Relatividade. Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos

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1 Relatividade Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos

2 Relatividade» Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos Introdução As duas teorias da relatividade formuladas por Einstein, num intervalo de 0 anos, lidam com aspectos relativos a sistemas de referência quando em movimento relativo um em relação ao outro. Em 905, Einstein publicou os primeiros dos seus célebres trabalhos, que versavam sobre movimentos relativos e uniformes entre dois sistemas de referência. Em 95, publicou outro texto revolucionário no qual estendia a sua teoria para abarcar transformações gerais de coordenadas. Adquiriu, posteriormente, notoriedade e a reputação de ter sido um dos maiores gênios da humanidade. Como consequência dessas teorias, temos hoje uma novavisão dos conceitos de espaço, tempo e matéria. A teoria da relatividade restrita é uma teoriapara o espaço-tempo. A teoria da relatividade geral é uma teoria da gravitação, uma vez que ela leva em conta o efeito da distribuição de massa na curvatura do espaço-tempo. Assim, a gravitação se relaciona com uma propriedade do espaço-tempo denominada curvatura, a qual é relacionada com a métrica. Os trabalhos de Einstein provocaram uma revolução no conhecimento de que se dispunha do mundo físico até então. Procuraremos explicar, ao longo deste curso, as contribuições de Einstein que resultaram num melhor entendimento das propriedades do Espaço e do Tempo. Um curso voltado para analisar as teorias da relatividade deve ser iniciado com conceitos como os de espaço, tempo, massa, sistemas de referência e coordenadas generalizadas. A seguir, faremos uma análise dos desenvolvimentos históricos que levaram a essa teoria. Na teoria especial da relatividade, busca-se formular as leis físicas de modo que elas sejam escritas da mesma forma em dois sistemas em movimento de translação, que se movem um em relação ao outro com velocidade constante. Trata-se da equivalência de dois referenciais nas circunstâncias apontadas antes. Essa questão, da equivalência entre escolha de sistemas de coordenadas na descrição dos fenômenos, era um problema mal resolvido até Einstein apresentar a sua solução revolucionária. Considere o caso de dois sistemas que se movem um em relação ao outro com velocidade v (veja Figura ). Tais sistemas são ditos inerciais se um deles o for. A teoria especial da relatividade dedica-se a esses sistemas. A ideia por trás da teoria da relatividade é a da equivalência entre referenciais. Ou seja, não temos como nos assegurar em relação a quem está em movimento e quem está em repouso. Não existe movimento absoluto. Figura : Einstein elaborou duas teorias da relatividade: a restrita ou especial e a Teoria Geral da Relatividade. Figura : Dois sistemas em movimento relativo. São eles equivalentes? E em que sentido o são? A relatividade de Galileu e de Einstein.

3 Relatividade» Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos O Princípio da Relatividade de Galileu Galileu foi o primeiro a perceber a equivalência entre dois sistemas inerciais em movimento relativo, desde que uniforme. Sua percepção pode ser traduzida na ideia de que não há como distinguir se algo está em movimento ou em repouso. Não temos como efetuar medidas de modo a identificar se estamos em movimento uniforme ou em repouso. Não existe, portanto, movimento absoluto. Pode-se dizer apenas que um objeto está em movimento em relação a outro. Essas ideias formaram, posteriormente, a base para a formulação do princípio da Relatividade de Galileu. As transformações que relacionam, na física clássica, as coordenadas de um sistema com as coordenadas do outro sistema são as transformações de Galileu. Admitindo-se que o movimento se dê ao longo do eixo x, essas transformações são: x' = x vt, y = y, z = z, t = t, À propriedade de igualdade dos tempos medidos num sistema e no outro damos o nome de tempo absoluto, pois ele seria um invariante. O tempo absoluto foi uma proposta de Newton. Na física clássica prevalecia, até o início do século XX, a Teoria da Relatividade de Galileu. Ou seja, as leis físicas têm a mesma forma em todos os sistemas inerciais, considerando-se como válidas, no entanto, as transformações de Galileu. Os sistemas de referência são equivalentes no sentido acima. Na teoria da relatividade especial, as transformações são diferentes das de Galileu. Essas transformações podem ser derivadas a partir da teoria da relatividade de Einstein e foram obtidas primeiramente por Lorentz. Nessas transformações, o tempo perde o caráter absoluto, pois o tempo se transforma de maneira muito semelhante às coordenadas. Na física moderna, prevalece a teoria da relatividade de Einstein. Ou seja, as leis físicas têm a mesma forma em todos os sistemas inerciais, considerando-se como válidas, no entanto, as transformações de Lorentz. Um dos principais ingredientes na formulação das leis físicas é a ideia da sua covariância. Na sua famosa Teoria da Relatividade, Einstein estipulou que as leis físicas devem ser covariantes. Esse é o segundo postulado da teoria da relatividade de Einstein. O primeiro postulado é o da constância da velocidade da luz. ( ) Figura 3: Galileu previa a equivalência de sistemas em movimento. Newton declarou o tempo absoluto. Essa é a base da teoria da relatividade de Galileu.

