INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 1

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1 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL Victor O. Rivelles Instituto de Física Universidade de São Paulo rivelles/ XXI Jornada de Física Teórica 2006 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 1

2 ROTEIRO Relatividade Restrita Geometria Diferencial Relatividade Geral Testes da Relatividade Geral Buracos Negros Cosmologia Gravitação Quântica INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 2

3 Referências M. Gleiser, A Dança do Universo (Cia. das Letras, 1997) S. Hawking, O Universo Numa Casca de Noz (Mandarim, 2001) S. Weinberg, Os Três Primeiros Minutos (Guanabara Dois, 1980) A. Guth, O Universo Inflacionário (Campus, 1997) B. Greene, O Universo Elegante (Cia. das Letras, 2001) S. Weinberg, Gravitation and Cosmology (Wiley, 1972) B. F. Schutz, A First Course in General Relativity (Cambridge, 1985) J. Foster and J. D. Nightingale, A Short Course in General Relativity (Springer, 1995) L. D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields (Pergamon Press, 1975) C. W. Misner, K. S. Thorne and J. A. Wheeler, Gravitation (Freeman, 1973) B. Zwiebach, A First Course in String Theory (Cambridge, 2004) rivelles/ INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 3

4 Relatividade Restrita Formulada por Einstein em A velocidade da luz é a mesma em qualquer referencial inercial. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 4

5 Relatividade Restrita Formulada por Einstein em A velocidade da luz é a mesma em qualquer referencial inercial. Contração de Lorentz: comprimentos dependem do observador. l = l 0 1 v2 /c 2 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 4

6 Relatividade Restrita Dilatação temporal: intervalos de tempo dependem do observador. t t = 0 1 v2 /c 2 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 5

7 Relatividade Restrita Dilatação temporal: intervalos de tempo dependem do observador. t t = 0 1 v2 /c 2 A relatividade restrita muda a geometria: geometria de Minkowski. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 5

8 Relatividade Restrita Dilatação temporal: intervalos de tempo dependem do observador. t t = 0 1 v2 /c 2 A relatividade restrita muda a geometria: geometria de Minkowski. Na geometria Euclidiana: comprimentos são constantes. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 5

9 Relatividade Restrita Na relatividade restrita: comprimentos e intervalos de tempo dependem do observador. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 6

10 Relatividade Restrita Na relatividade restrita: comprimentos e intervalos de tempo dependem do observador. Há alguma quantidade é contante e não depende do observador? Intervalo s 2 = x 2 + y 2 + z 2 t 2 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 6

11 Relatividade Restrita Na relatividade restrita: comprimentos e intervalos de tempo dependem do observador. Há alguma quantidade é contante e não depende do observador? Intervalo s 2 = x 2 + y 2 + z 2 t 2 Espaço e tempo formam o espaço-tempo quadridimensional com geometria de Minkowski. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 6

12 Geometria de Minkowski Intervalo pode ser considerado um vetor típico com componentes: ( t, x, y, z). Notação: ( x µ ) = ( x 0, x 1, x 2, x 3 ), µ = 0,1,2, 3 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 7

13 Geometria de Minkowski Intervalo pode ser considerado um vetor típico com componentes: ( t, x, y, z). Notação: ( x µ ) = ( x 0, x 1, x 2, x 3 ), µ = 0,1,2, 3 Componentes de um vetor dependem do sistema de coordenadas. Transformação de Lorentz na direção-x: x 0 = γ( x 0 v x 1 ) x 1 = γ( x 1 v x 0 ) x 2 = x 2, x 3 = x 3, γ = 1/ p 1 v 2, c = 1 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 7

