Relatividade Especial & Geral

Transcrição

1 Relatividade Especial & Geral

2 Roteiro Relatividade Especial: Conceitos básicos e algumas conseqüências Paradoxo dos gêmeos Relatividade Geral: Conceitos básicos, conseqüências e aplicabilidade.

3 Relatividade Especial Essa teoria modifica as noções newtonianas de espaço e tempo e incorpora o eletromagnetismo como representado pelas equações de Maxwell. Essa teoria é dita especial ou restrita, pois usa o princípio da relatividade somente para o caso restrito ou especial de referências inerciais (não acelerados). A gravidade não é levada em conta!

4 A mecânica newtoniana é consistente com as transformações de Galileu. x* y* = = x y vt y S S * y * v r z* = z x x * t* = t z z * r a = r a * e r F = r F *

5 Por outro lado, as equações de Maxwell do eletromagnetismo não mantêm a forma frente às transformações de Galileu. essas equações não seriam válidas em todos referênciais inerciais. seria possível descobrir se um sistema está se movendo em relação ao sistema onde elas são válidas. Equações E E = B = B = ρ ε c de B = t E t Maxwell + µ 0 J

6 Por outro lado, as equações de Maxwell do eletromagnetismo não mantêm a forma frente às transformações de Galileu. essas equações não seriam válidas em todos referênciais inerciais. seria possível descobrir se um sistema está se movendo em relação ao sistema onde elas são válidas (éter?). Equações E E = B = = B = ρ ε c de B t E t Maxwell + µ 0 J Sendo as equações de Maxwell válidas em qualquer referencial inercial deve se modificar a mecânica newtoniana.

7 A relatividade especial é baseada em dois postulados: Relatividade Constância da velocidade da Luz

8 O primeiro postulado (princípio da relatividade) As leis da física são as mesmas em todos os referências inerciais. Ou seja, toda teoria física deve ter a mesma forma matemática para todos os referências inerciais. Não existe referencial inercial privilegiado. O segundo postulado (invariância de c) A velocidade da luz no vácuo, c, é a mesma para todos os observadores inerciais, e não depende da velocidade do objeto emissor da luz. Os dois postulados combinados equivalem a dizer que a luz não requer qualquer meio (tal como o éter) para se propagar.

9 As transformações de Galileu devem ser modificadas. As transformações válidas na relatividade restrita são as transformações de Lorentz. x* = y* = x vt 1 v y /c y S S * y * v r z* = t* = z t (v/c 1 v /c )x z x z * x *

10 Note que: x* y* z* = = = y z x vt 1 v /c v/c <<1 x* y* z* = = = x y z vt t* = t 1 (v/c v /c )x t* = t

11 ) E c v γ(b B ) E c v γ(b B B B ) vb γ(e E ) vb γ(e E E E y z * z z y * y x * x y z * z z y * y x * x = + = = + = = = /c v 1 1 γ Onde : = As transformações para os campos são:

12 Efeitos relativísticos Contração do espaço Dilatação do tempo Simultaneidade de eventos não é um conceito absoluto m=m(v) E=mc

13 Contração do espaço

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15 Dilatação do tempo

16 Dilatação do tempo h v r h vt

17 Simultaneidade v r

18 Simultaneidade v r

19 Efeitos dinâmicos A massa depende da velocidade m(v) = 1 m v 0 /c Onde m 0 é a chamada de massa de repouso. Note que: v c m Somente para partículas com massa de repouso nula (e.g., fóton) v = c.

20 A energia relativística é dada por uma das mais famosas equações da física: E = mc Esta equação tem um significado profundo: energia e massa são equivalentes. Massa é um forma de energia. Mudança na energia é igual a mudança na massa.

21 Paradoxo dos gêmeos

22 Solução do paradoxo dos gêmeos A gêmea que viaja sofre várias acelerações, coisa que o gêmeo que ficou na Terra não sofre. Isto faz com que não haja simetria neste caso. Relógios acelerados andam mais devagar, isto explica o motivo da gêmea que viajou ficar mais jovem que o seu irmão.

