Introdução à Astrofísica. Lição 26 Relatividade Geral E Buracos Negros

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1 Introdução à Astrofísica Lição 26 Relatividade Geral E Buracos Negros

2 Quando falamos em intervalo espaço-tempo, temos a descrição como: Δs 2 = c 2 Δt 2 Δx 2 Δy 2 Δz 2 Esse intervalo é uma invariante de Lorentz. Assumimos, quando tratamos de Relatividade Restrita, uma geometria Euclidiana (com coordenadas cartesianas). Não há problema com essa geometria para um espaço-tempo plano (conhecido como espaço de Minkowski). Porém, na presença de matéria, o espaço-tempo não possui mais uma geometria Euclidiana. Um raio de luz é curvado na presença de um campo gravitacional. Diretamente ligado ao intervalo de espaço-tempo, temos o intervalo de tempo próprio Δτ²: Δτ 2 = Δs2 c 2 = Δt2 Δx2 + Δy 2 + Δz 2 c 2 Essa quantidade leva esse nome devido ao fato de que corresponde ao tempo medido por um relógio que se move como uma partícula.

3 Supondo um observador cuja velocidade em um tempo t é dada por: v = dx dt, dy dt, dz dt Relativo a um sistema de coordenadas Cartesianas, t é a coordenada tempo. Logo: Δτ 2 = Δt c 2 Δx 2 Δt 2 + Δy2 Δt 2 + Δz2 Δt 2 = Δt c 2 v x 2 + v y 2 + v z 2 = Δt 2 1 v2 c 2 Com isso, recuperamos a expressão usual para a dilatação do tempo. Precisamos de quatro coordenadas para especificar a posição de uma partícula no espaço-tempo. Sejam as coordenadas (x 0, x 1, x 2, x 3 ), chamamos de x 0 a coordenada de tempo e as outras de coordenadas espaciais.

4 Um dos princípios fundamentais da relatividade é o princípio geral da covariância, que diz que as leis da física devem assumir a mesma forma independente das coordenadas que usamos para descrever o evento. Esse princípio não é válido para as Leis de Newton e nem para a Relatividade Restrita, ou Especial (lembre-se que essas só são válidas para referenciais inerciais). Porém, Einstein produziu um conjunto de equações para a Relatividade Geral completamente covariantes. Suponha que uma partícula esteja sob o efeito de um campo gravitacional. Pelo princípio da equivalência podemos escolher um referencial inercial local, o qual está em queda-livre, no qual a Relatividade Especial se aplica. Podemos então usar as coordenadas cartesianas. Derivemos a expressão para Δτ 2 entre dois eventos no espaço-tempo. Considerando o espaço regular em 3D, onde a separação espacial entre um par de pontos é: Δr 2 = Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 Essa distância em espaço é independente da escolha das coordenadas.

5 Vamos considerar um conjunto geral de coordenadas x 1, x 2, x 3 e escrever as coordenadas originais cartesianas x, y, z em termos dessas novas coordenadas: x = x x 1, x 2, x 3, y = y x 1, x 2, x 3, z = z x 1, x 2, x 3 Por simples cálculo, a separação Δx pode ser escrita como: Δx = x x 1 Δx1 + x x 2 Δx2 + x x 3 Δx3 Com semelhantes expressões para Δy e Δz. Se substituirmos a equação anterior e suas equivalentes na equação Δr 2 = Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 obtemos: Δr 2 = x x y x z x 1 2 Δx x x x 1 x 2 + y y x 1 x 2 + z z x 1 x 2 Δx1 Δx 2 + Onde 3 3 = g μν x 1, x 2, x 3 Δx μ Δx ν μ=1 ν=1 g μν = x x y y z z x μ + xν x μ + xν x μ x ν

6 Escrevendo de uma maneira mais compacta, através da chamada notação de Einstein, somamos todos os índices que aparecem repetidos. Assim: Δr 2 = g μν r Δx μ Δx ν Onde r = (x 1, x 2, x 3 ). Essa equação nos diz como calcular a separação espacial entre dois pontos. Note que Δr 2 é invariante. No espaço 3D, existem 9 funções em g μν : g μν = g 11 g 12 g 13 g 21 g 22 g 23 g 31 g 32 g 33 Porém, somente 6 destes termos são independentes, uma vez que g μν = g νμ, onde g μν é o tensor métrico.

