Mecânica. Forças Conservativas e a Energia Mecânica

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1 Mecânica Forças Conservativas e a Energia Mecânica

2 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 1 Forças Conservativas O trabalho realizado por uma força, quando do deslocamento de uma partícula entre dois pontos, envolve uma integral de caminho. Seja um dos caminhos possíveis. ssim, para indicar tal dependência, escrevemos: a b Figura 1a: Dois pontos podem ser interligados por diferentes curvas. W = F dr. Γ Figura 1b: O trabalho realizado por uma força conservativa num caminho fechado se anula. ( 1 ) O fato é que, de acordo com a figura 1, dois pontos podem ser interligados por meio de infinitos caminhos. propósito da dependência do trabalho realizado por uma força com o caminho interligando dois pontos e, em particular, do ponto de vista da grandeza física denominada energia potencial, as forças podem ser divididas em duas grandes categorias: conservativas e não conservativas. Para entendermos a diferença, consideremos o deslocamento de uma partícula de um ponto para um ponto do espaço. Existem infinitas maneiras de irmos de um ponto até o ponto e utilizar infinitos caminhos (ou seja, curvas). Por exemplo, podemos ir de até seguindo pelos caminhos 1, ou 3 da figura 1. Dizemos que uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela, quando do deslocamento entre dois pontos e, não depende do caminho que interliga esses dois pontos, ficando subentendido que tais pontos são, a rigor, arbitrários. essas forças associamos o conceito de energia potencial.

3 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica Outra definição equivalente a essa é a que leva em conta a integral de caminho da força ao longo de uma caminho fechado. Dizemos que uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela ao longo de um caminho fechado qualquer (isto é, indo de um ponto e voltando ao mesmo ponto) resulta ser nulo. Ou seja, por essa definição, uma força é conservativa se, para qualquer caminho, W = 0. ( ) Já vimos que uma força é conservativa se o trabalho realizado no percurso de até só depende dos pontos e. Como os pontos e têm posição r e r, podemos escrever essa dependência da seguinte forma: W = U r U r = ( ) ( ) F dr onde U( r) é uma função do vetor posição (isto é, depende de ). Essa função é conhecida como a função energia potencial. ( 3 ) função Ur ( ) é de fundamental importância na física e ela recebe o nome de energia potencial. energia potencial em um ponto, cujas coordenadas são especificadas pelo vetor r é Ur ( ), dá o valor da energia potencial nesse ponto. mesma função calculada no ponto, cujo vetor de posição é r, U( r ) é a energia potencial da partícula no ponto. Note que a definição (000) implica, naturalmente, que W = 0. Ou seja, o fato de que, num caminho fechado, o trabalho realizado pela força se anula é uma consequência do sinal menos na expressão (000). O que faz uma partícula possuir energia - a energia potencial, pelo simples fato de ela ocupar uma determinada posição no espaço? resposta é bastante simples. Esta forma de energia surge como resultado da interação entre os objetos. E essa interação tem sua intensidade dependente da posição dos objetos. Potencial se refere à posição do objeto. energia potencial resulta sempre de alguma força (ou interação) que lhe deu origem.

4 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 3 No entanto, nem todas as forças dão origem a essa forma de energia (energia potencial). lgumas (como as forças de atrito) acabam dissipando, isto é, consumindo energia. essas forças damos o nome de forças não conservativas. ssim, classificamos as forças em duas grandes categorias: Forças conservativas Dão origem a alguma forma de energia potencial Forças não conservativas não podemos associar a elas uma forma de energia potencial. Uma questão relevante, do ponto de vista prático, consiste em encontrar um critério simples para que possamos determinar se uma força é ou não conservativa sem que tenhamos de efetuar integrais ao longo de caminhos. De fato, a partir da definição da energia potencial ( ), podemos introduzir um critério para determinarmos se uma força é conservativa ou não. Lembramos, primeiramente, que todo campo vetorial pode ser modificado através de uma operação que envolve um campo vetorial, denominada rotacional do campo. Mediante tal operação, criamos um novo campo a partir do campo original. Para um campo vetorial qualquer, como o campo elétrico ( Er ( )), o rotacional do campo é definido como um novo campo cujas componentes são dadas pelo determinante de uma matriz, de acordo com a expressão: i j k ( 4 ) E( r) det. x y z E x Ey Ez Ou seja, o rotacional de Er ( ) é um vetor cujas componentes são dadas por: ( ) E E + E E E r + E i j y z z x x E k y z y x z y x seguir, será mostrado que se pode decidir se uma força é conservativa a partir da análise do seu rotacional. Mais precisamente, se a força for tal que o seu rotacional se anula, então, a força é conservativa. ( F r )= 0. ( ) ssim, para verificarmos se uma força é conservativa ou não, basta tomarmos o rotacional da força. Se o rotacional da força resultar nulo, a força é conservativa. Caso contrário, ela não é conservativa. ( 5 ) ( 6 )