4 Relatividade» Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos 3 Incompatibilidade entre a Mecânica e o Eletromagnetismo As leis da Mecânica são invariantes por transformações de Galileu. No entanto, as leis de Maxwell não o são. Lembramos que os fenômenos eletromagnéticos decorrentes da existência de cargas em repouso ou em movimento (descritos pelas distribuições (ρ e J )) eram bem descritos, até a época de Maxwell, em termos dos campos elétricos ( D e E) e dos campos magnéticos ( H e B), por meio de quatro leis que podem ser escritas formalmente como: D = ρ = B E t B = 0 H = J A primeira lei é equivalente à Lei de Coulomb. A segunda é uma forma de expressar a lei da indução de Faraday. A terceira implica que monopolos magnéticos não existem. A última é uma versão da lei de Ampère. Esta última, quando escrita na forma (000), leva a um problema como a conservação da carga elétrica, pois, se tomarmos o divergente dessa equação, concluiremos que: ( ) J = 0 ( 3 ) A conservação da carga elétrica, por outro lado, requer que a seguinte relação seja válida: = ρ J t ( 4 )

5 Relatividade» Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos 4 Para respeitar tal relação, Maxwell acrescentou o termo D (a corrente de deslocamento) ao t último termo de (000). As equações de Maxwell se escrevem como: D = ρ = B E t B = 0 = D H J t Estas equações não são invariantes por transformações de Galileu. Por exemplo, por uma transformação de Galileu, temos: ( 5 ) Figura 4: James Clerk Maxwell J J ρvi ( 6 ) Donde a nova equação da continuidade se escreve: i + ρ i = + ρ ρ J 0 J = t t x v 0 As transformações de Lorentz ( 7 ) Lorentz inferiu uma transformação diferente das transformações de Galileu. Utilizou para isso as expressões para os potenciais de Lienard-Wichert para os potenciais associados a uma carga em movimento uniforme com velocidade u. Para um ponto, cujo vetor de posição é r, os potenciais elétrico e vetor no instante de tempo t são dados pelas expressões: q q µ qu ϕ( rt, ) = Ar ( πε R u n 0 µ e, t) = 4 0 4πε0R χ R u n 0 4π 4π c c qu R χ ( 8 )

6 Relatividade» Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos 5 onde, de acordo com a figura (000), temos: R r r ( t ) r r ( t ) n r r ( t ) ( 9 ) onde os potenciais acima devem ser calculados para tempos retardados. Ou seja, eles devem ser calculados levando em conta que os campos, no instante de tempo t, foi produzido no instante de tʹ, dito retardado. Temos assim: É interessante analisar o efeito do retardo quando cargas se movimentam de acordo com o movimento uniforme. Consideremos o caso do movimento uniforme de uma partícula de carga q. Seja x a direção na qual ela se propaga. Nesse caso, escrevemos t = t c r r ( t ) ( 0 ) R r r ( t ) = x ut y z ( ) + + ( ) A condição de retardo implica ( ) = ( ) + + c t t x ut y z ( ) Dessa última equação decorre que a solução para o tempo retardado é uma das raízes da equação do segundo grau acima. Verificamos que o tempo retardado é dado por: t = u c ux t c c ( ) + x ut u c y + z ( ) ( 3 ) Lembrando a definição de retardo, vemos que o termo relevante no numerador é dado por: χr R u c x ut c t t u c x ut c t ux u = ( )= ( ) ( )= c c t ( 4 )

7 Relatividade» Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos 6 Utilizando a expressão (000), para tʹ obtemos: = χr onde ( ) γ u ( γ ( u) ( x ut) + y + z ) / ( 5 ) γ( u)= u c Consequentemente, o potencial escalar é dado pela expressão: ( ) ( ( )( ) + + ) q γ u ϕ( rt, ) = / 4πε0 γ u x ut y z enquanto, para o potencial vetor, encontramos u Art (, ) = ( rt,) c ϕ A partir dessas expressões, Lorentz concluiu que o eletromagnetismo só é consistente se tomarmos as transformações ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) Figura 5 x' x = γ(u)(x ut) ( 9 ) A transformação acima foi proposta por Lorentz, antes da formulação da teoria da relatividade. Esses resultados são muito surpreendentes, pois percebemos que eles correspondem aos potenciais transformados, utilizando a teoria da relatividade de Einstein. As transformações de Lorentz são: x = ( x ut) v c ( 0 ) u t = t u c x c y = y z = z Figura 6: H.A. Lorentz. Um precursor de algumas ideias que ajudaram a estabelecer a teoria da relatividade de Einstein.

