Aula 12 Introdução à Astrofísica

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1 Aula 12 Introdução à Astrofísica Reinaldo R. de Carvalho 1

2 Capítulo 12 Relatividade Geral e Buracos Negros - Princípio da Covariância - Geodésicas e Curva - Princípio da Eqüivalência - Deflexão da Luz - Métrica de Schwarzschild - Buracos Negros

3 Relatividade Geral Da última vez que falamos sobre o intervalo no espaçotempo s 2 = c 2 t 2 - x 2 - y 2 - z 2 mostramos que este intervalo é um invariante de Lorentz, onde: s 2 = 0 separação tipo luz s 2 > 0 separação tipo tempo s 2 < 0 separação tipo espaço Nós assumimos uma geometria Euclidiana (coordenadas cartesianas). Isto é verdade para um espaçotempo plano (conhecido como espaço de Minkowski); esta é a geometria para a Relatividade Especial. Na presença de matéria, o espaçotempo não tem uma geometria Euclidiana. Uma raio de luz é defletido na presença de um campo gravitacional. Assim, em geral o espaçotempo não será plano. 3

4 Diretamente ligado ao intervalo no espaçotempo, s 2, está o intervalo de tempo próprio τ 2. eq. 3.1 Esta quantidade tem este nome devido ao fato de que corresponde ao tempo medido por um relógio que move-se com uma partícula. Suponhamos agora um observador cuja velocidade no tempo t é v, onde: Relativo a um sistema de coordenadas Cartesianas, t é a coordenada tempo. Então: 4

5 Assim, recuperamos a expressão usual para a dilatação do tempo. Da mesma forma que tínhamos para s 2, as separações são: Precisamos de quatro coordenadas para especificar a posição de uma partícula no espaçotempo. Sejam estas coordenadas (x 0, x 1, x 2, x 3 ). A convenção é usar x 0 como a coordenada tempo e x 1, x 2, x 3 como coordenadas espaciais. O Princípio Geral da Covariância: As leis da física devem assumir a mesma forma independente das coordenadas que usamos para descrever os eventos. Notemos que isto não é verdadeiro no caso das Leis de Newton e da Relatividade Especial uma vez que ambas são válidas somente para referenciais inerciais. Contudo, Einstein produziu um conjunto de equações para a Relatividade Geral completamente covariantes. 5

6 Já vimos que a relatividade eliminou o tempo absoluto. Além disso, o intervalo s 2, ou o seu eqüivalente τ 2, é um invariante de Lorentz. Logo usaremos o tempo próprio τ, o tempo medido por um relógio que viaja com o corpo material ao longo de uma linha de Universo, como a coordenada tempo. Suponha que uma partícula esteja sob o efeito de um campo gravitacional. Pelo Princípio da Eqüivalência podemos escolher um referencial inercial local, o qual está em queda-livre, no qual a Relatividade Especial se aplica. Podemos então usar coordenadas Cartesianas e o intervalo de tempo próprio é dado pela equação 3.1. Derivemos então a expressão para τ 2 entre dois eventos no espaçotempo. Consideremos o espaço regular em 3D, onde a separação espacial entre um par de pontos é: eq. 3.2 Esta distância em espaço é independente da escolha de coordenadas. Vamos considerar um conjunto geral de coordenadas x 1, x 2, x 3 e escrever as coordenadas originais Cartesianas x, y, z em termos destas novas coordenadas: x = x (x 1, x 2, x 3 ), y = y (x 1, x 2, x 3 ), z = z (x 1, x 2, x 3 ) 6

7 Por simples cálculo, a separação x pode ser escrita como: eq. 3.3 Com semelhantes expressões para y e z em termos de x 1, x 2, x 3 se substituirmos a equação 3.3 e suas equivalentes para y e z na equação 3.2, obtemos: eq. 3.4 onde eq

8 Podemos tornar a nomenclatura mais compacta usando a convenção introduzida por Einstein; automaticamente somamos sobre todos os índices que aparecem repetidos. Isto é verdade para ambos os índices μ e ν na equação 3.4, assim eq. 3.6 onde r = (x 1, x 2, x 3 ) A equação 3.6 nos diz como calcular a separação espacial de dois pontos dadas as diferenças de coordenadas entre eles. Note que r 2 é invariante, mas as diferenças de coordenadas não são, elas dependem do sistema de coordenadas que escolhemos (que pode ser arbitrário). No espaço em 3D, existem 9 funções em gμν : eq. 3.7 Mas somente 6 destes termos são independentes, uma vez que gμν = gνμ, gμν é o tensor métrico. 8