5 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 4 Força a partir da Energia Potencial Podem-se definir forças conservativas a partir de outro critério, a saber, dizemos que uma força é conservativa se ela deriva de uma função escalar, ou seja, uma força é conservativa se existir uma função U( r) tal que a força seja dada pela expressão: F r U r ( )= ( ) ( 7 ) Veremos que a função escalar U( r) é a energia potencial. Por esse critério, no caso de uma força geral, a relação, quando existir, é tal que as componentes da força são determinadas a partir de derivadas parciais da energia potencial. Ou seja: U x, yz, U x, yz, U x, yz, Fx( x, yz, ) Fy( x, yz, ) Fz ( x, yz, ) ( 8 ) x y z onde as derivadas parciais ( U U U,, ) apenas indicam que devemos derivar a função U como x y z = ( ) = ( ) = ( ) se ela fora dependente apenas de x, y ou z em cada um dos casos. bem da verdade, deve-se frisar que nem todas as forças podem ser escritas como derivadas sob a forma (000). Definem-se forças conservativas como aquelas que podem ser escritas sob a forma (000). Só para tais forças podemos falar em energia potencial associada à interação. definição de força conservativa nos leva ao critério simples já enunciado pela expressão (000). Para verificar isso consideremos a força dada pela expressão (000). O rotacional da força é dado por: ( ) F F + F F F r + F i z y x z y F x j k y z z x x y ( 9 )

6 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 5 Para uma força dada pela expressão (000), obtemos: = + F F z y U U = 0 y z yz z y F x Fz z x = + U U = 0 z x xz = + Fy F U U x = 0 x y xy yx ( 10 ) ou seja, um força conservativa é tal que seu rotacional é nulo. O Gradiente de uma Função Escalar Uma vez introduzido o conceito de forças conservativas, podemos nos perguntar sobre a melhor maneira de determinar a energia potencial. Isto será feito logo em seguida. No entanto, antes de fazê-lo, devemos introduzir alguns conceitos do cálculo vetorial bem como propriedades de campos vetoriais. Dada uma função escalar, ou campo escalar, podemos construir um campo vetorial a partir desse campo escalar, tomando derivadas parciais e multiplicando por versores. essa operação denominamos aplicar o operador gradiente à função escalar. ssim, definimos o operador gradiente (símbolo ) como aquele que, aplicado sobre uma função escalar, leva a um campo vetorial definido através da identidade: V x, yz, V x, yz, V x, yz, V x, yz, i j k. x y z ( ) ( ) + ( ) + ( ) Uma propriedade importante do operador gradiente é a de que uma variação infinitesimal da grandeza física representada pelo campo escalar (dv) pode ser expressa por meio do uso desse operador. variação infinitesimal de uma função V(x, y, z)é definida como a diferença da função para pontos do espaço muito próximos. Para escrevermos uma expressão para a variação infinitesimal, consideremos a variação: ( 11 ) V V r + r V r. ( ) ( ) ( 1 )

