RELATIVIDADE ESPECIAL

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1 1 RELATIVIDADE ESPECIAL AULA N O 06 (Noções de Cosmologia Métrica Constante de Hubble ) Vamos entrar ligeiramente no campo da Relatividade Geral, para vermos o que é Cosmologia e o que de fato é o espaço-tempo. Abordaremos o espaço-tempo em epansão, que não pode ser descrito pela relatividade restrita, pois requer uma estrutura mais complea, dada pela Relatividade Geral. A Teoria da Relatividade A Teoria da Relatividade estrita pode ser resumida por uma ideia muito simples, dada pela geometria do espaço-tempo, determinada pela distância entre dois eventos vizinhos no espaço-tempo. Este é um fato geral da Geometria de Riemann (Geometria Riemanniana), segundo a qual, se soubermos a distância entre dois pontos vizinhos do espaço, então podemos, em princípio, reconstruir toda a geometria do espaço em questão. Na Relatividade Restrita, esta distância é representada pela epressão: d dt d d dz ; ou d d d ; ou ainda d d d t.sendo que representa uma matriz simples, dada por: dτ μ d μ μ μ Um dos princípios da Relatividade Restrita é que a distância ou tempo próprio,, deve ser um invariante, de modo que todos os observadores, apesar de verem diferentes componentes para, irão ver o mesmo, segundo a transformação de Lorentz, que é de fato, como se pode provar, a única transformação que mantém invariante o tempo próprio ( ). Nestas condições, então, segue o princípio de que todas as leis da física devem ser idênticas em todos em todos os sistemas de referência, segundo a Transformação de Lorentz. Nem todas as distâncias, porém, são epressas da mesma forma. Por eemplo: ds = d d Rotação Simples No plano, a rotação simples não altera a forma da distância. No entanto, se fizermos uma transformação na qual alteramos a escala de um dos eios, tomando, por eemplo, em metros e em centímetros, então a distância entre dois pontos não terá mais a mesma forma, mas terá que receber um fator de conversão para obter uma unidade comum. (m) ds 4 ds cm d 10 d 4 ds m 10 d d (cm) Nós poderíamos também escolher coordenadas não ortogonais:

2 Certamente, neste caso,. Assim, teríamos uma distância acrescentada de fatores, contando também com um termo etra, que contém o produto, de modo que: ds P =. P Nós poderíamos escrever esta equação de outra forma: =. Sendo que, neste caso, = =, de modo que assim poderíamos epressar os coeficientes por uma matriz, chamada de a11 a1 MÉTRICA : a1 a. Esta matriz contém completamente as propriedades métricas deste sistema de coordenadas. Se estamos lidando com um espaço ordinário (plano) e com uma escala uniforme para cada uma das coordenadas diagonais, então os coeficientes da matriz métrica serão simplesmente constantes. É lógico que, se utilizarmos coordenadas com escala variável, por eemplo, coordenadas curvas, os coeficientes da matriz métrica não serão mais constantes, tornando-se funções das coordenadas utilizadas, conforme o ponto em questão: Métrica: ', ' ', ' ', ' ', ' a11 a1 a1 a Independente do tipo de coordenadas, portanto da métrica utilizada, a geometria básica do plano é determinada pela forma da distância entre todos os pares de pontos vizinhos. A mesma coisa é válida para a teoria da relatividade especial, de modo que, se utilizarmos coordenadas que se transformam segundo as equações de Lorentz, então o tempo próprio (distância ou métrica) permanece invariante. Assim, se utilizarmos um sistema de coordenadas arbitrário, a fórmula geral para a distância (métrica) ou tempo próprio será: d g d d Esta é a forma geral da epressão para a distância, de modo que, se conhecermos a métrica g, então conheceremos a geometria do espaço-tempo. Porém a geometria do espaço-tempo não determina necessariamente a respectiva métrica, pois, para cada sistema de coordenadas, teremos uma métrica diferente, ainda que permaneçamos no mesmo espaço. Vamos voltar agora ao espaço ordinário, mas a um espaço ordinário curvo. Vejamos primeiramente o que curvo não significa! Se nós tomarmos uma folha de papel, colocada sobre uma mesa, então todos concordam que temos uma superfície plana. Assim a relação entre os pontos desta superfície, formando figuras e linhas, é determinada pela distância métrica entre os pontos vizinhos. Se nós curvarmos a folha de papel, sem esticar ou contrair seus espaços, ela não representará uma superfície curva! Quando modificamos a forma da folha de papel, sem esticar ou contrair suas dimensões, nós não alteramos a distância entre seus pontos vizinhos (sua métrica), ou seja, não alteramos a distância ao longo do papel. Um inseto que se deslocasse sobre uma linha no papel iria andar a mesma distância, independente de curvarmos ou não a folha, de modo que ele não seria capaz de perceber que curvamos a folha de papel, pois todas a relações geométricas permaneceriam inalteradas. Com isso, queremos demonstrar o que não é curvatura, matematicamente falando. Curvatura é uma forma que não pode ser planificada sem sofrer uma deformação. Uma superfície curva não pode ser esticada ou contraída sem ser esticada ou contraída, ou seja, sem sofrer uma modificação na distância entre seus pontos vizinhos (na sua métrica). Esta é então a distinção entre dobrar (entortar) e curvar uma superfície. Uma esfera é um eemplo muito bom de superfície curva. Nós não podemos planificar a esfera sem estica-la e contraí-la. Esta é a razão pela qual os mapas apresentam distorções da superfície terrestre, sendo esta distorção dependente da projeção utilizada. Nós podemos colocar coordenadas na superfície esférica:

