INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 1
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- Maria das Neves Mirandela Campos
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1 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 Victor O. Rivelles Instituto de Física Universidade de São Paulo rivelles@fma.if.usp.br rivelles/ XXI Jornada de Física Teórica 2006 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 1
2 Revisão Relatividade restrita: intervalo s 2 = x 2 + y 2 + z 2 t 2 Geometria de Minkowski: espaço-tempo 4 dimensões INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 2
3 Revisão Relatividade restrita: intervalo s 2 = x 2 + y 2 + z 2 t 2 Geometria de Minkowski: espaço-tempo 4 dimensões Relatividade geral: força de gravitação é substituída pela curvatura do espaço-tempo INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 2
4 Revisão Relatividade restrita: intervalo s 2 = x 2 + y 2 + z 2 t 2 Geometria de Minkowski: espaço-tempo 4 dimensões Relatividade geral: força de gravitação é substituída pela curvatura do espaço-tempo Sistema de coordenadas arbitrário: base natural e i = ( e u, e v, e w ) e base dual e i = ( e u, e v, e w ) Expansão de um vetor v = v i e i = v i e i ; v i componentes contravariantes de v e v i componentes covariantes de v INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 2
5 Revisão Relatividade restrita: intervalo s 2 = x 2 + y 2 + z 2 t 2 Geometria de Minkowski: espaço-tempo 4 dimensões Relatividade geral: força de gravitação é substituída pela curvatura do espaço-tempo Sistema de coordenadas arbitrário: base natural e i = ( e u, e v, e w ) e base dual e i = ( e u, e v, e w ) Expansão de um vetor v = v i e i = v i e i ; v i componentes contravariantes de v e v i componentes covariantes de v Norma ds 2 = d r d r = g ij du i du j onde g ij = e i e j é a métrica no sistema de coordenadas dado. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 2
6 Revisão Relatividade restrita: intervalo s 2 = x 2 + y 2 + z 2 t 2 Geometria de Minkowski: espaço-tempo 4 dimensões Relatividade geral: força de gravitação é substituída pela curvatura do espaço-tempo Sistema de coordenadas arbitrário: base natural e i = ( e u, e v, e w ) e base dual e i = ( e u, e v, e w ) Expansão de um vetor v = v i e i = v i e i ; v i componentes contravariantes de v e v i componentes covariantes de v Norma ds 2 = d r d r = g ij du i du j onde g ij = e i e j é a métrica no sistema de coordenadas dado. Tensor tipo (r, s) contravariante de ordem r e covariante de ordem s: T i 1...i r j 1...j s = u i 1 u k... ul1 1 u j... T k 1...k r 1 l 1...l s INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 2
7 Revisão Relatividade restrita: intervalo s 2 = x 2 + y 2 + z 2 t 2 Geometria de Minkowski: espaço-tempo 4 dimensões Relatividade geral: força de gravitação é substituída pela curvatura do espaço-tempo Sistema de coordenadas arbitrário: base natural e i = ( e u, e v, e w ) e base dual e i = ( e u, e v, e w ) Expansão de um vetor v = v i e i = v i e i ; v i componentes contravariantes de v e v i componentes covariantes de v Norma ds 2 = d r d r = g ij du i du j onde g ij = e i e j é a métrica no sistema de coordenadas dado. Tensor tipo (r, s) contravariante de ordem r e covariante de ordem s: T i 1...i r j 1...j s = u i 1 u k... ul1 1 u j... T k 1...k r 1 l 1...l s Cálculo tensorial no espaço Euclidiano INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 2
8 Cálculo tensorial na relatividade Coordenadas x µ = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) Métrica de Minkowski ds 2 = (dx 0 ) 2 + (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) η µν = C A INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 3
9 Cálculo tensorial na relatividade Coordenadas x µ = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) Métrica de Minkowski ds 2 = (dx 0 ) 2 + (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) η µν = C A Componentes contravariantes e covariante de um vetor A 0 = A 0, A 1 = A 1, A 2 = A 2, A 3 = A 3 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 3
10 Cálculo tensorial na relatividade Coordenadas x µ = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) Métrica de Minkowski ds 2 = (dx 0 ) 2 + (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) η µν = C A Componentes contravariantes e covariante de um vetor A 0 = A 0, A 1 = A 1, A 2 = A 2, A 3 = A 3 Tranformações de coordenadas relevantes: transformações de Lorentz INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 3
11 Gravitação na relatividade restrita Na RR o intervalo s 2 = η µν x µ x ν é definido fisicamente em termos de relógios e réguas Na RR é possível encontrar um referencial inercial no qual todos os relógios tem a mesma taxa de variação do tempo INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 4