7 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 6 Vamos agora expandir a grandeza escalar V( r + r) V x+ x, y+ y, z+ z ( ) ( 13 ) em potências das variações x, y e z, utilizando, para isso, a expansão de Taylor para funções de muitas variáveis: V V V V V( x+ xy+ yz+ z)= V( xyz)+ x + y + z + 1,,,, x x y z x + V + xy x y... ( 14 ) ssim, até termos de primeira ordem, podemos escrever: V V V V( x, yz, ) x + y + z, x y z ( 15 ) donde concluímos, pela definição do gradiente, que, para valores infinitesimais dos deslocamentos, podemos escrever: dv = ( V) dr. ( 16 ) Outra propriedade importante em relação à variação infinitesimal é a integral da variável entre dois pontos ser dada pela diferença: dv = V( r) dr e, consequentemente, de (000) resulta que a integral de linha do gradiente de uma função é escalar e dada pela diferença entre a função calculada em dois pontos do espaço: dv V r V r = ( ) ( ) resultado esse que não depende do caminho utilizado quando integramos o vetor V( r) ao longo de um caminho que interliga os pontos e. ( 17 ) ( 18 )

8 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 7 Trabalho e Variação da Energia Potencial ssim, se uma força for conservativa, de acordo com a definição, o trabalho é realizado por uma força quando uma partícula se desloca entre dois pontos e quaisquer. Para verificamos isso, lembramos que a partir de (000) temos: Tendo em vista que: W F r dr du = ( ) = ( 19 ) du r U r U r ( )= ( ) ( ) o trabalho realizado pela força entre os pontos e não depende do caminho, apenas desses pontos e é dado por: W F r dr U r U r. = ( ) = ( ) ( ) ssim, fazendo uso do formalismo matemático, podemos associar por meio da definição (000), envolvendo o operador gradiente, a energia potencial à força. Essa associação, por outro lado, faz com que a força seja derivada da função energia potencial. definição de energia potencial como uma função ou campo, a partir da qual podemos determinar a força, leva-nos ao problema inverso, ou seja, o de determinar a energia potencial uma vez conhecida uma expressão analítica da força. ( 0 ) ( 1 ) Caso Unidimensional O caso unidimensional é um caso muito especial e isso porque, se a força depender apenas da posição, ela é conservativa, uma vez que podemos escrever ( ). du x Fx ( x)= dx ( )

9 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 8 O rotacional dessa força é nulo, uma vez que: F x x Fx x Fx ( x) i j k = 0 z y ( ) ( ) + ( ) ( 3 ) O trabalho realizado por essa força, quando o móvel se desloca de um ponto de coordenadas x 0 até outro ponto de coordenada x, só depende dessas coordenadas. Ou seja: x = ( ) W F x dx x x0 x x0 ssim, não importa se a partícula foi e voltou várias vezes. O que importa são as coordenadas do ponto. Portanto, dada a dependência da força em relação à posição, a energia potencial será determinada pela integral: ' '. ( 4 ) ( ) ( x 0 )= x ( ') '. x0 U x U x F x dx ssim, por exemplo, no caso da força elástica, a diferença de energia potencial é dada por: ( 5 ) ' ' U x U x k xdx x x0 k x ( x 0 ). ( ) ( )= = 0 Donde resulta que, para o caso da força elástica, a energia potencial é dada pela expressão: ( 6 ) kx U( x)= ( 7 ) O fato é que forças unidimensionais são, em geral, forças conservativas. determinação do potencial envolve uma integral de função de uma variável apenas. Energia Potencial: Forças Constantes Para entendermos a estreita relação entre força e energia potencial, consideremos o caso de uma força constante. Escrevamos essa força sob a forma: F = F i + F j + F k 0 0x 0y 0z ( 8 )

10 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 9 onde F 0x, F 0y e F 0z são constantes associadas às componentes da força. É muito fácil constatar, por meio de uma derivação muito simples, que a função definida por: U(x, y, z) = F 0x x F 0y y F 0z z ( 9 ) é a energia potencial associada à força constante Energia Potencial a partir da Força Podemos determinar, em muitos casos, a energia potencial mediante o uso da sua relação com a força dada como o gradiente dela. Consideraremos o potencial gravitacional de um corpo de massa m. Para tanto, recorremos à lei da gravitação universal. Figura : energia potencial gravitacional depende da altura. Uma das grandes contribuições de Newton foi a lei da gravitação universal. partir dessa lei pode-se mostrar que um objeto esférico de massa M, como a Terra, exerce uma força sobre outro objeto de massa m de tal forma que, adotando-se a origem do sistema de coordenadas no centro