7 Tensores são quantidades que se transformam entre sistemas de coordenadas de uma maneira particular. Um tensor de ordem zero é um escalar, ou seja, uma função da posição. Um tensor de ordem 1 é o que chamamos de vetor. Um tensor de ordem 2 é um conjunto de n² funções, como por exemplo o tensor métrico. A forma mais simples de tensor métrico é aquele o qual surge ao utilizarmos coordenadas cartesianas (x, y, z). Assim, escrevemos: g μν = x x y y z z x μ xν + x μ xν + x μ x ν g μν = 0, para μ ν 1, para μ = ν E o tensor métrico assume a forma da matriz diagonal: g μν = g μν =

8 Podemos usar um argumento análogo para obter Δτ 2 no espaço-tempo. O intervalo de tempo próprio em um sistema de referência arbitrário é dado por: Δτ 2 = g ij Δx i Δx j = 4 4 i=1 j=1 g ij Δx i Δx j O tensor métrico do espaço-tempo, g ij, tem dezesseis componentes. Como g μν, nem todos os elementos são independentes: n independetes = 16 4 / Assim como para o tensor métrico espacial g μν, existe uma forma das mais simples possíveis para g μν. Isto ocorre para um sistema de referência em queda-livre. Neste caso, a partir de: Δτ 2 = Δs2 c 2 = Δt2 Δx2 + Δy 2 + Δz 2 c 2 E usando x 0 como coordenada de tempo: g ij = g ij 0 = /c² /c /c 2

9 No geral, para sistemas de coordenadas arbitrárias, as componentes de g ij dependem das coordenadas dos eventos x i. Dois exemplos de métricas bem conhecidas são: - Euclidiana em 2D ds 2 = 1 dx dxdy + 0 dydx + 1 dy 2 = Espaço-tempo de Minkowski ds 2 = dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 =

10 CURVATURAS No espaço normal, definimos como geodésica a menor distância entre dois pontos. Em um plano, a menor distância é uma linha reta. Já numa esfera, a geodésica é um circulo. Geodésicas são propriedades intrínsecas de uma superfície, de modo que permanecem inalteradas mesmo se a superfície for deformada. Considere um plano, uma esfera e um sela. Em cada uma dessas superfícies é desenhado um círculo de raio r.

11 Se recortarmos os círculos e tentar coloca-los sobre um plano, obteremos:

12 Veja que o círculo da esfera possui uma superfície menor em relação à superfície do plano, enquanto que o círculo da sela possui uma superfície maior. Em uma geometria Euclidiana, a circunferência de um círculo é dada por C = 2πr e sua área é A = πr 2. Em uma esfera, C e A são menores do que os valores no plano, enquanto que na sela, C e A são maiores. Consideremos a geometria da figura ao lado. A partir da geometria simples, temos que: x = a sen r a Expandindo a função seno em série de Taylor: η = θa r a 1 r 3 3! a 3 + = θ r r3 6a 2 + A circunferência é obtida tomando o ângulo θ como 2π: C = 2π r r3 6a 2 +

13 Sendo a curvatura de uma esfera de raio a definida como Teremos: Para η teremos: C = 2π r r3 6 K = 1 a 2 K = 2πr 1 r2 6 K η = θ r r2 6 K Essa equação é válida até a terceira ordem. A equação anterior da curvatura nos fornece uma definição geral para a curvatura K: K = 3 π lim 2πr C r 0 Assim, a curvatura pode ser determinada por medidas locais. A curvatura é uma medida do espalhamento da geodésica em qualquer direção a partir de um dado ponto. Para um plano, k = 0 e C = 2πr. Para uma esfera, K > 0 e C < 2πr. Para uma sela, K < 0 e C > 2πr. r 3