3 Desse modo, podemos epressar a distância entre pontos vizinhos com θ estas coordenadas. No entanto, seja qual for o sistema de coordenadas que empreguemos, nenhum deles poderá ser reduzido a uma matriz de coeficientes constantes. Necessariamente a métrica terá componentes que serão uma função da posição no espaço. r Na verdade, este é o teste que define se uma superfície é ou não curva. Assim, se houver um sistema de coordenadas no qual a métrica tem seus componentes constantes, então a superfície não é curva. Em outras palavras, se encontrarmos para a superfície uma métrica de coeficientes constantes, então a superfície é plana. Vamos ver um eemplo de coordenadas que podemos utilizar no plano. Trata-se das coordenadas polares, dadas pela distância do ponto à origem e pelo ângulo desta distância: 3 r dr θ 1 0 Neste caso teremos: =, ou g. 0 r Este é, então, um eemplo de coordenadas cuja métrica tem componentes dependentes da posição. Neste caso, porém, nós podemos encontrar uma transformação para um sistema de coordenadas cuja métrica tem apenas componentes constantes: rcos 1 0 ds d d g rsen 0 1 Se, no entanto, tomarmos uma esfera (em particular de raio unitário), teremos o seguinte. Ao longo da coordenada, encontramo-nos sobre um círculo máimo de raio unitário. Portanto o intervalo corresponde à distância percorrida na superfície. Por outro lado, com relação à coordenada, vemos que, para um mesmo intervalo, correspondem distâncias diferentes, que diminuem à medida que nos aproimamo-nos dos polos. Na verdade, a distância correspondente a é uma função de, dada por. Temos então que a distância entre pontos vizinhos na superfície da esfera é dada por: =. Isto resulta na seguinte métrica para a superfície esférica: d sen dθ No caso da esfera não ser unitária, teríamos como métrica a epressão: =, ou: r 0 0 r sen Esta métrica não pode ser planificada. Não há nenhum sistema de coordenadas no qual os coeficientes da métrica sejam apenas constantes. O fato de esta superfície ser verdadeiramente curva poderia ser observado por criaturas que vivessem imersas no mundo bidimensional da superfície esférica, mesmo não sendo possível para elas saírem do seu mundo! Por eemplo, elas iriam constatar que a soma dos ângulos internos de um triângulo não seria 180 o, como se pode observar no triângulo abaio, construído sobre a superfície esférica, cuja soma dos ângulos seria maior do que 180 o. Dessa maneira, mesmo sem sair da superfície esférica, elas poderiam saber A que seu mundo é curvo. B C Todos estes conceitos são verdadeiros também para o espaço-tempo, e este foi o novo ingrediente introduzido por Einstein na Teoria da Relatividade Generalizada. Com isso, ele viu que o tempo próprio (a métrica do espaçotempo) poderia ser representada por um tensor métrico que varia ao longo da posição no espaço-tempo. Porém a novidade era que o espaço-tempo pode ser curvado, de modo que, nesta condição, não há nenhum sistema de coordenadas que possa tornar constantes as componentes do tensor métrico. Não vamos aqui nos aprofundar na Relatividade Geral, mas vamos apenas ver alguns eemplos que se aplicam à Cosmologia.