11 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 10 do objeto esférico, o centro da Terra, por exemplo, a força gravitacional pode ser escrita, em função do vetor de posição da partícula de massa m, da seguinte forma: F = mmg r ( 30 ) 3 r, onde r é o vetor de posição da partícula de massa m. Em coordenadas cartesianas, a expressão para a força dada acima é: xi + yj + zk F = mmg. x + y + z 3 / ( ) ( 31 ) De acordo com a definição de energia potencial, ela pode ser determinada a partir das seguintes relações: F F F x y z = mmg = mmg = mmg x ( x + y + z ) 3 / y ( x + y + z ) 3 / z ( x + y + z ) 3 / U x yz = (,, ) x ( ) = U x, yz, y U x, yz, = ( ). z ( 3 ) função U (x, y, z) que satisfaz as condições acima é: GmM U( x, yz, )=. / x + y + z 1 ( ) Utilizando coordenadas esféricas, a energia potencial gravitacional se escreve como: GmM U( r)=. r ( 33 ) ( 34 ) Outro exemplo simples é o de uma força constante. Nesse caso, escrevemos: F = F 0. ( 35 )

12 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 11 dotando-se o eixo z na direção da força orientando-o no mesmo sentido, a definição de energia potencial nos leva à seguinte expressão para a energia potencial: U( z)= Fz 0. ( 36 ) partir da expressão acima, temos outra forma de deduzir a expressão (000) para a energia potencial. Verificamos assim que ela é válida, no entanto, para pontos próximos à superfície terrestre. Para tais pontos, podemos escrever, de uma forma aproximada: r R. ( 37 ) E, portanto, o módulo da força dada em (000) é aproximadamente constante: Energia Potencial Eletrostática F mmg mg R. ( 38 ) lei de Coulomb determina o comportamento da força entre duas cargas elétricas puntiformes, cujos valores são Q 1 e Q. Quando a origem do sistema de coordenadas for colocada exatamente onde se encontra uma delas, no caso adotamos a partícula 1. De acordo com a lei de Coulomb, a força elétrica entre elas pode ser escrita, em função do vetor de posição da partícula de carga Q, da seguinte forma: QQ 1 xi + yj + zk F =, 4πε 0 x + y + z 3 / ( ) ( 39 ) adotando, na expressão acima, o sistema MKS. Tendo em vista a semelhança com a força gravitacional, basta seguirmos os mesmos passos acima para concluir que a energia potencial eletrostática de duas cargas elétricas é dada, em função da distância entre elas, pela expressão: QQ 1 1 U( x, yz, )= / 4πε0 x + y + z ( ) 1 ( 40 ) Figura 3: Energia potencial elétrica.

13 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 1 Energia Mecânica e sua Conservação Vemos pela equação (000) que o trabalho é uma medida da variação da energia cinética. Ou seja, mv mv mv W = d = ( 41 ), Portanto, se considerarmos as duas expressões, (000) e (000), sobre o trabalho realizado entre e, podemos escrever para forças conservativas as identidades: mv mv W = = U ( r ) U ( r ) ( 4 ) ou, equivalentemente, mv mv + U( r)= U( r)+. ( 43 ) À soma da energia potencial e da energia cinética damos o nome de energia mecânica. Como na expressão acima os pontos e são arbitrários, concluímos que ela vale para qualquer ponto: E mv = + U( r). ( 44 ) Naturalmente, o resultado acima só faz sentido para forças conservativas. gora entendemos melhor o que significa uma força ser conservativa. Para essas forças, quando nos deslocamos de um ponto para outro, a energia mecânica se conserva, isto é, assume o mesmo valor em qualquer ponto do espaço. Para efeito de ilustração, consideremos o caso de um ponto material, ou partícula. Nesse caso, podemos considerar apenas duas formas de energia: a energia potencial e a energia cinética. soma dessas duas formas de energia define a energia mecânica, a qual é dada por: mv E = Ec + Ep = + U( r) ( 45 )