14 Agora devemos relacionar a curvatura ao tensor métrico g μν onde suas dimensões μ e ν variam de 1 a 2. Assim, g μν fornece a separação espacial entre dois pontos sobre a superfície em termos das suas diferenças de coordenadas Δx μ : Δr 2 = g μν Δx μ Δx ν Em coordenadas cartesianas, com x 1 = x, x 2 = y, Δr 2 = Δx Δx 2 2 = Δx 2 + Δy 2 e o tensor métrico é: g μν = Nesse caso, a geometria é plana, como pode ser visto da forma de Δr 2 e o fato de que as componentes não-nulas de g μν são constantes, independentes de x 1 e x 2. Suponha que usemos coordenadas polares planas, com raio R e ângulo polar θ. Neste caso, x 1 = R e x 2 = θ e: Δr 2 = ΔR 2 + R 2 Δθ 2 Nesse caso, o tensor métrico é: = Δx 1 + x 1 2 Δx 2 2 g μν = x 1 2

15 Assim, o tensor métrico é dependente da posição. Contudo, ainda estamos analisando uma superfície plana. Se soubéssemos somente o tensor métrico, como poderíamos dizer se a superfície é plana ou não? Procuramos então por uma transformação de coordenadas que coloque g μν de volta no sistema cartesiano. No caso de coordenadas polares: x 1 = x 1 cosx 2 x 2 = x 2 senx 2 Isso é exatamente x = Rcosθ, y = Rsenθ e g μν volta a ter a forma Isso é também simples para um cilindro de raio a. Coordenadas cilíndricas são simplesmente R, θ onde: Δr 2 = Δz 2 + a 2 Δθ 2 RR RdRRRc este casr ordenadas polares planas, com raio s Uma vez que a superfície de um cilindro é simplesmente definido por R = a. Se definimos x 1 = z A fórmula da distância se torna: x 2 = aθ Δr 2 = Δx Δx 2 2

16 Uma superfície cilíndrica é também uma superfície plana (é um plano que foi enrolado). Para a esfera, isso não ocorre. Se as componentes de g μν são constantes então a superfície deve ser plana. Curvatura surge a partir da variação nas componentes de g μν. Logo, não é de surpreender que a fórmula da curvatura de Gauss inclua derivadas de g μν. Qualquer tensor métrico no qual as componentes não-diagonais são nulas é denominado ortogonal. Para métricas ortogonais em duas dimensões, a fórmula da curvatura de Gauss é dada por: K = 1 2 g 11 2g 1 g 22 x g 22 x g 11 g 22 2g 11 x 1 x 1 + g 11 x g 11 g 22 2g 22 x 2 x 2 + g 22 x 1 2

17 Gauss também demonstrou que K é invariante, ou seja, tem o mesmo valor independente de que sistema de coordenadas usamos. Para mais de duas dimensões, as coisas tornam-se mais complexas, de modo que não é possível descrever a curvatura por uma só função K. Em geral, a curvatura é descrita por um tensor de curvatura R ijkl de ordem 4, ou seja, existem n 4 componentes em um espaço n-dimensional. Consideremos o caso do espaço curvo 3D. Por simplicidade, vamos considerar o espaço como isotrópico e com curvatura constante. Se a curvatura é a mesma em todas as direções em torno de um ponto, este ponto é isotrópico. Se todos os pontos de um espaço são isotrópicos, então a curvatura deve ser a mesma em todos os pontos, e por isso dizemos que o espaço tem curvatura constante. Devemos usar, agora, coordenadas R, θ e φ. A coordenada radial R define uma superfície hiper-esférica, cuja área é, por definição, 4πR 2. A superfície hiper-esférica com R constante forma um espaço 2D, no qual as posições são dadas por θ e φ. A métrica desse espaço 2D é simplesmente a expressão usual para a área de uma esfera: Δr 2 = R 2 Δθ 2 + R 2 sen 2 θδφ 2