8 Relatividade» Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos 7 A Necessidade do Éter Por um tempo pensou-se que as equações de Maxwell como propostas por ele seriam válidas apenas no sistema de referência preso a um meio material denominado Éter, e isso porque a propagação de ondas até então conhecidas só ocorre em um meio mecânico. Ou seja, a luz deveria, como as demais ondas, ter um meio para se propagar. A discussão em torno do éter, que seria o quinto elemento, remonta ao tempo dos filósofos gregos. Aristóteles, por exemplo, propunha a existência de algo entre os astros. Do ponto de vista da sua dinâmica, na qual a Terra estaria no centro do Universo e todas as coisas procurariam o seu lugar natural, a existência de algo entre eles seria uma questão de lógica. Se, como ele argumentava, todas as coisas caíam em direção ao centro do Universo, localizado no centro da Terra, de acordo com ele, por que os astros não fariam o mesmo? A explicação seria um quinto elemento, por ele denominado éter. Ou a quintessência, de acordo com Platão. Essa quinta substância preencheria o espaço entre os corpos celestes, não permitindo que eles caíssem, constituindo-se assim num elemento central da dinâmica. A experiência de Michelson-Morley A Terra tem uma velocidade de propagação, no seu movimento de translação ao redor do Sol, de aproximadamente km/hora. Como nos deslocaríamos percorrendo uma região que contenha o tal meio, coloca-se a questão sobre qual seria a nossa velocidade em relação ao Éter? Figura 7

9 Relatividade» Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos 8 A experiência de Michelson-Morley Se o Éter existisse, estaríamos movimentando-nos em relação a ele a uma velocidade aproximada de v = m/s, que é a velocidade de translação da Terra em torno do Sol. Figura 8 Ao longo do caminho A, a velocidade efetiva é dada por: c = V' + v ( ) onde c é a velocidade da luz no vácuo. Portanto, a velocidade efetiva é dada por: ' V = c v = c v c ( ) E, portanto, o tempo despendido nesse percurso é: L t = L c A V = / v c quando no sentido do movimento do éter, imaginário, o tempo deve ser computado em duas etapas. O tempo despendido até a luz chegar ao espelho é: ( 3 ) L t = c + v ( 4 )

10 Relatividade» Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos 9 Na volta, quando a luz se movimentasse no sentido oposto ao do Éter, o tempo despendido seria maior. Isto é, Assim, o tempo total despendido no caminho B é dado pela soma: A diferença entre os intervalos de tempo é dada por: t L = c v t = t + t = L L L B c+ v + c v = c v c Observe que a relação entre os temos é dada por: t t A B L = v L c ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) Figura 9: Caminhos A e B percorridos pela luz. L c t = tb ta = v c L c Se efetuarmos uma rotação de 90, trocamos L por L nas expressões acima. Assim, combinando os dois resultados, obtemos: v c ( 8 ) L L t = + c c v c v c ( 9 ) Figura 0

11 Relatividade» Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos 0 A diferença de caminho ótico é dada por: L= c t = ( L + L ) v c v c Tendo em vista que a relação entre as velocidades é diminuta, ou seja, ( 30 ) a diferença de caminhos óticos pode ser muito bem aproximada pela expressão: v c =0 8 ( 3 ) L = c t = (L + L )v /c ( 3 ) A condição para que haja interferência construtiva é: L = nλ ( 33 ) Donde observamos que o deslocamento, em termos do número de franjas, seria dado por: Para v /c dado pela expressão (000), considerando a luz (amarela) de comprimento de onda λ = m e L L = m, Michelson e Morley esperavam obter, no famoso experimento de 887, um deslocamento de 0,4 franjas, resultado esse que não obtiveram. A despeito de estarem tentando demonstrar a existência do Éter, esse resultado negativo demonstrou, ao fim e ao cabo, que não existe o Éter. ( ) L L + L v δn = = λ λ c ( 34 ) Figura : Michelson e Morley