14 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 13 Existe uma classe de fenômenos, a serem estudados a seguir, para os quais a soma das duas energias se conserva. Escrevemos assim que a energia mecânica é constante: mv U r E + ( )= É importante apontar para o fato de que nenhuma das duas formas de energia é constante. Tendo em vista que a energia mecânica é conservada, é de se esperar que, ao longo do movimento, no qual ocorrem mudanças de posição, uma forma de energia converte-se, continuamente, em outra forma de energia. Quando atiramos uma pedra para o alto, imprimimos uma energia cinética a ela, a qual irá se reduzindo paulatinamente até que ela atinja o ponto mais alto. Nesse ponto de altura máxima, a energia cinética será mínima. Consequentemente, a energia cinética impressa ao corpo foi convertida, parcialmente, em energia potencial. partir do momento em que a pedra inicia o movimento descendente, iniciamos a fase do movimento na qual existe conversão de energia potencial em energia cinética. Isso pode ser inferido a partir da expressão da energia de uma partícula sujeita a um campo gravitacional constante. Nesse caso, a energia mecânica é dada pela expressão: 0 ( 46 ) 1 E0 = mv + mgz ( 47 ) O exemplo acima não é um caso particular. Em geral, vale a premissa de que, nos pontos para os quais a energia potencial é mínima, a energia cinética será máxima. E vice-versa. Esse é o princípio de funcionamento das montanhas russas num parque de diversões. altitude máxima atingida por uma pedra, a partir do conhecimento da sua velocidade inicial, pode ser determinada sem o conhecimento da solução da equação de movimento. Para pequenas altitudes, aquelas para as quais a altura é muito menor do que o raio da Terra (ou seja, z R, podemos utilizar a expressão (000). No entanto, no caso de grandes altitudes, devemos fazer uso da expressão da energia em função da distância até o centro da Terra: E = 1 mv m MG r ( 48 ) onde M é a massa da Terra e G é a constante da gravitação universal.

15 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 14 asta utilizar a conservação da energia mecânica. Outras aplicações, como a velocidade de escape de um projétil na superfície da Terra, deverão ser analisadas ao longo do texto. Figura 4: o longo do movimento, e independentemente de onde o objeto esteja. Quando analisamos o movimento dos projéteis que se movem a pequenas distâncias sobre a superfície da Terra podemos fazer uso da expressão aproximada (000). exercícios resolvidos Energia no Movimento dos Projéteis Tendo em vista que a energia mecânica é conservada, é de se esperar que, ao longo do movimento dos projéteis, no qual ocorrem mudanças de posição, uma forma de energia se converta, continuamente, em outra forma. Quando atiramos uma pedra para o alto, imprimimos uma energia cinética a ela, a qual irá se reduzindo paulatinamente até atingir o ponto mais alto. Nesse ponto, a energia cinética será mínima. Consequentemente, a energia cinética impressa ao corpo foi parcialmente convertida em energia potencial. partir do momento em que a pedra inicia o movimento descendente, começa a fase do movimento na qual existe conversão de energia potencial em energia cinética. Isso pode ser inferido a partir da expressão da energia de uma partícula sujeita a um campo gravitacional constante. Nesse caso, a energia mecânica é dada pela expressão: 1 E = mv + mgz. ( 49 )

16 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 15 Figura 3: Conservação da energia é o princípio de funcionamento de alguns brinquedos nos parques de diversão. O exemplo da figura 3 não é um caso particular. Em geral, vale a premissa de que, nos pontos para os quais a energia potencial é mínima, a energia cinética será máxima. E vice-versa. Esse é o princípio de funcionamento das montanhas russas num parque de diversões. altitude máxima atingida por uma pedra, a partir do conhecimento da sua velocidade inicial, pode ser determinada sem o conhecimento da solução da equação de movimento. Para pequenas altitudes, aquelas para as quais a altura é muito menor do que o raio da Terra (ou seja, z R), podemos utilizar a expressão (000). No entanto, no caso de grandes altitudes, devemos fazer uso da expressão da energia em função da distância até o centro da Terra: E = 1 mv m MG, r ( 50 ) onde M é a massa da Terra e G é a constante da gravitação universal. ssim, além da aplicação envolvendo os movimentos próximos da superfície terrestre, a expressão (000) nos permite fazer outras aplicações, como a velocidade de escape de um projétil na superfície da Terra, que podem ser analisadas ao longo do texto. Figura 4: À medida que um projétil sobe, sua energia potencial cresce, aproximadamente, de forma linear com a altura.