18 O espaço 3D é feito de uma sucessão dessas R-esferas. No entanto, dependendo da curvatura, R não é o raio próprio de uma esfera. Assim, a métrica 3D é dada por: Δr 2 = f R ΔR 2 + R 2 Δθ 2 + R 2 sen 2 θδφ 2 Onde a função f(r) representa o fato de que a distância própria entre os pontos (R, θ, φ) e (R + ΔR, θ, φ) não é simplesmente ΔR. É necessário encontrar a função f(r). Como a curvatura é a mesma em todos os pontos, todas as geodésicas possuem a mesma curvatura. Logo, podemos encontrar qualquer superfície geodésica para determinar a função.

19 Escolhendo, por simplicidade, uma superfície equatorial, θ = π/2. Nesse caso, Δθ = 0, e a métrica na superfície é: Δr 2 = f R ΔR 2 + R 2 Δφ 2 Sendo as coordenadas x 1 = R e x 2 = φ, o tensor métrico é: g μν = f(r) 0 0 R² = f x1 0 0 x 1 2 Usando a equação para a curvatura de Gauss: K = df x1 /dx¹ df R /dr 2f 2 x 1 x 1 = 2f 2 R R Uma vez que K é constante: df R dr = 2Kf2 R R df R f 2 R = 2KRdR A derivada de 1/f(R) é exatamente df(r)/f²(r), então o lado esquerdo da equação acima setorna: d 1 f R d dr 1 f R = 2KRdR = 2KR

20 Integrando essa equação: Onde C é uma constante. Então: 1 f R = KR2 + C 1 f R = C KR 2 Podemos determinar o valor de C fazendo f 1 quando K 0 (no espaço plano normal R é a coordenada distância radial própria). Isso nos fornece C = 1, logo: 1 f R = 1 KR 2 E a métrica em 3D é: Δr 2 = ΔR2 1 KR 2 + R2 Δθ 2 + R 2 sen 2 θδφ 2 Lembrando que a área de uma R-esfera é 4πr 2, a partir da equação anterior podemos determinar seu raio próprio a(r): Assim: a R = a R 0 Δr 2 dr = 0 R dr 1 KR 2 1/2 = 1 K 1 2 arcsen RK 1/2 R = 1 K 1/2 sen(ak1/2 ) Com isso, podemos obter a relação entre a área e o raio próprio para as hiper-esferas: A = 4π K sen2 ak 1/2

21 Para pequenos valores de x, senx~x e para pequenas esferas (a K 1/2 ): A 4πa 2 A medida em que a aumenta, A se afasta do valor euclidiano em uma maneira que depende do valor e do sinal de K. Se K < 0, então o argumento do seno da equação da área é imaginário. Para um imaginário z, senz é exatamente senh z. Então: A = 4π K senh2 a K 1/2 Onde K = K. Sendo senhx = (e x e x )/2, para grandes valores de x, senhx~e x /2. Para grandes valores de a, a área aumenta mais rapidamente do que no espaço euclidiano e torna-se infinita quando a. Se K > 0, então A aumenta com a mais lentamente do que no espaço euclidiano e alcança um máximo em: a máx = π/2k 1/2 No qual A máx = 4π K

22 Na medida que o raio aumenta além de a máx, A diminui e alcança o valor zero em a = π/k 1/2. O comportamento de A com o aumento de a é periódico. O espaço com K positivo é fechado e o comportamento periódico de A corresponde a sucessivas circunavegações na superfície. Seja uma esfera 2D de raio a. A superfície da esfera tem curvatura constante K = 1/a 2. Se começamos de um polo encontramos que a circunferência dos círculos aumentam com o raio próprio r até que alcançamos o equador. Assim: C = 2πasen r a Que possui um valor máximo quando r/a = π/2 ou r = πa/2, que é quando alcançamos o equador. Continuando a aumentar r, C diminui até alcançar o outro polo. Podemos escrever a equação da métrica para um espaço homogêneo e isotrópico de uma forma mais compacta: ds 2 = dr 2 + S k r 2 dω 2 Onde dω 2 dθ 2 + sen 2 θdφ 2 e Rsen r k = +1 R S k r = r (k = 0) Rsenh r R (k = 1)

