Eletromagnetismo. Eletrostática: O campo elétrico

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1 Eletromagnetismo Eletrostática: O campo elétrico

2 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico Introdução A eletrostática é a área do eletromagnetismo na qual se estuda o comportamento e as consequências de uma distribuição estática de cargas (situação em que as cargas elétricas estão em repouso e, consequentemente, em equilíbrio. Esse é o sentido da palavra estática agregada à palavra eletro. Nessas circunstâncias, as cargas elétricas dão origem a dois campos, isto é, os fenômenos eletrostáticos podem ser descritos fazendo uso de dois campos: o potencial elétrico (representado por V, estudado em outro capítulo, e o campo elétrico, um campo vetorial representado por E. O campo elétrico é um campo que, a rigor, pode ser derivado do potencial elétrico, ou seja, escrevemos: E xyz (,, V( xyz,, ( Uma vez que o campo elétrico pode ser derivado do potencial, eles acabam não sendo campos independentes um do outro. Na realidade, o campo elétrico existente numa região do espaço não depende da presença de outras cargas além daquelas que lhe deram origem. No entanto, se uma partícula dotada de carga q estiver naquela região, ela experimentará, além do aumento da sua energia sob a forma de energia potencial, a ação de uma força. Tal força é dada por: F r ( qe ( r ( onde q é a carga da partícula que está na posição caracterizada pelo vetor de posição r. Concluímos assim que o campo elétrico se relaciona com a força elétrica de uma forma análoga à relação entre o potencial elétrico e a energia potencial elétrica, ou seja, o campo elétrico (E é definido a partir da força elétrica experimentada por uma partícula quando numa região em que existem outras partículas dotadas de cargas elétricas. Estas geram um campo elétrico, que induz uma força sobre uma partícula localizada em algum ponto do espaço - o ponto P(x, y, z.

3 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico Assim, utilizando a expressão (, podemos escrever, como regra geral, que as componentes do campo elétrico são dadas por: Visto que cada carga numa distribuição produz um campo elétrico, ao qual está associado um potencial eletrostático, o problema da eletrostática se reduz ao problema de se determinar o campo eletrostático ou o potencial, uma vez conhecida a distribuição de cargas. Para resolver esse problema, fazemos uso do princípio da superposição, ou seja, os campos e potenciais de um conjunto de cargas é igual à soma (ou integral dos campos produzidos por pequenos pedaços (ou pelas cargas individuais. Algumas vezes, o problema da eletrostática consiste em se determinar a distribuição de cargas, uma vez conhecido o potencial ou o campo elétrico numa certa região do espaço (uma superfície, por exemplo. Esses casos serão abordados através de exemplos. Unidades A unidade de campo elétrico no sistema Internacional de medidas (ou o MKSA é o Volt/metro. Linhas de Força E E E x y z ( xyz,, ( xyz,, ( xyz,, (,, V xyz x V xyz y (,, (,, V xyz x Uma linha de força é uma linha que, quando traçamos a tangente a essa linha por um determinado ponto, obtemos a direção do campo elétrico nesse ponto do espaço. O sentido do campo elétrico é o sentido indicado pelas linhas de força. De acordo com (, como o campo elétrico é dado pela aplicação do operador gradiente ao potencial elétrico, que é uma função escalar do ponto considerado. Como o gradiente de uma função dá a direção da normal (linha perpendicular à superfície de valores constantes dessas funções, nesse caso superfícies equipotenciais, as linhas de força são sempre perpendiculares às equipotenciais. (