23 Teorema de Minkowski Pitágoras (1908) ds = c dt + dx + dy + dz (Invariante, i.e., independente do sistema de referência.) Podemos ainda escrever que: ds ou ds = i j = η ij dx η i ij dx dx j i dx j onde : η ij 1 0 =

24 Vamos escrever a métrica acima em coordenadas cilíndricas: ( dr + r d dz ) ds = c dt + ϕ + Fazendo agora uma transformação de coordenadas para um sistema que gira em torno do eixo z com velocidade angular ω. x z* z x * y y * ds ω r = * r dϕ 1 c dt + dr + + dz c 1 ω r c

25 + + + = dz c r ω 1 d r dr dt c c r ω 1 ds ϕ π π c r ω 1 > Note que a razão do comprimento da circunferência pelo raio vale: A geometria não é euclidiana!

26 O tempo próprio sendo dado por: ω r dτ = 1 c dt não é um invariante em sistemas não inerciais!

27 Relatividade Especial: Epílogo Uma importante questão ainda parecia sem solução: como levar em conta a gravidade na teoria da relatividade? A solução para esta questão demorou ainda 10 anos para ser dada.

28 Relatividade Geral Einstein considerava que a gravitação newtoniana deveria ser também modificada. Em 1907, enquanto escrevia um artigo de revisão sobre a relatividade especial, Einstein teve uma idéia brilhante. Princípio da equivalência: Um sistema de referência em queda livre se comporta, localmente, tal como um sistema de referência inercial (livre de acelerações e da gravidade).

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30 Conseqüências: massa inercial = massa gravitacional ativa = massa gravitacional passiva

31 Uma consequência do princípio da equivalência: relógios mais próximos da superfície da terra andam mais devagar do que aqueles acima desta.

32 Estas idéias não resultaram, na época, em uma teoria da gravitação, ficando engavetada por 5 anos. Einstein voltou a atacar este problema em 191. Ele conclui que a equivalência entre aceleração e gravidade funcionaria se a geometria do espaço-tempo fosse curva (não euclidiana) Em 1913, publicou um trabalho com Marcel Grossmann argumentando que o que chamamos de força gravitacional é de fato uma expressão do espaço-tempo ser curvo. Note que: tanto o espaço como o tempo devem ser curvos!

33 ... energia, momento etc. curvam o espaço-tempo.

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35 Einstein teve que aprender geometrias não euclidianas. Fez isto com seu amigo Marcel Grossmann. Riemann, que foi estudante de Gauss, foi o grande nome nos estudos relacionados com a geometria diferencial, onde são estudas geometrias não-euclidianas. A geometria Riemanniana é a matemática adequada para a Relatividade Geral.

36 ds = g ij dx i dx j

37 Foram necessários ainda mais alguns anos para a formulação definitiva da teoria, que se deu em novembro de Vale notar que, o grande matemático Hilbert obteve as equações de campo da gravitação, independentemente de Einstein, quase na mesma época.

38 Princípios Básicos da Relatividade Geral: Equivalência Um sistema de referência em queda livre se comporta, localmente, tal como um sistema de referência inercial. Uma outra versão deste principio seria: um referencial linearmente acelerado em relação a um referencial inercial da relatividade especial é localmente idêntico a um referencial em repouso num campo gravitacional. Relatividade Geral As Leis da Física devem ter a mesma forma em todos os sistemas de coordenadas. (Princípio da covariância geral As equações da física devem ter a forma tensorial.) Acoplamento gravitacional mínimo as equações de campo devem ter a forma mais simples possível. Correspondência na ausência de gravidade relatividade especial; campo fraco e baixas velocidades gravitação newtoniana.