23 PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA Um dos postulados da Relatividade Especial diz que as leis da física são as mesmas em todos os sistemas de referência inercial. Sistemas acelerados não são inerciais porque eles introduzem forças fictícias que dependem da aceleração. Uma pessoa em pé em um ônibus pode cair caso o ônibus freie bruscamente. No entanto, a aceleração produzida pela gravidade tem um aspecto único. Considere dois objetos separados por uma distância r, um de massa m e carga q, e o outro de massa M e carga Q. A magnitude da aceleração (a g ) de massa m devido a força gravitacional é: ma g = G mm r 2 A magnitude da aceleração (a e ) devido a força elétrica é: ma e = qq 4πε 0 r 2

24 A massa m do lado esquerdo é a massa inercial. Ela mede a resistência do objeto em ser acelerado. O estranho é o surgimento de m em ambos os lados da equação gravitacional. Por que uma quantidade que mede a inércia de um objeto é igual a carga gravitacional que determina a força da gravidade? A resposta está no fato de que a expressão anterior deveria ser escrita de outra forma: Ou então m i a g = G m gm g r 2 a g = G M g m g r 2 m i Para distinguir a massa inercial da massa gravitacional de cada objeto. Da mesma forma, escrevemos: a e = 1 qq 1 4πε 0 r 2 m i

25 Nesse caso, a única massa que entra na expressão é a massa inercial. Experimentalmente foi demonstrado que a razão m g /m i é constante, o que significa que em uma dada localização todos os objetos experimentam a mesma aceleração gravitacional. Chamamos isso de Princípio da Equivalência Fraco. Einstein percebeu que se um elevador estivesse em queda livre, uma pessoa dentro do elevador não saberia dizer se o mesmo está em queda livre ou flutuando no espaço. Isso coloca a Relatividade Especial em um sério problema, a qual requer que os sistemas de referenciais inerciais tenham uma velocidade constante. Uma vez que a gravitação é equivalente a um elevador acelerado para cima, um referencial inercial não pode nem mesmo ser definido na presença da gravidade. Ou seja, Einstein precisava encontrar uma maneira de remover a gravidade do elevador.

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27 Para remover a gravidade, Einstein deveria ter um sistema de referência local, pequeno o suficiente, de modo que a aceleração devido a gravidade fosse essencialmente constante em magnitude e direção em todos os pontos dentro do sistema de referência. A gravidade seria então excluída dentro de um sistema de referência local, em queda livre. Em 1907, Einstein enunciou o princípio da equivalência: Todos os laboratórios locais (elevadores), em queda-livre, sem rotação, são completamente equivalentes para a realização de todos os experimentos físicos. Ou então: Não há como um observador dentro de um elevador saber se o mesmo está na superfície da Terra ou sendo acelerado pra cima no espaço

28 A DEFLEXÃO DA LUZ Vejamos um exemplo simples envolvendo o princípio da equivalência. Imaginemos um laboratório suspenso acima do solo por um cabo. Seja um fóton que deixa uma lanterna na horizontal no instante em que o cabo é rompido. A gravidade foi então removida deste laboratório (está em queda-livre) que agora se transforma num referencial localmente inercial. De acordo com o princípio da equivalência, um observador caindo com o laboratório medirá a trajetória do feixe de luz como uma linha horizontal. Porém, um segundo observador fora do laboratório o vê caindo sob a influência da gravidade. Já que o fóton mantém uma altura constante acima do piso do laboratório, o segundo observador deve medir um fóton que cai com o laboratório, seguindo uma trajetória curva.