4 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico Convencionou-se representar a intensidade do campo através do adensamento das linhas de força. Quanto maior a densidade das linhas de força, maior é a intensidade do campo naquela região. a b Exemplo de linhas de força (no plano. Campo Elétrico resultante da existência de uma carga elétrica Se uma carga elétrica Q estiver num ponto do espaço caracterizado pelo vetor posição r, essa carga produzirá um campo elétrico E (x, y, z num ponto cujo vetor posição é r. Esse campo é dado pela expressão (. Assim, substituindo a expressão do potencial produzido por uma carga puntiforme ( em (, encontramos: Q / Q x x πε x πε (,, ( ( ( Ex xyz x x + y y + z z 4 4 Ey ( xyz,, ( x x + ( y y + ( z z 4 4 (( x x + ( y y + ( z z Q / Q y y πε y πε Ez ( xyz,, ( x x + ( y y + ( z z 4 4 (( x x + ( y y + ( z z Q / Q z z πε z πε / / (( x x + ( y y + ( z z / ( 4 Utilizando a notação vetorial, é possível escrever o campo elétrico acima de uma forma bem simples: E r Q Q r r 4πε r r 4πε r r ( ( 5

5 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico 4 As linhas de força do campo elétrico que surge, devido à existência de uma partícula no ponto P', são retas radiais partindo desse ponto. Ademais, elas têm o sentido da carga elétrica se a carga for negativa (Q <. No entanto, o sentido das linhas de força será o oposto se a carga for positiva: (Q >. Veja Figura ao lado. Grosso modo, podemos dizer que as linhas de força saem do ponto P' (divergentes desse ponto se Q >. Analogamente, dizemos que as linhas de força convergem para o ponto P' se a carga for negativa, Q <. Linhas de força do campo elétrico em torno de carga numa visão bidimensional. Elas saem de cargas positivas (Q > e chegam até as cargas negativas (Q <. Elas são ortogonais às linhas equipotenciais. Quando uma partícula de carga q se encontrar num ponto P, de coordenadas (x, y, z, e se outra partícula de carga Q se encontrar num ponto P', ela adquirirá uma energia potencial U (x, y, z que depende desse ponto. Essa energia é resultante da interação com a partícula de carga Q, localizada em P'. A energia potencial, resultante da interação entre ambas, é dada por: (,. qv( x, yz. U x yz qq 4 πε ( x x + ( y y + ( z z ( 6 Analisemos agora a força que age sobre a partícula de carga q. De ( segue-se que qq r r F ( r qe ( r 4 πε r r ( 7 E esta expressão é a lei de Coulomb.

6 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico 5 A Lei de Coulomb rege a interação entre duas partículas (ou cargas pontuais; a força decorrente da interação tem direção do segmento de reta que une as duas partículas. O sentido da força depende do sinal das cargas elétricas em interação, ou seja, ela pode ser de atração ou de repulsão. O módulo dessa força é diretamente proporcional às cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. a b Forças entre as partículas carregadas de mesmo sinal e de sinais opostos. (a Atração: cargas de sinais contrários. (b Repulsão: Cargas de sinais iguais. A Lei de Coulomb para duas Partículas No caso de duas partículas de cargas Q e Q que estão em posições caracterizadas pelos vetores de posição r e r, respectivamente, a energia potencial eletrostática, de interação entre elas, é dada por: QQ QQ U 4πε r r 4πε x x + y y + z z ( ( ( (( + ( + ( QQ x x y y z z 4 πε Essa energia potencial elétrica é compartilhada pelas duas partículas. A energia será positiva se as cargas elétricas tiverem o mesmo sinal (nesse caso, as forças são repulsivas, ou quando as cargas tiverem sinal oposto (e, portanto, as forças serão atrativas a energia será negativa. A seguir, determinaremos a força sobre cada uma das partículas. / ( 8 Duas partículas de carga Q e Q localizadas num ponto P e P.

7 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico 6 As componentes da força sobre a partícula ( F, resultante do campo elétrico produzido pela partícula, são dadas por: F ( x F ( y F ( z QQ πε + + QQ x x x 4 ( x x ( y y ( z z 4 πε + + (( x x ( y y ( z z QQ πε + + QQ y y y 4 ( x x ( y y ( z z 4 πε + + (( x x ( y y ( z z Q Q z 4πε ( ( ( x x + y y + z z QQ z z 4 πε + + (( x x ( y y ( z z / / / ( 9 E, portanto, numa notação simplificada, a força F se escreve como: QQ r r F 4 πε r r ( que nada mais é do que a lei de Coulomb expressa em notação vetorial.