17 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 16 Energia na presença de Campos Elétricos Quando uma partícula se movimenta numa região onde existem campos elétricos estáticos permeando o seu espaço de deslocamento, ela adquire energia mecânica dada por: 1 E = mv + U( r ), ( 51 ) onde agora U é a energia potencial eletrostática. Essa energia é aquela associada à interação entre o corpo de carga q com as demais cargas elétricas que produzem o campo ao qual ele está sujeito. título de ilustração, consideremos o caso em que uma partícula de carga q interage com outra partícula dotada de carga Q. Nesse caso, considerando-se uma partícula de velocidade v, e a uma distância r entre elas, a energia mecânica é dada por: 1 qq E = mv + 4πε 0 1. r ( 5 ) Um exemplo bastante simples é o do átomo. Nesse caso, um elétron de carga (onde e é a unidade elementar de carga elétrica) interage com o núcleo dotado de carga Q = Ze (onde Z é o número atômico). ssim, a energia de um elétron em movimento no átomo é dada por: 1 Ze E = mev 4πε 0 1, r ( 53 ) onde m e é a massa do elétron. Figura 5: energia potencial elétrica tem o mesmo comportamento, com respeito à distância, que a energia potencial gravitacional.

18 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 17 Energia do Movimento Harmônico Simples Já vimos no capitulo 6 que a energia potencial associada a uma força elástica é dada por: E kx. p = ( 54 ) Utilizando a expressão (000), vemos que a energia potencial varia com o tempo de acordo com a expressão: k E = ( p t + ) 0 cos ω ϕ. ( 55 ) energia cinética, dada por: E mv c = ( 56 ) também varia com o tempo. Utilizando a equação (000), vemos que a dependência da energia cinética em relação ao tempo é dada por: m k E = c sen ( ω t + )= sen ω ϕ ( t + ) 0 ω ϕ 0, ( 57 ) sendo que, na expressão acima, utilizamos a relação (000). soma da energia cinética com a energia potencial nos dá a energia mecânica (E). Nesse caso, escrevemos mv E = Ec + Ep = + kx. ( 58 ) Sabemos que a energia mecânica se conserva no movimento. Podemos verificar isso explicitamente somando as expressões (000) e (000). Obtemos k E E E sen = c + p = ( t ω + ϕ )+ ( t + ) 0 cos ω ϕ0. ( 59 )

19 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 18 Sabemos que sen φ + cos φ. Portanto, de (000) segue-se que a expressão da energia mecânica é: k E = Ec + Ep =. ( 60 ) figura 6 ilustra o que acontece com as várias formas de energia à medida que o tempo passa. Note-se que a energia cinética e a energia potencial variam de tal forma que a soma permanece constante. Figura 6: Gráfico das energias em movimento MHS com o passar do tempo. Consideremos agora a lei de Coulomb, a qual determina o comportamento da força entre duas cargas elétricas puntiformes cujos valores são Q 1 e Q. Quando a origem do sistema de coordenadas for localizada exatamente onde se encontra uma delas, a expressão se simplifica. dotamos, a seguir, o referencial com origem na partícula 1. De acordo com a lei de Coulomb, a força elétrica entre elas pode ser escrita, em função do vetor de posição da partícula de carga Q, da seguinte forma: F QQ r 3 ( 61 ) 4πε r = 1 0 adotando, na expressão acima, o sistema MKS.

20 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 19 Potência de uma Força Consideremos uma força F que, durante um intervalo de tempo t, realiza um trabalho W. Definimos a potência média (P m ) dessa força, nesse intervalo de tempo, por: W P = m t ( 6 ) potência instantânea, ou apenas potência representada por P, é definida por: W P = lim t t. 0 ( 63 ) potência de uma força é a derivada do trabalho desta em relação ao tempo. Lembrando a equação (000), observamos que, para deslocamentos infinitesimais dr causados pela aplicação da força F, o trabalho infinitesimal realizado pela força é: dw = F dr, ( 64 ) portanto, de (000) resulta que a potência é dada pelo produto escalar: P dw F dr = = = F v, dt dt ( 65 ) onde v é a velocidade instantânea. Forças Dissipativas Consideremos o caso de uma partícula sob a ação de uma força dissipativa ( F d ) e um conjunto de forças conservativas que representamos como F. De acordo com o resultado que estabelece uma relação entre trabalho e variação de energia cinética, temos: mv mv ( F + Fd ) dr = ( 66 )