12 Relatividade» Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos Teoria Geral da Relatividade A teoria especial da relatividade preocupa-se com sistemas tais que as transformações entre as coordenadas do espaço-tempo são as mais gerais possíveis; em particular, casos em que o movimento dos referenciais difere dos movimentos uniformes. Na Teoria da Relatividade Geral, entendida como uma teoria da gravitação, Einstein chamou a atenção para outra propriedade relevante do espaço físico: a curvatura do espaço. Ao efeito da curvatura damos o nome de enrugamento do espaço. Retomemos a questão da escolha das coordenadas. Vale lembrar primeiramente que, do ponto de vista formal, determinar a posição de uma partícula equivale a especificar suascoordenadas. A especificação das coordenadas é feita através de algum tipo de algoritmo ou regra que permita associar a um conjunto de variáveis um ponto do espaço. Essa especificação implica associar a cada ponto apenas um conjunto de tais variáveis. Seja (Q, Q, Q 3 ) esse conjunto de variáveis. Tais variáveis são as mais gerais possíveis; por isso, serão designadas por coordenadas generalizadas. O número de coordenadas possíveis de serem utilizadas é, em geral, muito grande. Para um espaço plano, valem todos os postulados de Euclides associados à geometria do espaço. Em particular, queremos ressaltar as duas propriedades seguintes:. A menor distância entre dois pontos é uma reta.. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 80 graus. Iniciaremos a diferença entre espaços planos e curvos analisando a questão da distância entre dois pontos. Isso é essencial do ponto de vista do entendimento da diferença entre espaços curvos e planos. Quando fazemos uso de um particular conjunto de coordenadas, a distância entre dois pontos, infinitesimalmente próximos um do outro, é dada por uma expressão bastante geral e da forma: Figura : Dois sistemas em movimento relativo. São eles equivalentes? E em que sentido o são? A relatividade de Galileu e de Einstein. Definimos g ij como a métrica do espaço. A métrica é a grandeza fundamental da Teoria geral da TGR. O que se pretende, nessa teoria,é determiná-la quando numa região do espaço temos uma distribuição de massas. Portanto, tanto no caso de espaços curvos quanto nos espaços planos, a métrica é assim uma propriedade do espaço associada à distância entre dois pontos infinitesimalmente próximos um do outro. ds = 3 i, j= gdqdq ij i j ( 35 )

13 Relatividade» Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos A diferença entre esses dois tipos de espaços é o fato de que, no caso dos espaços planos, pode-se sempre fazer uma transformação de coordenadas: Q = Q( xyz,, ) x= x( Q, Q, Q3 ) ( 36 ) Q = Q( xyz,, ) y = y( Q, Q, Q3 ) Q3 = Q3( xyz,, ) z = z( Q, Q, Q3 ) de tal forma que a métrica escrita em termos das coordenadas x, y e z seja dada por: ds = dx + dy + dz ( 37 ) As variáveis com a propriedade acima são denominadas coordenadas cartesianas (x, y, z). Se não for possível encontrar um conjunto de coordenadas com a propriedade acima, dizemos que o espaço é curvo. São duas as principais consequências quando lidamos com espaços curvos. A primeira é a de que, conquanto num espaço plano a menor distância entre dois pontos seja aquela determinada por um segmento de reta que passa por esses pontos, num espaço curvo isso não é verdade. As curvas que interligam os pontos e de comprimentos mais curtos são conhecidas como geodésicas. A segunda consequência é a de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é maior, ou menor, do que 80 graus. Essa é, por sinal, uma forma de verificarmos, experimentalmente, se um espaço é curvo ou plano. Um bom exemplo de espaço curvo é a superfície de uma esfera. Como sabemos, a distância entre dois pontos localizados sobre uma esfera é dada pela expressão: ds = R 0 (dθ + sen θdϕ ) ( 38 ) Nesse caso, jamais encontraremos um conjunto de coordenadas, x e y, definidas a partir de θ e ϕ: x = x (θ, ϕ) y = y (θ, ϕ) ( 39 ) tais que, em termos dessas novas coordenadas,essa distância infinitesimal possa ser escrita como: ds = dx + dy ( 40 ) Figura 3: A soma dos ângulos internos de um triângulo numa superficie esférica é maior do que 80.

14 Relatividade» Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos 3 Donde inferimos que o espaço associado à superfície de uma esfera é curvo. O espaço de uma esfera tem uma curvatura positiva. Figura 4: O espaço, assim como as superfícies acima, pode exibir uma curvatura positiva, negativa ou nula. O último tipo é denominado "espaço euclidiano". A métrica é a grandeza fundamental da Teoria Geral da TGR. O que se pretende, nessa teoria, é determiná-la quando numa região do espaço temos uma distribuição de massas. Figura 5: A matéria provoca o encurvamento do espaço.

15 Relatividade» Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos 4 Como usar este ebook Orientações gerais Caro aluno, este ebook contém recursos interativos. Para prevenir problemas na utilização desses recursos, por favor acesse o arquivo utilizando o Adobe Reader (gratuito) versão 9.0 ou mais recente. Botões Indica pop-ups com mais informações. Sinaliza um recurso midiático (animação, áudio etc.) que pode estar incluído no ebook ou disponível online. Ajuda (retorna a esta página). Créditos de produção deste ebook. Indica que você acessará um outro trecho do material. Quando terminar a leitura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de origem. Bons estudos!

16 Relatividade» Teorias da Relatividade: Antecedentes Históricos 5 Créditos Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP). Autoria: Gil da Costa Marques. Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro. Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru. Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira. Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S. Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.