9 Tensores são quantidades que se transformam entre sistemas de coordenadas de uma maneira particular. Um tensor de ordem 0 é um escalar, ou seja, uma função da posição a qual é a mesma em todo o sistema de coordenadas. Em um espaço n-dimensional, um tensor de ordem 1 é um vetor n-dimensional, ou seja um conjunto de n funções. Exemplo, r = ( x 1, x 2, x 3 ) é um tensor de ordem 1. Um tensor de ordem 2 é um conjunto de n 2 funções, por exemplo o tensor métrico. A forma mais simples de tensor métrico é o que encontramos se usamos coordenadas Cartesianas (x,y,z). Da equação 3.5 temos: e o tensor métrico assume a forma diagonal: eq. 3.8 Podemos usar um argumento análogo para obter τ 2 no espaçotempo; o intervalo de tempo próprio em um sistema de referência arbitrário é dado por eq

10 O tensor métrico do espaçotempo, gij, tem dezesseis componentes; como gμν nem todos os elementos são independentes: nindep = (16-4)/ Assim como para o tensor métrico espacial gμν, existe uma forma das mais simples possíveis para gμν; isto ocorre para um sistema de referência em queda-livre. Neste caso, a partir da equação 3.1, usando x 0 como coordenada tempo: eq Em geral, para sistemas de coordenadas arbitrárias, as componentes de gij dependem das coordenadas dos eventos x i. Dois exemplos de métricas que são bem conhecidas: 1 - Euclidiana em 2D ds 2 = 1. dx dx dy + 0. dy dx + 1. dy 2 (1 0 1) Espaçotempo de Minkowski ds 2 = dt 2 - dx 2 - dy 2 - dz 2 ( ) 10

11 Geodésicas e Curvatura Espacial No espaço normal geodésica é a menor distância entre dois pontos. Em um plano, isto é uma linha reta; numa esfera, é um grande círculo. Geodésicas são propriedades intrínsecas de uma superfície - elas podem ser determinadas completamente por medidas feitas dentro da superfície. Uma vez que são intrínsecas, permanecem inalteradas mesmo se a superfície é deformada. Considere um plano, uma esfera e uma cela e em cada superfície desenhe um círculo geodésico de raio r. Se recortamos estes círculos e tentamos planificá-los obtemos: 11

12 Ve-se claramente que o círculo sobre a esfera tem menor superfície em relação a superfície sobre o plano e maior superfície para a cela. Numa geometria Euclidiana, a circunferência de um círculo é C = 2 r enquanto a área é A = r 2. Numa esfera, C e A são menores dos que os valores Euclidianos, enquanto na cela Ce A são maiores do que os valores Euclidianos. Consideremos a geometria da figura abaixo com suas quantidades definidas 12

13 A partir de simples geometria temos que x = a sen r/a, enquanto η é dado por η = θx ou Expandindo a função seno em série de Taylor: A circunferência do círculo é obtida tomando θ 2 : Definimos a curvatura de uma esfera de raio a como K = 1/a 2 ; então incluindo termos de terceira ordem, eq Usando a mesma ordem em r, a expressão para η torna-se: eq

14 A equação 3.12 na verdade é válida até a terceira ordem, (r 3 ) para qualquer superfície. Este resultado pode ser demonstrado, mas não o faremos aqui. Equação 3.11 fornece portanto uma definição geral para a curvatura K: eq Assim a curvatura pode ser determinada por medidas locais. Então, o que é curvatura? é uma medida do espalhamento da geodésica em qualquer direção a partir de um dado ponto. 1 - Para um plano, K = 0, e C = 2 r, ou linhas paralelas permanecem paralelas; eqüivalentemente a área A é dada por A = (r 2 - r 4 k/12) (= C dr) 2 - Para uma esfera, K > 0, e C < 2 r, A < r Para uma cela, K < 0, e C > 2 r, A > r 2 Agora queremos relacionar a curvatura ao tensor métrico, gμν, onde em duas dimensões μ,ν variam de 1 a 2. gμν fornece a separação espacial entre dois pontos sobre a superfície em termos das suas diferenças de coordenadas x μ : 14