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30 A trajetória curva do fóton é o mais rápido percurso possível através do espaço-tempo que se manifesta ao redor da Terra. O ângulo de deflexão, φ, do fóton é muito pequeno. Embora o fóton não siga uma órbita circular, usaremos um círculo de raio r c. Se a largura do laboratório é l, então o fóton atravessa o laboratório num tempo t = l/c. Nesse intervalo de tempo, o laboratório se desloca um distância d = gt 2 /2 para baixo. Então: BC/AC = BD/OD gt2 /l = 2 cos φ /OD 2 O valor de φ é tão pequeno que cos(φ/2 )~1 e a distância OD~r c. Usando o fato que t = l/c e g = 9,8 m/s², temos: r c = c2 g = 9, m Para o raio de curvatura da trajetória do fóton. O ângulo de deflexão φ depende de l. Para l = 10 m: φ = l r c = 1, rad = 2, arcseg

31 O enorme raio de curvatura da trajetória do fóton indica que o espaço-tempo próximo da Terra é ligeiramente curvo. O fenômeno da deflexão da luz foi confirmado durante um eclipse em 1919.

32 A MÉTRICA DE SCHWARZSCHILD Em um espaço-tempo que é curvo pela presença de massa, a situação pode tornar-se complexa. Uma linha reta é curvada. Essas linhas de Universo mais retas possíveis são as geodésicas. Considere uma esfera de massa M e raio R na origem do sistema de coordenadas. Ao invés de medirmos a distância em relação ao centro do objeto, podemos imaginar uma série de esferas concêntricas centradas na origem. A área de cada uma dessas esferas pode ser calculada sem nos aproximarmos do centro. Assim, podemos medir distâncias sobre tais esferas. Na medida que um objeto se move através deste espaço curvo definido pela massa M, sua coordenada da velocidade será justamente a taxa com a qual as coordenadas espaciais variam. A uma distância infinita do planeta, o espaço-tempo é basicamente plano e a dilatação do tempo gravitacional de um fóton recebido do planeta é dado por: Para o campo fraco: Δt 0 Δt = v v 0 = 1 2GM r 0 c 2 Δt 0 Δt 1 GM r 0 c 2 1/2

33 O tempo passa mais lentamente na medida que a vizinhança do espaço-tempo torna-se mais curvo. Esse é o efeito de dilatação temporal gravitacional. Assim, podemos imaginar que o termo no lado direito da equação acima desempenha um importante papel na métrica do espaço-tempo próximo ao objeto, enquanto que para uma distância infinita o espaço-tempo é basicamente plano. Esses efeitos estão presentes na métrica que descreve o espaço-tempo curvo nas vizinhanças de um objeto massivo. Em 1916, dois meses depois de Einstein ter publicado sua teoria geral da relatividade, Karl Schwarzschild resolveu as equações de campo de Einstein para obter o que chamamos de métrica de Schwarzschild: 2 ds 2 = cdt 1 2GM dr rc 2 1 2GM rdθ 2 rsenθdφ 2 rc 2 A métrica de Schwarzschild só é válida para o vácuo e no caso de simetria esférica. 2

34 BURACOS NEGROS Em 1783, John Michell considerou a implicação da teoria corpuscular de Newton sobre a luz. Se a luz é um conjunto de partículas, então deveria ser influenciada pela gravidade. Lembremos que calculamos a velocidade de escape de um objeto sobre um campo gravitacional. O que faremos é o seguinte: vamos substituir a velocidade de escape pela velocidade da luz e isolar o valor do raio. Assim, nossa equação será: R = 2GM c 2 Se usarmos a massa de uma estrela típica nessa equação, encontraremos um raio pequeno. Em 1939, J. Robert Oppenheimer e Hartland Snyder descreveram o colapso gravitacional de uma estrela massiva que tenha exaurido suas fontes de fusão nuclear. Os dois calcularam pela primeira vez um modelo de estrelas de nêutrons. Uma estrela de nêutron não pode ter uma massa maior que 3 massas solares. O que ocorre com uma estrela mais massiva?