8 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico 7 As componentes da força sobre a partícula ( F, resultante do campo elétrico produzido pela partícula, são dadas por: F F F ( x ( y ( z QQ πε + + QQ x 4 x x y y z z ( ( ( ( x x / (( x x ( y y ( z z 4 πε + + QQ πε + + QQ y 4 x x y y z z ( ( ( ( y y / (( x x ( y y ( z z 4 πε + + QQ z 4πε x x + y y + z z QQ ( z z / 4 πε x x + y y + z z ( ( ( (( ( ( ( E ela pode ser escrita, simplificadamente, como: QQ r r F 4 πε r r ( É interessante constatar que as duas expressões e implicam que: F F ( que é a terceira lei de Newton.

9 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico 8 Campo Elétrico produzido por uma distribuição discreta de cargas O princípio da superposição assegura que o campo eletrostático, quer seja de uma distribuição discreta ou contínua de cargas, é dado pela soma dos campos elétricos produzidos pelas partes. Assim, o campo eletrostático num ponto cujo vetor posição é r que resulta da existência de N cargas, cujos valores são Q, Q, Q,...Q N localizadas em r, r, r, rn, é dado pela soma dos campos elétricos produzidos pelas cargas elétricas individuais, ou seja: N Qi r ri E( r ( 4 i 4πε r r As componentes do campo elétrico, em coordenadas cartesianas, se escrevem, a partir de (, como: i E E E x x z ( r ( r ( r Q x x N i i i 4πε (( x xi + ( y yi + ( z zi Q y y N i i i 4πε (( x xi + ( y yi + ( z zi Q z z N i i i 4πε (( x xi + ( y yi + ( z zi ( 5 N cargas produzem um campo elétrico no ponto P A lei de coulomb, que nesse caso estabelece a força das partículas dotadas de cargas sobre uma carga Q localizada no ponto P, se escreve como: N N Qi r ri QQi r ri F QE ( r Q ( 6 i 4πε r r i 4πε r r i i Uma carga Q num ponto r experimenta a ação de forças devidas à existência de cargas Q, Q..., Q N localizadas nos pontos especificados pelos vetores de posição r, r, r, r. N

10 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico 9 Campo elétrico produzido por duas cargas de sinais opostos O campo elétrico E (x, y, z resultante da existência de duas cargas elétricas, de acordo com a figura ( e a notação ali utilizada, pode ser obtido por meio do uso das expressões acima aplicadas a esse caso simples. Obtemos: E xyz (,, Q ( z d k + xi + yj z + d k + xi + yj 4πε ( ( z d + ( y + x z+ d + y + x ( (( ( ( 7 As superfícies equipotenciais e as linhas de força para o sistema composto por duas cargas de sinal oposto são representadas na figura (. Duas cargas +Q e Q separadas por uma distância d. Linhas de força e superfícies equipotenciais em e dimensões.

11 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico Observe que, de acordo com o princípio da superposição, o campo elétrico é a soma vetorial de dois campos. As linhas de força determinam a direção e o sentido do campo. O seu módulo é inferido, de forma não muito precisa, pelo adensamento das linhas de força. Veja figura (. Esquema vetorial do campo elétrico resultante no ponto P(x, y, z. O vetor campo elétrico no ponto P é tangencial à linha de força do campo elétrico que passa pelo ponto. Campo Elétrico de uma distribuição contínua de cargas Como podemos constatar facilmente, a expressão para o campo eletrostático num ponto que resulta de uma distribuição estática e volumétrica de cargas uma distribuição volumétrica de cargas: Com respeito ao campo elétrico, basta aplicar a definição ( às expressões (-(. Por exemplo, o campo elétrico de uma distribuição volumétrica pode ser escrito como a integral sobre o volume da distribuição: r r E ( x, y, z ρ ( r dv ( 8 4πε r r V No caso de uma distribuição contínua, as expressões análogas a ( são: Objeto com distribuição contínua de cargas é discretizado em pequenos volumes de modo Σ δ V V (volume do objeto. que todos i