14 Geometria de Minkowski Intervalo pode ser considerado um vetor típico com componentes: ( t, x, y, z). Notação: ( x µ ) = ( x 0, x 1, x 2, x 3 ), µ = 0,1,2, 3 Componentes de um vetor dependem do sistema de coordenadas. Transformação de Lorentz na direção-x: x 0 = γ( x 0 v x 1 ) x 1 = γ( x 1 v x 0 ) x 2 = x 2, x 3 = x 3, γ = 1/ p 1 v 2, c = 1 Reescrever em forma mais compacta: 3X x µ = Λ µ ν x ν, Λ µ ν = ν=0 0 γ γv 0 0 γv γ C A INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 7

15 Geometria de Minkowski Intervalo pode ser considerado um vetor típico com componentes: ( t, x, y, z). Notação: ( x µ ) = ( x 0, x 1, x 2, x 3 ), µ = 0,1,2, 3 Componentes de um vetor dependem do sistema de coordenadas. Transformação de Lorentz na direção-x: x 0 = γ( x 0 v x 1 ) x 1 = γ( x 1 v x 0 ) x 2 = x 2, x 3 = x 3, γ = 1/ p 1 v 2, c = 1 Reescrever em forma mais compacta: 3X x µ = Λ µ ν x ν, Λ µ ν = ν=0 0 γ γv 0 0 γv γ C A Convenção da soma: Índices repetidos significa somatória sobre tal índice: x µ = Λ µ ν x ν INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 7

16 Geometria de Minkowski Vetor A µ se transforma como o intervalo: A µ = Λ µ νa µ INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 8

17 Geometria de Minkowski Vetor A µ se transforma como o intervalo: A µ = Λ µ νa µ Vetores de base: e µ (4 vetores de base) A = A 0 e 0 + A 1 e 1 + A 2 e 2 + A 3 e 3 = A µ e µ e 0 = (1, 0,0,0) e 1 = (0, 1,0,0) e 2 = (0, 0,1,0) e 3 = (0, 0,0,1) INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 8

18 Geometria de Minkowski Vetor A µ se transforma como o intervalo: A µ = Λ µ νa µ Vetores de base: e µ (4 vetores de base) A = A 0 e 0 + A 1 e 1 + A 2 e 2 + A 3 e 3 = A µ e µ e 0 = (1, 0,0,0) e 1 = (0, 1,0,0) e 2 = (0, 0,1,0) e 3 = (0, 0,0,1) Produto escalar de dois vetores: A B = A 0 B 0 + A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 8

19 Geometria de Minkowski Vetor A µ se transforma como o intervalo: A µ = Λ µ νa µ Vetores de base: e µ (4 vetores de base) A = A 0 e 0 + A 1 e 1 + A 2 e 2 + A 3 e 3 = A µ e µ e 0 = (1, 0,0,0) e 1 = (0, 1,0,0) e 2 = (0, 0,1,0) e 3 = (0, 0,0,1) Produto escalar de dois vetores: A B = A 0 B 0 + A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 Norma de um vetor não é sempre positiva definida! A A = (A 0 ) 2 + (A 1 ) 2 + (A 2 ) 2 + (A 3 ) 2 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 8

20 Geometria de Minkowski Vetor A µ se transforma como o intervalo: A µ = Λ µ νa µ Vetores de base: e µ (4 vetores de base) A = A 0 e 0 + A 1 e 1 + A 2 e 2 + A 3 e 3 = A µ e µ e 0 = (1, 0,0,0) e 1 = (0, 1,0,0) e 2 = (0, 0,1,0) e 3 = (0, 0,0,1) Produto escalar de dois vetores: A B = A 0 B 0 + A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 Norma de um vetor não é sempre positiva definida! A A = (A 0 ) 2 + (A 1 ) 2 + (A 2 ) 2 + (A 3 ) 2 Ortogonalidade: Se A B = 0 não significa que são perpendiculares: P. ex. n = e 0 + e 1 tem n n = = 0 e não é o vetor zero! INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 8

21 Gravitação na Relatividade Restrita A força gravitacional Newtoniana propaga-se instantâneamente. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 9