12 Gravitação na relatividade restrita Na RR o intervalo s 2 = η µν x µ x ν é definido fisicamente em termos de relógios e réguas Na RR é possível encontrar um referencial inercial no qual todos os relógios tem a mesma taxa de variação do tempo Num campo gravitacional isso deixa de ser verdade INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 4
13 Gravitação na relatividade restrita Na RR o intervalo s 2 = η µν x µ x ν é definido fisicamente em termos de relógios e réguas Na RR é possível encontrar um referencial inercial no qual todos os relógios tem a mesma taxa de variação do tempo Num campo gravitacional isso deixa de ser verdade Partícula de massa m é largada no topo da torre de altura h Atinge o solo com velocidade v = 2gh Energia no solo E = m+ 1 2 mv2 + = m+mgh+... INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 4
14 Gravitação na relatividade restrita Na RR o intervalo s 2 = η µν x µ x ν é definido fisicamente em termos de relógios e réguas Na RR é possível encontrar um referencial inercial no qual todos os relógios tem a mesma taxa de variação do tempo Num campo gravitacional isso deixa de ser verdade Partícula de massa m é largada no topo da torre de altura h Atinge o solo com velocidade v = 2gh Energia no solo E = m+ 1 2 mv2 + = m+mgh+... Quando atinge o solo a partícula transforma-se num fóton que propaga-se para cima Quando chega no topo da torre com energia E transforma-se novamente numa partícula de massa m = E A energia deve ser conservada portanto E = m = m INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 4
15 Gravitação na relatividade restrita Na RR o intervalo s 2 = η µν x µ x ν é definido fisicamente em termos de relógios e réguas Na RR é possível encontrar um referencial inercial no qual todos os relógios tem a mesma taxa de variação do tempo Num campo gravitacional isso deixa de ser verdade Partícula de massa m é largada no topo da torre de altura h Atinge o solo com velocidade v = 2gh Energia no solo E = m+ 1 2 mv2 + = m+mgh+... Quando atinge o solo a partícula transforma-se num fóton que propaga-se para cima Quando chega no topo da torre com energia E transforma-se novamente numa partícula de massa m = E A energia deve ser conservada portanto E = m = m E E = hν hν = m m + mgh +... = 1 gh +... INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 4
16 Gravitação na relatividade restrita Na RR o intervalo s 2 = η µν x µ x ν é definido fisicamente em termos de relógios e réguas Na RR é possível encontrar um referencial inercial no qual todos os relógios tem a mesma taxa de variação do tempo Num campo gravitacional isso deixa de ser verdade Partícula de massa m é largada no topo da torre de altura h Atinge o solo com velocidade v = 2gh Energia no solo E = m+ 1 2 mv2 + = m+mgh+... Quando atinge o solo a partícula transforma-se num fóton que propaga-se para cima Quando chega no topo da torre com energia E transforma-se novamente numa partícula de massa m = E A energia deve ser conservada portanto E = m = m E E = hν hν = m m + mgh +... = 1 gh +... Portanto o fóton no caminho de volta perde energia e terá um redshift pois ν < ν INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 4
17 O princípio da equivalência Esse é o chamado redshift gravitacional e é verificado experimentalmente INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 5
18 O princípio da equivalência Esse é o chamado redshift gravitacional e é verificado experimentalmente Portanto, o referencial ligado a Terra não é um referencial inercial pois os fótons (relógios) no campo gravitacional não medem o tempo com a mesma taxa de variação. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 5
19 O princípio da equivalência Esse é o chamado redshift gravitacional e é verificado experimentalmente Portanto, o referencial ligado a Terra não é um referencial inercial pois os fótons (relógios) no campo gravitacional não medem o tempo com a mesma taxa de variação. Um referencial acelerado simula um campo gravitacional uniforme INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 5
20 O princípio da equivalência Esse é o chamado redshift gravitacional e é verificado experimentalmente Portanto, o referencial ligado a Terra não é um referencial inercial pois os fótons (relógios) no campo gravitacional não medem o tempo com a mesma taxa de variação. Um referencial acelerado simula um campo gravitacional uniforme Princípio da Equivalência: campo gravitacional uniforme é localmente equivalente a um referencial acelerado uniformemente INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 5