15 em coordenadas Cartesianas, com x 1 = x, x 2 = y, r 2 = ( x 1 ) 2 + ( x 2 ) 2 = x 2 + y 2, e o tensor métrico é: Neste caso, a geometria é plana, como pode ser visto obviamente da forma de r 2 e o fato de que as componentes não-nulas de gμν são constantes, independentes de x 1 e x 2. Suponha que usemos coordenadas polares planas, com raio R e ângulo polar θ. Neste caso, x 1 = R e x 2 = θ, e eq Neste caso, o tensor métrico correspondente a equação 3.14 é: eq Assim o tensor métrico, é dependente da posição. Contudo, ainda estamos tratando de uma superfície plana. 15

16 Se soubéssemos somente o tensor métrico (equação 3.15), como poderíamos dizer se a superfície era plana ou não? Procuramos então por uma transformação de coordenadas que coloque gμν de volta no sistema Cartesiano. No caso de coordenadas polares, é trivial: (1 0 Isto é exatamente, x = R cos θ, y = R sen θ, e gμν volta a ter a forma. 0 1) Isto é também simples para um cilindro de raio a. Coordenadas cilíndricas são simplesmente R,θ, onde eq uma vez que a superfície de um cilindro é simplesmente definido por R = a. Se definirmos, 16

17 a fórmula da distância torna-se Como antes, uma superfície cilíndrica é também plana. Um cilindro é um plano que foi enrolado. Para a esfera isso não acontece. Se as componentes de gμν são constantes então a superfície deve ser plana. Curvatura, surge a partir da variação nas componentes de gμν. Logo, não é surpreendente que a fórmula da curvatura de Gauss inclua derivadas de gμν. Qualquer tensor métrico no qual as componentes não-diagonais são nulas (mesmo se as componentes diagonais não são constantes) é denominado ortogonal: para métricas ortogonais em duas dimensões a fórmula da curvatura de Gauss é dada por: Gauss também demonstrou que K é invariante, ou seja tem o mesmo valor independente de que sistema de coordenadas usamos para avaliação. Para mais de duas dimensões as coisas são mais complexas - não é possível descrever a curvatura por uma só função K. Em geral, a curvatura é descrita por um tensor de curvatura Rijkl de ordem 4, ou seja, existem n 4 componentes em um espaço n-dimensional. Nem todas são independentes; em 2-D somente uma é independente - esta é K. 17

18 Espaço Curvo em 3-D Consideremos o caso de espaço curvo mais simples possível: o espaço 3-D isotrópico de curvatura constante. Se a curvatura é a mesma em todas as direções em torno de um ponto, este ponto é dito isotrópico. Se todos os pontos de um espaço são isotrópicos, então a curvatura deve ser a mesma em todos os pontos e o espaço tem curvatura constante. Usamos coordenadas R, θ e φ. A coordenada radial R define uma superfície hiper-esférica cuja área por definição é 4 πr 2. A superfície hiper-esférica, R = constante, forma um espaço 2D, no qual as posições são dadas por θ e φ. A métrica deste espaço 2D é simplesmente a expressão usual para a área de uma esfera: O espaço 3D é feito de uma sucessão destas R-esferas. No entanto, dependendo da curvatura, R não é o raio próprio de uma esfera. Assim, escrevemos a métrica em 3D como: eq onde a função f(r) representa o fato de que a distância própria entre os pontos (R, θ, φ) e (R + R, θ, φ) não é simplesmente R. Precisamos encontrar a função f(r). 18

19 Como a curvatura é a mesma em todos os pontos, todas as geodésicas têm a mesma curvatura. Assim, podemos encontrar qualquer superfície geodésica para determinar f(r). Por simplicidade vamos escolher a superfície equatorial θ = π/2, como o plano xy na figura abaixo. Neste caso θ = 0, e a métrica nesta superfície é: As coordenadas nesta superfície são x 1 = R, x 2 = φ, e o tensor métrico é: eq