22 Gravitação na Relatividade Restrita A força gravitacional Newtoniana propaga-se instantâneamente. É necessário conciliar a relatividade restrita com a gravitação. Einstein demorou 10 anos para compatibilizar a relatividade restrita com a gravitação. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 9

23 Gravitação na Relatividade Restrita A força gravitacional Newtoniana propaga-se instantâneamente. É necessário conciliar a relatividade restrita com a gravitação. Einstein demorou 10 anos para compatibilizar a relatividade restrita com a gravitação. E o resultado é: INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 9

24 Relatividade Geral Relatividade geral = teoria da gravitação relativística INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 10

25 Relatividade Geral Relatividade geral = teoria da gravitação relativística Não há força gravitacional. A gravitação devido à curvatura do espaço. Matéria causa a curvatura do espaço. A curvatura determina o movimento da matéria. Objeto fundamental: métrica g µν Determina todas as propriedades locais do espaço curvo. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 10

26 Espaços Curvos O que é um espaço curvo? INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 11

27 Espaços Curvos O que é um espaço curvo? Geometria Euclidiana: soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus. Geometria Riemanniana: a soma pode ser diferente! INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 11

28 Espaços Curvos O que é um espaço curvo? Geometria Euclidiana: soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus. Geometria Riemanniana: a soma pode ser diferente! Sem curvatura: igual à 180 graus. Curvatura positiva: maior que 180 graus. Curvatura negativa: menor que 180 graus. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 11

29 Espaços Curvos O que é um espaço curvo? Geometria Euclidiana: soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus. Geometria Riemanniana: a soma pode ser diferente! Sem curvatura: igual à 180 graus. Curvatura positiva: maior que 180 graus. Curvatura negativa: menor que 180 graus. Geometria extrínsica X geometria intrínsica INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 11

30 Espaço Euclidiano em 3D Sistema de coordenadas Cartesiano (x, y, z) Vetores unitários ortogonais i, j, k INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 12

31 Espaço Euclidiano em 3D Sistema de coordenadas Cartesiano (x, y, z) Vetores unitários ortogonais i, j, k Sistema de coordenadas arbitrário (u, v, w) P. ex. polares (r, θ, φ). Não precisam ser ortogonais. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 12

32 Espaço Euclidiano em 3D Sistema de coordenadas Cartesiano (x, y, z) Vetores unitários ortogonais i, j, k Sistema de coordenadas arbitrário (u, v, w) P. ex. polares (r, θ, φ). Não precisam ser ortogonais. Transformação de coodenadas: x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) u = u(x, y, z), v = v(x, y, z), w = w(x, y, z) INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 12

33 Espaço Euclidiano em 3D Sistema de coordenadas Cartesiano (x, y, z) Vetores unitários ortogonais i, j, k Sistema de coordenadas arbitrário (u, v, w) P. ex. polares (r, θ, φ). Não precisam ser ortogonais. Transformação de coodenadas: x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) u = u(x, y, z), v = v(x, y, z), w = w(x, y, z) Vetor posição r = x(u, v, w) i + y(u, v, w) j + z(u, v, w) k INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 12

34 Espaço Euclidiano em 3D Base natural no novo sistema de coordenadas: e u = r u, e v = r v, e w = r w Em geral não são normalizados e nem ortogonais. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 13

35 Espaço Euclidiano em 3D Base natural no novo sistema de coordenadas: e u = r u, e v = r v, e w = r w Em geral não são normalizados e nem ortogonais. Base dual: tomando-se o gradiente e u = u = u x i + u y j + u z z e v = v =..., e w = w =... INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 13

36 Espaço Euclidiano em 3D Base natural no novo sistema de coordenadas: e u = r u, e v = r v, e w = r w Em geral não são normalizados e nem ortogonais. Base dual: tomando-se o gradiente e u = u = u x i + u y j + u z z e v = v =..., e w = w =... Para um sistema de coordenadas ortogonal base dual = base natural, mas, em geral, são diferentes. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 13