21 O princípio da equivalência Esse é o chamado redshift gravitacional e é verificado experimentalmente Portanto, o referencial ligado a Terra não é um referencial inercial pois os fótons (relógios) no campo gravitacional não medem o tempo com a mesma taxa de variação. Um referencial acelerado simula um campo gravitacional uniforme Princípio da Equivalência: campo gravitacional uniforme é localmente equivalente a um referencial acelerado uniformemente A equivalência só é válida localmente INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 5
22 Princípio da equivalência Vamos reanalisar o redshift gravitacional num referencial em queda livre INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 6
23 Princípio da equivalência Vamos reanalisar o redshift gravitacional num referencial em queda livre O referencial está inicialmente em repouso quando o fóton começa a subir O fóton percorre uma distância h no tempo t = h, (c = 1) Nesse tempo o referencial adquire velocidade gh para baixo A frequência do fóton no referencial em queda livre pode ser obtida pela fórmula do efeito Doppler ν ν = 1 v 1 v 2 ν(queda livre) ν (topo) = 1 + gh p 1 g 2 h 2 = 1 + gh +... INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 6
24 Princípio da equivalência Vamos reanalisar o redshift gravitacional num referencial em queda livre O referencial está inicialmente em repouso quando o fóton começa a subir O fóton percorre uma distância h no tempo t = h, (c = 1) Nesse tempo o referencial adquire velocidade gh para baixo A frequência do fóton no referencial em queda livre pode ser obtida pela fórmula do efeito Doppler ν ν = 1 v 1 v 2 ν(queda livre) ν (topo) = 1 + gh p 1 g 2 h 2 = 1 + gh +... Portanto, no referencial em queda livre ν(base) ν (topo) = (1 gh)(1 + gh) = E não há redshift no referencial em queda livre! INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 6
25 Geometria do espaço-tempo Portanto um referencial em queda livre é um referencial inercial Isso é válido localmente. Não existe globalmente um sistema inercial em queda livre se o campo gravitacional não for uniforme INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 7
26 Geometria do espaço-tempo Portanto um referencial em queda livre é um referencial inercial Isso é válido localmente. Não existe globalmente um sistema inercial em queda livre se o campo gravitacional não for uniforme Sistemas inerciais são construídos com base nas trajetórias das partículas livres INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 7
27 Geometria do espaço-tempo Portanto um referencial em queda livre é um referencial inercial Isso é válido localmente. Não existe globalmente um sistema inercial em queda livre se o campo gravitacional não for uniforme Sistemas inerciais são construídos com base nas trajetórias das partículas livres Na relatividade restrita devemos considerar trajetórias no espaço-tempo. Trajetórias paralelas continuam paralelas em qualquer direção. Espaço de Minkowski. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 7
28 Geometria do espaço-tempo Portanto um referencial em queda livre é um referencial inercial Isso é válido localmente. Não existe globalmente um sistema inercial em queda livre se o campo gravitacional não for uniforme Sistemas inerciais são construídos com base nas trajetórias das partículas livres Na relatividade restrita devemos considerar trajetórias no espaço-tempo. Trajetórias paralelas continuam paralelas em qualquer direção. Espaço de Minkowski. Num campo gravitacional não uniforme as trajetórias que são inicialmente paralelas deixam de ser paralelas Isso dá origem à Geometria Riemanniana para espaços curvos. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 7
29 Geometria do espaço-tempo Portanto um referencial em queda livre é um referencial inercial Isso é válido localmente. Não existe globalmente um sistema inercial em queda livre se o campo gravitacional não for uniforme Sistemas inerciais são construídos com base nas trajetórias das partículas livres Na relatividade restrita devemos considerar trajetórias no espaço-tempo. Trajetórias paralelas continuam paralelas em qualquer direção. Espaço de Minkowski. Num campo gravitacional não uniforme as trajetórias que são inicialmente paralelas deixam de ser paralelas Isso dá origem à Geometria Riemanniana para espaços curvos. Espaços curvos são localmente planos Portanto, o espaço-tempo curvo representa o efeito da gravitação na trajetória das partículas INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 7
30 Espaços Riemannianos Podemos estudar um espaço curvo como imerso num espaço externo maior: geometria extrínsica INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 8