12 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico Para o caso de uma distribuição volumétrica de cargas, teremos as seguintes componentes: x x E x y z r dx dy dz (,, ρ( 4πε ( x x + ( y y + ( z z x ( y y E x y z r dx dy dz y (,, ρ( 4πε ( x x + ( y y + ( z z ( z z E x y z r dx dy dz (,, ρ( 4πε ( x x + ( y y + ( z z z ( ( 9 Em componentes, e usando coordenadas cartesianas, o campo elétrico será dado por: Ao passo que, para uma distribuição superficial, o campo será dado por: r r E ( r σ( r ds 4πε r r Enquanto, para uma distribuição linear, vale a expressão: r r E ( r λ( r dl 4πε r r ( ( exercícios resolvidos Diferenças de potencial e a integral de caminho do campo elétrico Podemos introduzir o conceito de energia potencial através da força elétrica que age sobre uma partícula. Mais precisamente, sabemos que as diferenças de potenciais estão relacionadas ao trabalho realizado por uma força quando a deslocamos de um ponto até outro.

13 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico O trabalho realizado pela força elétrica, ao deslocarmos uma partícula de carga elétrica Q de um ponto de referência r (ponto P até um ponto cujo vetor de posição é r (ponto P,é dado pela integral de linha: P P τ F r dl Q E r dl ( ( E P P ( Lembremo-nos ainda de que, se uma partícula de carga Q estiver numa região do espaço na qual ela esteja sujeita a um potencial V(r, então, o trabalho realizado pela mesma força elétrica, ao deslocarmos essa partícula de um ponto de referência r até um ponto r, é dado por: τ Q V r ( ( V( r ( Consequentemente, podemos escrever: a diferença de potencial é associada ao trabalho realizado pela força elétrica por unidade de carga: τ P V ( r V ( r FE ( r dl Q Q P ( 4 ou, de uma forma inteiramente equivalente, como a integral de linha do campo elétrico, calculada entre os dois pontos a que nos referimos anteriormente: P P P V r V r E r dl V dl dv ( ( ( P P P ( 5 Como o potencial é sempre definido a menos de uma constante, temos a liberdade de definir (de uma forma um tanto arbitrária e, portanto, de acordo com a nossa conveniência um ponto como aquele que está a um potencial zero. Escolhemos assim V r ( ( 6

14 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico Dessa forma, quando escrevemos, P V r E r dl ( ( P ( 7 estamos escrevendo uma diferença de potencial em relação ao ponto de referência. Em problemas de eletrostática tomamos esse ponto como se fosse algum ponto na superfície terrestre (dizemos a Terra ou um ponto no infinito.

15 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico 4 Exercício Resolvido: Campo Elétrico de uma distribuição contínua de cargas Exemplo Determine o campo elétrico devido a uma distribuição contínua e uniforme de cargas (densidade superficial σ ao longo de um plano infinito. Considerando-se o referencial da figura, o campo elétrico pode ser escrito como: σ x i + y j + zk E ( x, y, z dx dy 4 πε S x + y + z ( ( 8 Como as integrais das componentes x e y envolvem integrais de funções ímpares, essas componentes são nulas: E x (x, y, z E x (x, y, z ( 9 Para o cálculo da única componente não nula, efetuamos uma mudança de variáveis (de coordenadas cartesianas para polares e obtemos: σ σ ρ ρ ϕ E ( x, y, z zk zk 4πε 4 (,, π dx dy d d πε ( x + y + z ( ρ + z ( πσ ρdρ σ σ z E x y z zk zk k ( ρ + z ( ρ + z 4πε ε ε z O campo elétrico é, portanto, constante e perpendicular à superfície (veja figura. O vetor campo elétrico aponta para a placa se as cargas forem negativas ou, no caso de cargas positivas, o vetor tem o sentido oposto.