37 Espaço Euclidiano em 3D Base natural no novo sistema de coordenadas: e u = r u, e v = r v, e w = r w Em geral não são normalizados e nem ortogonais. Base dual: tomando-se o gradiente e u = u = u x i + u y j + u z z e v = v =..., e w = w =... Para um sistema de coordenadas ortogonal base dual = base natural, mas, em geral, são diferentes. Notação: coordenadas u i = (u, v, w), i = 1,2,3 base natural e i = ( e u, e v, e w ) base dual e i = ( e u, e v, e w ) INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 13

38 Espaço Euclidiano em 3D Expansão de um vetor v = v i e i = v i e i v i componentes contravariantes de v v i componentes covariantes de v INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 14

39 Espaço Euclidiano em 3D Expansão de um vetor v = v i e i = v i e i v i componentes contravariantes de v v i componentes covariantes de v Vetor posição infinitesimal d r = r u i du i = e i du i Norma ds 2 = d r d r = e i e j du i du j = g ij du i du j g ij = e i e j é a métrica no sistema de coordenadas dado. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 14

40 Espaço Euclidiano em 3D Expansão de um vetor v = v i e i = v i e i v i componentes contravariantes de v v i componentes covariantes de v Vetor posição infinitesimal d r = r u i du i = e i du i Norma ds 2 = d r d r = e i e j du i du j = g ij du i du j g ij = e i e j é a métrica no sistema de coordenadas dado. Coordenadas Cartesianas g ij = C A Coordenadas esféricas g ij = 0 r r 2 sin 2 θ 1 C A ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 14

41 Espaço Euclidiano em 3D Tranformação de coordenadas: (u, v, w) para (u, v, w ) e i = u j u i e j, v i = u i u j vj, ei = ui e j u j v i = uj u i v j INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 15

42 Espaço Euclidiano em 3D Tranformação de coordenadas: (u, v, w) para (u, v, w ) e i = u j u i e j, v i = u i u j vj, ei = ui e j u j v i = uj u i v j Tensor tipo (r, s) contravariante de ordem r e covariante de ordem s: T i 1...i r j 1...j s = u i 1 u k... ul1 1 u j... T k 1...k r 1 l 1...l s INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 15

43 Espaço Euclidiano em 3D Tranformação de coordenadas: (u, v, w) para (u, v, w ) e i = u j u i e j, v i = u i u j vj, ei = ui e j u j v i = uj u i v j Tensor tipo (r, s) contravariante de ordem r e covariante de ordem s: T i 1...i r j 1...j s = u i 1 u k... ul1 1 u j... T k 1...k r 1 l 1...l s A métrica é um tensor covariante de segunda ordem INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 15

44 Espaço Euclidiano em 3D Tranformação de coordenadas: (u, v, w) para (u, v, w ) e i = u j u i e j, v i = u i u j vj, ei = ui e j u j v i = uj u i v j Tensor tipo (r, s) contravariante de ordem r e covariante de ordem s: T i 1...i r j 1...j s = u i 1 u k... ul1 1 u j... T k 1...k r 1 l 1...l s A métrica é um tensor covariante de segunda ordem Isto é o cálculo tensorial no espaço Euclidiano INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 15

45 Espaço Euclidiano em 3D Tranformação de coordenadas: (u, v, w) para (u, v, w ) e i = u j u i e j, v i = u i u j vj, ei = ui e j u j v i = uj u i v j Tensor tipo (r, s) contravariante de ordem r e covariante de ordem s: T i 1...i r j 1...j s = u i 1 u k... ul1 1 u j... T k 1...k r 1 l 1...l s A métrica é um tensor covariante de segunda ordem Isto é o cálculo tensorial no espaço Euclidiano Pode ser estendido para a relatividade restrita INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 15