20 Usando a equação para a curvatura de Gauss, dada anteriormente: eq Esta é um equação diferencial simples para f(r), uma vez que K é constante: Uma vez que a derivada de -1/f(R) é exatamente df(r)/f 2 (R), o lado esquerdo da equação acima é: Integrando, obtemos: C é uma constante 20 eq. 3.20

21 Para determinar o valor da constante C, requeremos que f 1 quando K 0, isto é, no espaço plano normal R é a coordenada distância radial própria. Isto significa que C = 1, assim: eq e a métrica em 3D neste espaço é a equação 3.17 eq Vamos lembrar que, por definição, a área de uma R-esfera é 4π r 2, enquanto que da equação 3.22 podemos determinar seu raio próprio a(r): eq Assim, chegamos ao resultado eq Uma vez que A = 4π R 2, podemos agora escrever a relação entre área e raio próprio para estas hiper-esferas Para pequenos valores de x. sen x x e para pequenas esferas (a << K -1/2 ), eq

22 Na medida que a aumenta, A se afasta do valor Euclidiano em uma maneira que depende do valor e sinal de K. Se K < 0, então o argumento do seno na equação 3.25 é imaginário. Para um imaginário z, sen z é exatamente o senh z, assim para K < 0, a equação 3.25 é: eq onde K = -K. Uma vez que senh x = (e x - e -x )/2, para grandes valores de x, senh x e x / 2. Assim, para grandes valores de a, a área aumenta mais rapidamente do que no espaço Euclidiano (A r 2 ) e torna-se infinita quando a. Se K > 0, então a equação 3.25 mostra que A aumenta com a mais lentamente do que no espaço Euclidiano e alcança um máximo em na qual eq

23 Na medida que o raio aumenta além de amax, A diminui, e alcança o valor zero em a = π / K 1/2. O comportamento de A com o aumento de a é periódico. O espaço com K positivo é fechado; o comportamento periódico de A corresponde a sucessivas circunavegações na superfície. Para melhor entender o significado desta assertiva, vamos lembrar da esfera 2D de raio a. A superfície da esfera tem curvatura constante K = 1 / a 2. Se começamos de um pólo encontramos que a circunferência dos círculos aumentam com o raio próprio r até que alcançamos o equador. C = 2 π a sen (r/a) Este tem um valor máximo quando r/a = π /2 ou r = π a/ 2, que é quando alcançamos o equador. Continuando a aumentar r, C diminui até alcançar o outro pólo. 23

24 Podemos então escrever a equação da métrica para um espaço homogêneo e isotrópico de uma forma compacta (veja equação 3.22) onde eq eq e eq As métricas as vezes aparecem com formas diferentes nos diferentes livros textos, mas representam sempre um espaço homogêneo e isotrópico. Por exemplo, note que se aplicamos a transformação x Sk (r), obtemos a equação eq que tem exatamente a mesma forma que a equação

25 Princípio da Eqüivalência Vejamos como Einstein chegou ao ponto de associar gravitação com geometria. Um dos postulados da Relatividade Especial diz que as leis da física são as mesmas em todos os sistemas de referência iniciais. Sistemas acelerados não são inerciais porque eles introduzem forças fictícias que dependem da aceleração. Por exemplo, uma maçã no banco de um carro não permanecerá em repouso se o carro frear subitamente. No entanto, a aceleração produzida pela força de gravidade tem uma aspecto único. Considere dois objetos separados por uma distância r, um de massa m e carga q, e o outro de massa M e carga Q. A magnitude da aceleração (ag) da massa m devido a força gravitacional é Enquanto que a magnitude da aceleração (ae) devido a força elétrica é A massa m do lado esquerdo é a massa inercial, mede a resistência do objeto a ser acelerado (sua inércia). Do lado esquerdo, as massas m e M e as cargas q e Q são números que acoplam suas respectivas forças e determinam a intensidade destas forças. O mistério é o aparecimento de m em ambos os lados da equação gravitacional. 25

