais provável encontrarmos corpos celestes neutros (carga elétrica nula) distribuídos pelo cosmos. Como uma especulação, poderíamos investigá la em nível quântico, como por exemplo, considerando um elétron como uma partícula pontual e analisando o espaço tempo ao seu redor; mas neste contexto teríamos problemas relacionados com as ordens de grandezas envolvidas e com o caráter probabilístico dos sistemas quânticos. Esta é mais uma situação que nos remete ao problema da compatibilização da relatividade geral com teoria quântica. A solução de Reissner Nordström é importantíssima para física teórica, no sentido de que é uma generalização do caso de Schwarzschild, além de ser um interessante elo entre o eletromagnetismo e a gravitação que pode nos fornecer dicas para a construção de uma teoria unificada para as interações da natureza. É interessante comparar os diagramas feitos e exibidos neste trabalho com os do espaço tempo de 19

20 Schwarzschild e notar que a presença da carga elétrica afeta significativamente o caminho das geodésicas, além de produzir um horizonte de eventos adicional com relação ao caso de um buraco negro descarregado. O caso tratado aqui se assemelha à solução de Kerr, que descreve o espaço tempo de um buraco negro com rotação, que pode ser tratada de maneira análoga à que foi feita no presente trabalho. 0

21 5 Referências [1] PAIS, Abraham. Sutil é o Senhor... A ciência e a vida de Albert Einstein. Tradução Fernando Parente e Viriato Esteve; revisão da tradução César Benjamim. Nova Fronteira, Rio de Janeiro (1995). [] D INVERNO, Ray. Introducing Einstein`s Relativity. Clarendon Press, Oxford (199). [3] WALD, Robert M. General Relativity. The University of Chicago Press, Chicago (1984). [4] CRISPINO, Luís Carlos Bassalo; MATSAS, George Emanuel Avraam; RODRÍGUEZ, Jorge Castiñeiras; VANZELLA, Daniel Augusto Turolla. Buracos negros. Scientific American Brasil Gênios da Ciência, São Paulo, SP, v. 11, p. 3 39, (006). [5] CRISPINO, Luís Carlos Bassalo; MATSAS, George Emanuel Avraam; RODRÍGUEZ, Jorge Castiñeiras. Horizonte de Eventos. Scientific American Brasil, São Paulo, v. 9, p , (004). [6] CRISPINO, Luís Carlos Bassalo; MATSAS, George Emanuel Avraam; RODRÍGUEZ, Jorge Castiñeiras; VANZELLA, Daniel Augusto Turolla. Singularidade e Informação. Scientific American Brasil Gênios da Ciência, São Paulo, SP, v. 11, p , (006). 1