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40 Conseqüências: massa inercial = massa gravitacional ativa = massa gravitacional passiva

41 ... mas afinal, qual é a cara desta teoria da gravitação? As equações de Einstein: 1 8 R g R = ij ij 4 πg c T ij

42 1 Rij gijr 1443 Geometria 8πG = 4 c Tij { Energia Momento Onde R ij e R são o tensor e o escalar de Ricci, respectivamente, que são obtidos do tensor de Riemann R ijkl.... estes vários Rs dependem dos g ij, que contêm as propriedades geométricas do espaço tempo. Lembrando ds = g ij dx i que : dx j

43 Algumas previsões de Einstein Desvio da Luz Precessão da órbita de mercúrio Dilatação gravitacional do tempo

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47 Sobral 1919 Sem Sol Newton Einstein

48 Relógios mais próximos da superfície da terra andam mais devagar do que aqueles acima desta.

49 Mercúrio: 43 segundos de arco por século

50 Para que serve a Relatividade Geral? Cosmologia (assistam a palestra de 9/11/005). Formação de galáxias e estrelas (em particular as estrelas de nêutron e buracos negros). Ondas gravitacionais. Espaço-tempo e órbitas ao redor de estrelas com ou sem rotação. Em resumo: em tudo onde a gravidade é importante!

51 Epílogo A Relatividade Geral tem passado com sucesso pelos mais variados testes experimentais. Vale mencionar, no entato, que ela não é certamente a teoria definitiva para a gravitação, pois uma teoria quântica é requerida em algumas circunstâncias. Há, no entato, uma previsão da Relatividade Geral que ainda não foi verificada: a da existência de ondas gravitacionais.

52 Descobertas por Einstein através da teoria da relatividade geral em Concentrações de massa (ou energia) mudando de forma ou posição podem causar distorções no espaço-tempo que se propagam no Universo com a velocidade da luz.

53 Perturbação no campo gravitacional, ( h µν ) Equação de onda: c t h µν = 0 Amplitude da onda: h = L/L Freqüências das ondas: Hz a Hz

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56 F 3 c π 4G h f Fluxo de ondas gravitacionais Onde: h - amplitude da OG e f - freqüência da OG F h f W/m Qual deveria ser o valor de h de modo que F ~ 10 3 W/m? Obs.: um fluxo de ~ 10 3 W/m em ondas eletromagnéticas é, e.g., o que recebemos do Sol em todos os comprimentos de onda!!

57 Para f ~ 1kHz h ~ (sic)!! (uma supernova na nossa galáxia, 10 kpc ) h ~ L L ~ 10 L ~ m para ~ 1 10 L = 1km núcleo atômico

58 OGs realmente existem? Uma boa evidência: PSR (Taylor & Hulse 1974) (Pulsar binário com período de 7,75 horas) Existem pelo menos 5 outros sistemas similares, todos em bom acordo com a RG. OGs devem existir, sendo responsáveis pela perda de momento angular destes sistemas.

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61 Fontes de OGs Ondas Gravitacionais em laboratório? Usando: h ~ G c 4 E não simétrica cinética Para o rotor ao lado r ω = 0 rad/s h ~10-45 M L ω r L = 100 m Para r > λ OG ( km) M = 10 6 kg h < 10 40!!! Rotor

62 Fontes astrofísicas e cosmológicas Impulsivas: Formação de estrelas de nêutrons e buracos negros em supernovas Coalescência de estrelas compactas, etc. Periódicas: Sistemas binários Estrelas de nêutron em rotação, etc. Chirp (gorjeio) Estágios finais da espiralação de sistemas binários compactos Estocásticas Efeito integrado de muitas fontes periódicas na Galáxia População de fontes cosmológicas impulsivas: buracos negros, etc. Processos cosmológicos no Universo primordial

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64 Desde os anos 1960 há vários experimentos na busca das ondas gravitacionais. Até hoje, no entanto, não houve qualquer detecção direta delas. Acredita-se que dentro em breve elas serão detectadas. Quem sabe se nós aqui do INPE não seremos capazes de detectá-las, pois temos um projeto (GRAVITON) em desenvolvimento para esta finalidade.