26 Por que uma quantidade que mede a inércia de um objeto é igual à carga gravitacional que determina a força de gravidade? A resposta está no fato de que a expressão anterior na verdade deveria ser escrita de outra forma. para distinguir claramente a massa inercial da massa gravitacional de cada objeto. Da mesma forma podemos escrever Neste caso a única massa que entra na expressão é a massa inercial. Experimentalmente foi demonstrado que a razão mg/mi é constante, o que significa que em uma dada localização todos os objetos experimentam a mesma aceleração gravitacional. Esta constância é chamada de Princípio de Eqüivalência Fraco. Einstein percebeu que se um laboratório estivesse em queda livre, com todo o seu conteúdo caindo junto, então não haveria como medir sua aceleração. Seria experimentalmente impossível saber se o laboratório está flutuando no espaço, longe de qualquer objeto massivo, ou em queda livre em um campo gravitacional. Isto põe um sério problema para a Relatividade Especial, a qual requer que sistemas referenciais inerciais tenham uma velocidade constante. Uma vez que a gravitação é equivalente a um laboratório acelerado, um referencial inercial não pode nem mesmo ser definido na presença de gravidade. Ou seja, Einstein precisava encontrar uma maneira de remover a gravidade do laboratório. 26

27 Este compartimento está em repouso no campo gravitacional da Terra Este compartimento está movendose num ambiente livre de gravidade (a) A maçã chega ao chão do compartimento porque a gravidade da Terra acelera a maçã pra baixo. (b) A maçã chega ao chão do compartimento porque o compartimento acelera pra cima 27

28 Einstein percebeu que para remover a gravidade bastaria que ele tivesse sistemas de referência locais, pequenos o suficiente, tal que a aceleração devido a gravidade fosse essencialmente constante em magnitude e direção em todos os pontos dentro do sistema de referência. A gravidade seria então excluída dentro de um sistema de referência local, em queda livre. Einstein enunciou então em 1907 o princípio da eqüivalência Todos os laboratórios locais, em queda-livre, sem rotação, são completamente equivalentes para a realização de todos os experimentos físicos. Chamamos estes referenciais de sistema de referência localmente inercial. Note que a Relatividade Especial é incorporada no Princípio da Eqüivalência. Por exemplo, medidas feitas a partir de dois sistemas localmente inerciais em movimento relativo são relacionados pelas transformações de Lorentz usando o valor instantâneo da velocidade relativa entre os dois sistemas. Assim, a Relatividade Geral é na verdade uma extensão da Teoria Especial da Relatividade. 28

29 Deflexão da Luz Vejamos agora um exemplo simples envolvendo o Princípio da Eqüivalência. Imaginemos um laboratório suspenso acima do solo por um cabo (painel a). Seja um fóton que deixa uma lanterna na horizontal no instante em que o cabo é rompido (painel b). A gravidade foi então removida deste laboratório em queda livre, que agora se transforma num referencial localmente inercial. De acordo com o Princípio da Eqüivalência, um observador caindo com o laboratório medirá a trajetória do feixe de luz como uma linha horizontal, em acordo com todas as leis da física. Mas um outro observador no solo vê um laboratório caindo sob a influência da gravidade. Já que o fóton mantém uma altura constante acima do piso do laboratório, o observador no solo deve medir um fóton que cai com o laboratório, seguindo uma trajetória curva. A trajetória curva do fóton é o mais rápido percurso possível através do espaçotempo que se manifesta ao redor da Terra. 29

30 O ângulo de deflexão, φ, do fóton é muito pequeno. Embora o fóton não siga uma órbita circular, usaremos um círculo de raio rc. Se a largura do laboratório é l, então o fóton atravessa o laboratório num tempo t = l/c. Neste intervalo de tempo, o laboratório se desloca uma distância d = gt 2 / 2, para baixo. Assim, Na verdade, φ é tão pequeno que podemos considerar cos (φ/2) 1.0 e distância OD rc. Usando o fato que t = l/c e g = 9.8 m s -2, temos para o raio de curvatura da trajetória do fóton. O ângulo de deflexão φ depende de l, para l = 10m, temos ou seja 2.25 x segundos de arco. O enorme raio de curvatura da trajetória do fóton indica que o espaçotempo próximo a Terra é ligeiramente curvo. No entanto, a curvatura é grande o suficiente para produzir órbitas circulares dos satélites, os quais movem-se lentamente no espaçotempo curvo. 30

31 2. Devido a deflexão, a estrela parece estar aqui. 1. Um raio de luz é defletido pela gravidade do Sol. Raios de luz são defletidos pelo espaçotempo curvo em torno de um objeto massivo como o Sol. A deflexão máxima é somente 1.75 segundos de arco para um raio de luz que tangencia a superfície do Sol. Em contraste, a teoria Newtoniana não prevê deflexão. Este fenômeno foi confirmado durante um eclipse solar em