31 Espaços Riemannianos Podemos estudar um espaço curvo como imerso num espaço externo maior: geometria extrínsica P. ex. a superfície de uma esfera descrita com 3 coordenadas (x, y, z) Podemos estudar o espaço curvo sem fazer referência à um espaço externo: geometria intrínsica P. ex. a superfície de uma esfera descrita com 2 coordenadas (θ, φ) INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 8
32 Espaços Riemannianos Podemos estudar um espaço curvo como imerso num espaço externo maior: geometria extrínsica P. ex. a superfície de uma esfera descrita com 3 coordenadas (x, y, z) Podemos estudar o espaço curvo sem fazer referência à um espaço externo: geometria intrínsica P. ex. a superfície de uma esfera descrita com 2 coordenadas (θ, φ) Usa-se a geometria intrínsica Usa-se o cálculo tensorial O tensor métrico g µν caracteriza o espaço completamente INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 8
33 Espaços Riemannianos Podemos estudar um espaço curvo como imerso num espaço externo maior: geometria extrínsica P. ex. a superfície de uma esfera descrita com 3 coordenadas (x, y, z) Podemos estudar o espaço curvo sem fazer referência à um espaço externo: geometria intrínsica P. ex. a superfície de uma esfera descrita com 2 coordenadas (θ, φ) Usa-se a geometria intrínsica Usa-se o cálculo tensorial O tensor métrico g µν caracteriza o espaço completamente Objetos geométricos como o tensor de Riemann R µνρ σ medem a curvatura do espaço δv µ = δx ρ δx σ R ρλσ µ V λ INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 8
34 Espaços Riemannianos Podemos estudar um espaço curvo como imerso num espaço externo maior: geometria extrínsica P. ex. a superfície de uma esfera descrita com 3 coordenadas (x, y, z) Podemos estudar o espaço curvo sem fazer referência à um espaço externo: geometria intrínsica P. ex. a superfície de uma esfera descrita com 2 coordenadas (θ, φ) Usa-se a geometria intrínsica Usa-se o cálculo tensorial O tensor métrico g µν caracteriza o espaço completamente Objetos geométricos como o tensor de Riemann R µνρ σ medem a curvatura do espaço δv µ = δx ρ δx σ R ρλσ µ V λ O tensor de Riemann é escrito como derivadas de g µν e sua inversa INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 8
35 Relatividade Geral Espaço-tempo é um espaço Riemanniano com 4 dimensões e com uma métrica INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 9
36 Relatividade Geral Espaço-tempo é um espaço Riemanniano com 4 dimensões e com uma métrica Métrica é utilizada para medir intervalos no espaço-tempo ds 2 = g µν dx µ dx ν INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 9
37 Relatividade Geral Espaço-tempo é um espaço Riemanniano com 4 dimensões e com uma métrica Métrica é utilizada para medir intervalos no espaço-tempo ds 2 = g µν dx µ dx ν Métrica g µν pode ser escolhida, num ponto, por uma transformação de coordenadas apropriada, como a métrica de Minkowski η µν : princípio da equivalência INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 9
38 Relatividade Geral Espaço-tempo é um espaço Riemanniano com 4 dimensões e com uma métrica Métrica é utilizada para medir intervalos no espaço-tempo ds 2 = g µν dx µ dx ν Métrica g µν pode ser escolhida, num ponto, por uma transformação de coordenadas apropriada, como a métrica de Minkowski η µν : princípio da equivalência Partículas movem-se em geodésicas no espaço-tempo INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 9
39 Relatividade Geral Espaço-tempo é um espaço Riemanniano com 4 dimensões e com uma métrica Métrica é utilizada para medir intervalos no espaço-tempo ds 2 = g µν dx µ dx ν Métrica g µν pode ser escolhida, num ponto, por uma transformação de coordenadas apropriada, como a métrica de Minkowski η µν : princípio da equivalência Partículas movem-se em geodésicas no espaço-tempo Princípio da Covariância: Qualquer lei física que pode ser expressa em notação tensorial na relatividade restrita tem exatamente a mesma forma num sistema localmente inercial no espaço-tempo curvo. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 9
40 Relatividade Geral Espaço-tempo é um espaço Riemanniano com 4 dimensões e com uma métrica Métrica é utilizada para medir intervalos no espaço-tempo ds 2 = g µν dx µ dx ν Métrica g µν pode ser escolhida, num ponto, por uma transformação de coordenadas apropriada, como a métrica de Minkowski η µν : princípio da equivalência Partículas movem-se em geodésicas no espaço-tempo Princípio da Covariância: Qualquer lei física que pode ser expressa em notação tensorial na relatividade restrita tem exatamente a mesma forma num sistema localmente inercial no espaço-tempo curvo. Equações de Einstein R µν 1 2 g µνr + Λg µν = 8πT µν onde R µν = R µρν ρ, R = g µν R µν, Λ é a constante cosmológica e T µν é o tensor energia-momento que representa a matéria contida no espaço-tempo. INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 9