21 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 0 Tendo em vista que a força ou as forças representadas por mv mv U( r) U( r)+ Fd dr = E esta equação pode ser escrita como uma diferença de energias: Fd dr = E E Introduzindo o tempo como variável de integração, a equação acima pode ser escrita como: t F dr dt dt E E d = t ( 67 ) ( 68 ) ( 69 ) O primeiro termo é a potência da força dissipativa integrada ao longo de um intervalo de tempo. Ou seja: t F dr t t ( 70 ) dt dt P t dt de dt dt E E d = d () = = t t t Donde concluímos que P t F dr d ()= d dt ( 71 ) Dá a taxa com que a energia mecânica varia. Em geral, como no caso das forças viscosas e de atrito, ao longo do movimento, uma força dissipativa tem o sentido contrário ao do movimento; portanto: F dr d ( 7 ) dt <0 Consequentemente, para forças dissipativas, temos:

22 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 1 de dt < 0 E < E ( 73 ) Ou seja, as forças dissipativas, quando atuam, levam à redução da energia do sistema. Portanto, dissipam energia. Daí a razão para o nome. Unidades de Energia e Potência No SI, a unidade de energia é o Joule (símbolo J ). unidade de potência é o watt, cujo símbolo é W. unidade de potência watt é a potência de um trabalho unitário joule (J) dividido pelo intervalo de tempo unitário de um segundo (s): 1W = 1J/1s ( 74 ) No entanto, por razões históricas, às vezes são usadas outras unidades: 1HP = 1horse power = 746W 1cv = 1cavalo vapor = 735W ( 75 )

23 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica Exercícios Resolvidos: Energia Mecânica e sua Conservação EXEMPLO Figura 000 ilustra um bate-estaca em operação: o martelo de massa 1 tonelada é inicialmente erguida a 4 metros acima do topo da estaca. Uma vez solto, o martelo cai e atinge o topo da estaca. Descreva as transformações de energia até o martelo colidir com a estaca. Considerar g = 10 N/kg. RESOLUÇÃO O martelo, em relação ao topo da estaca, tem energia potencial Ep = mgz = (1.000 kg)(10 N/kg)(4 m) = 40 kj. ( 76 ) Conforme o martelo entra em queda livre (desprezando a resistência do ar), a sua energia potencial gravitacional diminui e a sua energia cinética aumenta igualmente. Durante a queda, Ec + Ep = E = 40 kj. o colidir com o topo da estaca, a energia potencial da estaca é nula e a cinética é Ec = 40 kj. Parte dessa energia transforma-se em trabalho (energia mecânica) responsável pela penetração da estaca no solo. Outra parte é transformada em outras formas de energia (energia térmica, sonora, por exemplo). Figura 7: Um bate-estaca converte energia potencial em energia cinética e essa pode ser facilmente utilizada. / Fonte: daptado de Thinkstock.

24 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 3 Como usar este ebook Orientações gerais Caro aluno, este ebook contém recursos interativos. Para prevenir problemas na utilização desses recursos, por favor acesse o arquivo utilizando o dobe Reader (gratuito) versão 9.0 ou mais recente. otões Indica pop-ups com mais informações. Sinaliza um recurso midiático (animação, áudio etc.) que pode estar incluído no ebook ou disponível online. juda (retorna a esta página). Créditos de produção deste ebook. Indica que você acessará um outro trecho do material. Quando terminar a leitura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de origem. ons estudos!

25 Mecânica» Forças Conservativas e a Energia Mecânica 4 Créditos Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa plicada (CEP), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP). utoria: Gil da Costa Marques. Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: eatriz orges Casaro. Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru. Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira. Ilustração: lexandre Rocha, line ntunes, enson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rheinlander Klein e Thiago. M. S. nimações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.