32 A Métrica de Schwarzschild Em um espaçotempo que é curvo pela presença de massa, a situação pode tornar-se complexa. Uma linha reta será curvada. Estas linhas de Universo o mais reta possíveis são as geodésicas, como discutido anteriormente. Considere uma esfera de massa M e raio R (como a Terra por exemplo) na origem do sistema de coordenadas. Ao invés de medirmos distância em relação ao centro do objeto podemos ano invés imaginar uma série de esferas concêntricas centradas na origem. A área de cada uma destas esferas pode ser calculada sem nos aproximarmos do centro. Assim, podemos medir distâncias sobre tais esferas. Na medida que um objeto se move através deste espaço curvo definido pela massa M sua coordenada velocidade será justamente a taxa com a qual as coordenadas espaciais variam. 32

33 A uma distância infinita do planeta, o espaçotempo é basicamente plano e a dilatação do tempo gravitacional de um fóton recebido do planeta é dado pela equação Para o campo fraco temos Concluímos que o tempo passa mais lentamente na medida que a vizinhança do espaçotempo torna-se mais curvo, um efeito chamado dilatação temporal gravitacional. Assim, podemos imaginar que o termo no lado direito da equação acima desempenha papel importante na métrica do espaçotempo próximo ao objeto, enquanto que para uma distância infinita o espaçotempo é basicamente plano. Estes efeitos estão presentes na métrica que descreve o espaçotempo curvo nas vizinhança de um objeto massivo. Em 1916, dois meses depois de Einstein ter publicado sua teoria geral da relatividade, Karl Schwarzschild resolveu as equações de campo de Einstein para obter o que é conhecido atualmente como a métrica de Schwarzschild: Importante lembrar que a métrica de Schwarzschild só é válida para o vácuo e no caso de simetria esférica. 33

34 Buracos Negros Em 1783, John Michell considerou a implicação da teoria corpuscular de Newton sobre a luz. Se a luz é um conjunto de partículas, então deveria ser influenciada pela gravidade. De maneira simplista se colocarmos a velocidade da luz c na equação da velocidade de escape obtemos que R = 2GM/c 2 é o raio da estrela para a qual a velocidade de escape é igual a velocidade da luz. Substituindo valores de estrelas típicas obtemos um raio muito pequeno. Em 1939, J. Robert Oppenheimer e Hartland Snyder descreveram o colapso gravitacional de uma estrela massiva que tenha exaurido suas fontes de fusão nuclear. Oppenheimer e Snyder calcularam pela primeira vez um modelo de estrelas de neutron. Uma estrela de neutron não pode ter uma massa maior do que 3 M. Eles então continuaram o estudo dos estágios finais de uma estrela degenerada que pode exceder este limite e ser vencida completamente pela força da gravidade. O Raio de Schwarzschild Quando a coordenada radial da superfície da estrela colapsa para RS = 2GM/C 2, o chamado raio de Schwarzschild, as raízes quadradas na métrica anulam-se. Consideremos a taxa a qual a coordenada espacial de um fóton varia, ou seja, ds = 0. Logo: 34

35 Podemos calcular a coordenada velocidade de um fóton viajando verticalmente. Fazendo dθ = dφ = 0 mostramos que em geral a coordenada velocidade da luz na direção radial é Quando r RS, dr/dt c, como esperado para o espaçotempo plano. Contudo para r = RS, dr/dt = 0. Dizemos que a luz congela no raio de Schwarzschild. A superfície esférica em r = RS atua como uma barreira e nos impede de receber qualquer informação de r < RS. Por isso uma estrela que tenha colapsado para dentro do raio de Schwarzschild é chamada um Buraco Negro. Ele é cercado por um Horizonte de Eventos, a superfície esférica em r = RS. O centro é a singularidade, um ponto de volume zero e densidade infinita, onde a massa do buraco negro está localizada. O espaçotempo é infinitamente curvado na singularidade. O horizonte de ventos esconde a singularidade central, a qual então não pode ser observada. Na verdade, existe uma hipótese chamada Lei de Censura Cósmica que proíbe uma singularidade nua de aparecer descoberta (sem um horizonte de ventos associado). 35