16 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico 5 Exemplo Consideremos agora o caso de uma distribuição uniforme de cargas, com densidade superficial σ, sobre uma casca esférica de raio R. Considerando-se a origem do sistema de coordenadas coincidindo com o centro da esfera e o eixo z, passando pelo ponto P, a expressão para o campo elétrico é: σ π π R(senθcos ϕ j+ cos θk E( z R senθdθdϕ 4πε z / ( R sen θ+ R ( cos θ Utilizando coordenadas esféricas, escrevemos: r zk r xi + y j+ zk R(sen θcosϕ+ i sen θsenϕ j+ cos θk ( Integrando sobre a coordenada ϕ, obtemos: Donde obtemos: π σ E z d d ε cosθi ( θ ( cosθ z z + cosθ σ R Q E ( z k k se z > R ε z 4πε z E z se z < R ( R R ( ( 4 A partir dos resultados acima, podemos verificar que o campo elétrico de uma casca esférica pode ser escrito como: Q E ( r r se r > R 4πε r E r se r < R ( ou seja, para os pontos externos à distribuição, tudo se passa como se a carga total estivesse concentrada no centro da casca. ( 5

17 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico 6 A razão pela qual o campo elétrico se anula no interior da casca esférica está relacionada com o fato de que a força varia com o inverso do quadrado da distribuição. Para verificarmos isso, consideremos dois cones saindo de um ponto P no interior da casca esférica (veja figura. No caso em que eles tenham a mesma abertura, eles interceptarão a casca, delimitando duas regiões, cujas áreas são proporcionais aos quadrados das distâncias r e r,ou seja, S S r r ( 6 Tendo em vista que a densidade superficial é uniforme, a carga em cada uma das superfícies delimitadas pelos cones é, igualmente, proporcional aos raios, e portanto: σ Q A r Q σa r ( 7 Cada área delimitada pelos cones dará, portanto, uma contribuição que é, em módulo, igual, pois, sendo E o campo produzido pela carga Q,e E o campo produzido pela carga Q, em módulo vale a relação: E E Q r 4πε Q r 4πε Apesar de terem o mesmo módulo, os sentidos dos campos estão em oposição. Daí resulta ser nulo o campo elétrico no interior da casca. ( 8 Esfera com excesso de cargas positivas. Esfera com excesso de cargas negativas.

18 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico 7 Determine a força gravitacional exercida por um objeto de massa M sobre a partícula. Resolução De acordo com a expressão, temos as componentes da força gravitacional dadas por: mmg Fx ( xyz,, x x + y + z mmg Fy ( xyz,, y x + y + z mmg Fz ( xyz,, z x + y + z ( 9 Efetuando-se a derivada parcial com respeito à variável x, temos: / (( mmg Fx ( x, y, z mmg x + y + z x x + y + z x / mmg( (( x + y + z x mmg x ( x + y + z / ( 4 Para as demais componentes, encontramos: Fy ( x, y, z mmg F ( x, y, z z mmg y ( x + y + z z ( x + y + z / / ( 4

19 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico 8 Portanto, a força pode ser escrita como: F xyz,, ( x y x mmg i + mmg j + mmg k / / / ( x + y + z ( x y z ( x y z a qual pode ser escrita, de uma forma simples, como: r F ( x, y, z mmg / ( xi + yj + zk mmg r x + y + z ( ( 4 ( 4

20 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico 9 Como usar este ebook Orientações gerais Caro aluno, este ebook contém recursos interativos. Para prevenir problemas na utilização desses recursos, por favor acesse o arquivo utilizando o Adobe Reader (gratuito versão 9. ou mais recente. Botões Indica pop-ups com mais informações. Sinaliza um recurso midiático (animação, áudio etc. que pode estar incluído no ebook ou disponível online. Ajuda (retorna a esta página. Créditos de produção deste ebook. Indica que você acessará um outro trecho do material. Quando terminar a leitura, use o botão correspondente ( para retornar ao ponto de origem. Bons estudos!

21 Eletromagnetismo» Eletrostática: O campo elétrico Créditos Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA, Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP. Autoria: Gil da Costa Marques. Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro. Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru. Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira. Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S. Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein. Fotografia: Jairo Gonçalves.