4 4 O tipo de cosmologia que iremos ver aqui é daquele que são dependentes do tempo, ou seja, que não variam de lugar para lugar no espaço de uma maneira geral, considerando o espaço homogêneo. Portanto, como um todo, o universo é homogêneo. Isto não significa, porém, que ele seja plano (não seja curvado). Por eemplo, a superfície da esfera é homogênea, apresentando as mesmas características em toda a superfície, no entanto é uma superfície curva. Portanto o universo é homogêneo ao longo do espaço, de acordo com as observações feitas até agora pela ciência. Outro fato da cosmologia é que o espaço, em grande escala (escala astronômica) é plano, ou seja, não é curvo. Isto significa que, num dado instante de tempo, a soma dos ângulos de um triângulo é de 180 o, mantendo as relações geométricas de um espaço plano (euclidiano). Assim o espaço é homogêneo e plano, porém depende do tempo. Se seguirmos dois pontos no espaço (no caso de duas galáias), veremos que a distância entre elas aumenta com o tempo. Esta característica é descrita pelo tempo próprio no espaço-tempo, utilizando-se as mesmas coordenadas que utilizamos até aqui ( ). Trata-se da mesma estrutura da Relatividade Restrita, eceto pelo fato do tensor métrico ser um pouco mais complicado. Uma vez que o universo é homogêneo e plano, devemos ter em qualquer instante de tempo um sistema de coordenadas cujo tensor métrico tem coeficientes constantes para as componentes espaciais. No entanto a escala de medida contém um fator que depende do tempo, pois, se estamos medindo uma distância com unidades determinadas, por eemplo, pela distância entre duas galáias vizinhas, o número de unidades permanece constante, mas a distância total, uma vez que a distância entre duas galáias vizinhas aumenta com o tempo, também irá aumentar com o tempo. Disto resulta para a métrica: = ( ) ( ). Nesta epressão, temos o fator ( ), que é chamado de fator de escala e que representa os efeitos da epansão do universo na unidade de escala. Vemos então que temos um determinado fator de escala em cada tempo. Vamos considerar duas galáias separadas por um intervalo ao longo da coordenada. Notemos que não é a distância entre as galáias, mas sim o intervalo da coordenada que corresponde a esta distância num determinado instante, sendo que esta relação varia ao longo do tempo. Por eemplo, se a distância entre as duas galáias é de quatro unidades de escala, que devem ser multiplicadas pelo fator de escala ( ).: = 4 = = 5 = = ( ) Assim a velocidade com que elas se afastam uma da outra é dada pela derivada de V D a t Note-se que permanece sempre constante! (velocidade de afastamento) at at Podemos escrever esta epressão de outro modo: at D at at at O termo at at constante de maneira geral: V D D. H ( LeideHublle). at em relação ao tempo. é chamado de Epansão de Hublle ou Constante de Hublle, apesar de não se tratar de uma Assim a velocidade de afastamento entre duas galáias é proporcional à distância entre elas, multiplicada pelo fator de Hublle. Na relatividade, o intervalo de tempo próprio da luz é zero: = =. Sabemos que essa condição é verdadeira também na Relatividade Geral, assim teremos, para a equação do movimemto de um raio de luz, a seguinte epressão dt dt atd, ou d. at Isto significa que, para percorrer o mesmo intervalo da escala, será necessário um intervalo de tempo maior, devido ao fator de epansão de Hublle. Esta é a geometria básica da Cosmologia. Vamos ver agora, em um eemplo, como o fator de Hublle varia com o tempo.

5 Se a velocidade de afastamento das galáias fosse constante, então o tempo retroativo correspondente ao D D 1 instante em que estas galáias estavam sobrepostas seria dado por: t. V H D H Assim, vemos que este intervalo de tempo não depende da distância entre as galáias, mas é uma constante, dada pelo inverso da constante de Hublle. Nós podemos medir aproimadamente como o fator de Hublle varia no tempo, através de medidas astronômicas e estimativas, mas o método empregado é mais sofisticado. Vejamos qual a variação prevista para o fator de Hublle, segundo a física newtoniana básica, relativa à gravitação. Considerando o universo homogêneo, podemos imaginar as galáias espaçadas em certo volume, como as partículas de um gás, mas cujo movimento se dá apenas no sentido de epansão do volume do gás. Apesar de a epansão do universo, como veremos, ser independente da posição no espaço vamos tomar um sistema de referência para analisar o fenômeno. Todas as galáias eercem atração sobre a galáia na coordenada. Se nós tivermos uma distribuição esfericamente simétrica de massas, então a força eercida sobre uma determinada massa é devida somente ao total da massa contida na esfera cujo centro está no sistema de referência e cujo raio é dado pela a distância do centro ou origem do sistema de referência até à posição da massa em questão. Todas as massas situadas fora desta esfera, não contribuem para a força = eercida sobre aquela massa. Além disso, também segundo Newton, a força eercida sobre aquela massa é eatamente a mesma daquela força eercida por uma partícula situada no centro do sistema de referência, cuja massa seja igual àquela contida na esfera referida. Portanto, para estudarmos o movimento da galáia na posição, basta estudarmos um problema fictício, no qual toda a massa contida na esfera de raio está concentrada na origem do sistema. 5