36 1. Uma estrela super-gigante tem uma gravidade relativamente fraca, assim os fótons emitidos viajam em linha reta em todas as direções 2. Quando a estrela colapsa em uma estrela de neutron, a gravidade superficial torna-se mais forte e os fótons seguem trajetórias curvas. 3. Na medida que o colapso progride, aumenta a gravidade superficial e assim os fótons seguem trajetórias mais curvas. 4. Quando a contração da estrela passa de um tamanho limite, torna-se um buraco negro: Fótons seguem uma trajetória curva fechada em si mesma e assim nenhuma luz escapa. Formação de um Buraco Negro (a-c) Estas ilustrações mostram 4 passos ao longo da formação de um buraco negro a partir de uma estrela nos seus estágios finais de evolução. (d) Quando uma estrela torna-se um buraco negro, nem mesmo fótons emitidos a partir da superfície podem escapar; eles experimentam um redshift gravitacional infinito e desaparecem. 36

37 Gases da estrela super-gigante são capturados e alimentam um disco de acresção em torno do Buraco Negro. Na medida que gases espiralam na direção do Buraco Negro, eles aquecem por fricção: mesmo fora do Buraco Negro eles têm uma temperatura alta o suficiente para emitir em raio-x. O membro maior do par é Cygnus X-1, uma estrela super-gigante B0 de cerca de 30 M. O outro membro menor é provavelmente uma estrela de 7M, um buraco negro. 37

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40 Radiação de Hawking O Princípio da Incerteza de Heisenberg leva ao conceito de pares virtuais: em cada posição do espaço, pares de partículas e anti-partículas estão sendo constantemente criados e destruídos. Este processo deixa um par de fótons no espaço e acontece num curto intervalo de tempo de tal forma que a partícula e a anti-partícula não são observados. Imaginemos agora a criação momentânea de um par virtual de um elétron e um positron no limite externo ao horizonte de eventos. Pode acontecer de uma das partículas cair no Buraco Negro e assim sua anti-partícula não pode aniquilar-se e portanto deve tornar-se uma partícula real. Para realizar esta conversão, parte da energia gravitacional do BN deve ser convertida em matéria, de acordo com a equação E = m c 2. Isto diminui a massa do BN de uma quantidade correspondente e a partícula está livre para escapar do BN. Desta maneira partículas podem escapar quantum-mecanicamente do BN, carregando parte da massa do BN com elas. Essa perda de energia é denominada Radiação Hawking. Estima-se que o tempo de evaporação de um BN seguindo este mecanismo é dado por Assim, vemos que o tempo de evaporação mesmo para uma estrela de 10M, é irrelevante comparado com a idade do Universo. 40

41 Exercícios 1- Se a Terra fosse comprimida até tornar-se um Buraco Negro, qual seria seu raio? Dê a resposta em metros. (M = x kg). 2 - Um fóton próximo a superfície da Terra viaja uma distância horizontal de 1 km. De quanto o fóton cai neste intervalo de tempo? 3 - (a) Estime o raio de curvatura de um fóton que viaja horizontalmente na superfície de uma estrela de neutron de massa igual a 1.4 M, e compare o resultado com o raio de 10 km desta estrela; (b) Se passa uma hora na superfície da estrela de neutron, quanto tempo passa a uma distância muito grande em comparação com o raio da estrela? Compare os tempos obtidos com as expressões exata e aproximada (página 33). 4 - Descreva qualitativamente os efeitos nas órbitas dos planetas se o Sol subitamente fosse transformado em um Buraco Negro. 5 - Verifique que a área do horizonte de eventos de um Buraco Negro é 4 π RS 2. (Sugestão: use a métrica de Schwarzschild como ponto de partida). 6 - Um elétron é uma partícula pontual de raio zero, assim é natural imaginar se um elétron poderia ser um Buraco Negro. Contudo um BN de massa M não pode ter um valor arbitrário de momentum angular L e carga Q. Estes valores devem satisfazer a equação Se esta desigualdade fosse violada, a singularidade estaria fora do horizonte de eventos violando da Lei de Censura Cósmica. Use /2 como o momentum angular do elétron para determinar se um elétron é ou não um Buraco Negro. 41