35 Quando a coordenada radial da superfície da estrela colapsa para R S = 2GM c 2 Que chamamos de raio de Schwarzschild, as raízes quadradas na métrica se anulam. Consideremos a taxa a qual a coordenada espacial de um fóton varia, ou seja, ds = 0. Logo: 2 0 = cdt 1 2GM dr rc 2 1 2GM rdθ 2 rsenθdφ 2 rc 2 Podemos calcular a coordenada velocidade de um fóton viajando verticalmente. Fazendo dθ = dφ = 0 mostramos que em geral a coordenada velocidade da luz na direção radial é: dr dt = c 1 2GM rc 2 2 = c 1 R S r

36 Quando r R S, dr/dt~c, como esperado para o espaçotempo plano. Contudo, quando r = R S então dr/dt = 0. Dizemos que a luz para no raio de Schwarzschild. A superfície esférica em r = R S atua como uma barreira e nos impede de receber qualquer informação interna ao raio de Schwarzschild. Por isso, uma estrela que tenha colapsado para dentro desse raio é chamada de buraco negro. O buraco negro é cercado pelo horizonte de eventos, que é uma superfície esférica de raio r = R S. O centro do buraco negro é a singularidade, um ponto de volume zero e densidade infinita, onde toda a massa do buraco negro está localizada. O espaço-tempo é infinitamente curvado na singularidade. O horizonte de eventos esconde a singularidade central, a qual não pode ser observada. A hipótese da Lei de Censura Cósmica proíbe uma singularidade aparecer semumhorizonte deeventos.

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38 O maior membro do par Cygnus X-1 é uma estrela supergigante B0, com cerca de 30 massas solares. O segundo membro é, provavelmente uma estrela de 7 massas solares, umburaco negro.

39 A ERGOSFERA Ao redor do horizonte de eventos de um buraco negro em rotação temos a ergosfera. Nessa região, o campo gravitacional do buraco negro arrasta o espaço em volta. Esse fenômeno foi teorizado pela primeira vez por Roy Kerr. O modelo de Kerr difere do modelo de Schwarzschild devido ao fato da singularidade possuir uma forma anular. Pela conservação do momento angular, os buracos negros naturais devem rotacionar (devido ao fato de que as estrelas que os originavam rotacionavam). Assim, a ergosfera seria uma zona de arraste do espaço-tempo (o espaço em volta gira com o buraco negro). A estrutura da ergosfera possui uma forma elipsoidal, coincidindo seu semi-eixo menor com o eixo de rotação. Portanto, a ergosfera se achata na direção de rotação.

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41 Um corpo na ergosfera não pode permanecer em repouso devido ao fato do próprio espaço nessa região estar se movendo. Um observador externo à ergosfera verá o corpo viajar a uma velocidade própria somada com à da rotação do espaço. De acordo com a relatividade, esse fato nos da algo interessante: Um corpo viajando rápido o suficiente sobre a ergosfera poderia mostrar uma velocidade relativa, para o observador externo, superior que a da luz! Isso faria com que o objeto deixasse de ser visível. Em outras palavras, seria o mesmo que dizer que o objeto viajou para o passado!

42 A RADIAÇÃO DE HAWKING O princípio da incerteza nos conduz ao conceito de pares virtuais. Em cada posição do espaço, pares de partículas e anti-partículas estão sendo constantemente criados e destruídos. Esse processo deixa um par de fótons no espaço e acontece num curto intervalo de tempo de tal forma que a partícula e anti-partícula não são observadas. Imaginemos a criação momentânea de um par virtual de um elétron e um pósitron no limite externo ao horizonte de eventos. Pode acontecer de uma das partículas cair no buraco negro e assim sua anti-partícula não se aniquilar e portanto deve se tornar uma partícula real. Para realizar essa conversão, parte da energia gravitacional do buraco negro deve ser convertida em matéria, de acordo com a equação E = mc². Isso diminui a massa do buraco negro a uma quantidade correspondente e a partícula está livre para escapar do horizonte de eventos. Desta maneira, partículas podem escapar do buraco negro, carregando parte da massa do buraco negro com elas. Essa é a chamada radiação de Hawking. O tempo de evaporação de um buraco negro é dado por: t evap = 2560π 2 2GM c 2 2 M h M M anos