41 Relatividade Geral Espaço-tempo é um espaço Riemanniano com 4 dimensões e com uma métrica Métrica é utilizada para medir intervalos no espaço-tempo ds 2 = g µν dx µ dx ν Métrica g µν pode ser escolhida, num ponto, por uma transformação de coordenadas apropriada, como a métrica de Minkowski η µν : princípio da equivalência Partículas movem-se em geodésicas no espaço-tempo Princípio da Covariância: Qualquer lei física que pode ser expressa em notação tensorial na relatividade restrita tem exatamente a mesma forma num sistema localmente inercial no espaço-tempo curvo. Equações de Einstein R µν 1 2 g µνr + Λg µν = 8πT µν onde R µν = R µρν ρ, R = g µν R µν, Λ é a constante cosmológica e T µν é o tensor energia-momento que representa a matéria contida no espaço-tempo. As eqs. de Einstein generalizam a eq. para o potencial gravitacional Newtoniano INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 9
42 Relatividade Geral Espaço-tempo é um espaço Riemanniano com 4 dimensões e com uma métrica Métrica é utilizada para medir intervalos no espaço-tempo ds 2 = g µν dx µ dx ν Métrica g µν pode ser escolhida, num ponto, por uma transformação de coordenadas apropriada, como a métrica de Minkowski η µν : princípio da equivalência Partículas movem-se em geodésicas no espaço-tempo Princípio da Covariância: Qualquer lei física que pode ser expressa em notação tensorial na relatividade restrita tem exatamente a mesma forma num sistema localmente inercial no espaço-tempo curvo. Equações de Einstein R µν 1 2 g µνr + Λg µν = 8πT µν onde R µν = R µρν ρ, R = g µν R µν, Λ é a constante cosmológica e T µν é o tensor energia-momento que representa a matéria contida no espaço-tempo. As eqs. de Einstein generalizam a eq. para o potencial gravitacional Newtoniano Não há sistema de coordenadas preferido pois está escrito em forma tensorial INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 9
43 Relatividade Geral Espaço-tempo é um espaço Riemanniano com 4 dimensões e com uma métrica Métrica é utilizada para medir intervalos no espaço-tempo ds 2 = g µν dx µ dx ν Métrica g µν pode ser escolhida, num ponto, por uma transformação de coordenadas apropriada, como a métrica de Minkowski η µν : princípio da equivalência Partículas movem-se em geodésicas no espaço-tempo Princípio da Covariância: Qualquer lei física que pode ser expressa em notação tensorial na relatividade restrita tem exatamente a mesma forma num sistema localmente inercial no espaço-tempo curvo. Equações de Einstein R µν 1 2 g µνr + Λg µν = 8πT µν onde R µν = R µρν ρ, R = g µν R µν, Λ é a constante cosmológica e T µν é o tensor energia-momento que representa a matéria contida no espaço-tempo. As eqs. de Einstein generalizam a eq. para o potencial gravitacional Newtoniano Não há sistema de coordenadas preferido pois está escrito em forma tensorial São 10 eqs. para 10 incógnitas, a métrica g µν INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 9
44 Resumo INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 10
45 Resumo Plano: comprimento infinitesimal ds 2 = dx 2 + dy 2 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 10
46 Resumo Plano: comprimento infinitesimal ds 2 = dx 2 + dy 2 Esfera: comprimento infinitesimal ds 2 = dθ 2 + sin 2 θdφ 2 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 10
47 Resumo Plano: comprimento infinitesimal ds 2 = dx 2 + dy 2 Esfera: comprimento infinitesimal ds 2 = dθ 2 + sin 2 θdφ 2 Superfície curva geral: ds 2 = 2 i,j=1 g ijdx i dx j g ij é a métrica do espaço curvo INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 10
48 Resumo Plano: comprimento infinitesimal ds 2 = dx 2 + dy 2 Esfera: comprimento infinitesimal ds 2 = dθ 2 + sin 2 θdφ 2 Superfície curva geral: ds 2 = 2 i,j=1 g ijdx i dx j g ij é a métrica do espaço curvo Relatividade restrita: ds 2 = (dx 0 ) 2 +(dx 1 ) 2 +(dx 2 ) 2 +(dx 3 ) 2 INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 10
49 Resumo Plano: comprimento infinitesimal ds 2 = dx 2 + dy 2 Esfera: comprimento infinitesimal ds 2 = dθ 2 + sin 2 θdφ 2 Superfície curva geral: ds 2 = 2 i,j=1 g ijdx i dx j g ij é a métrica do espaço curvo Relatividade restrita: ds 2 = (dx 0 ) 2 + (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 Relatividade geral: ds 2 = 3 µ,ν=0 g µνdx µ dx ν g µν é a métrica do ESPAÇO-TEMPO Eqs. de Einstein: R µν 1 2 g µνr = T µν INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 10
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